高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第二课时常用逻辑用语学案

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考点一 充分、必要条件的判断与应用
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；
(2)p是q的必要不充分条件⇔BA；
(3)p是q的充要条件⇔A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．
[典例1] (1)(2024·烟台一模)在△ABC中，“A>π6”是“sin A>12”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0．若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)0，12 [(1)在△ABC中，A∈(0，π)，
由sin A>12，可得π6所以“A>π6”是“sin A>12”的必要不充分条件．
故选B．
(2)由|4x－3|≤1，得12≤x≤1．
解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1．
∵q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不能推出命题p成立．
∴12，1[a，a＋1]．
∴a≤12且a＋1≥1，两个等号不能同时成立，
解得0≤a≤12．
∴实数a的取值范围是0，12．]
1．充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
2．利用充要条件求参数的两个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(如本例(2))
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
跟进训练1 (1)已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)命题“∀x∈[1，2]，2x＋ax≥0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥－1 B．a≥－2
C．a≥－3 D．a≥－4
(3)(2023·乌苏市第一中学校考期末)已知函数f (x)＝lg34x-1+16-2x的定义域为A．
①求集合A；
②已知集合B＝{x|m－1(1)A (2)A [(1)由线面垂直的性质知，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n成立，即充分性成立；
根据线面垂直的定义，m必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．
故选A．
(2)命题“∀x∈[1，2]，2x＋ax≥0”为真命题，可化为“∀x∈[1，2]，2x2＋a≥0”恒成立，
即只需a≥(－2x2)max＝－2，
所以命题“∀x∈[1，2]，2x＋ax≥0”为真命题的一个充要条件是a≥－2，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥－2}的真子集，
由选项可知A符合题意．
故选A．]
(3)[解] ①要使函数有意义，
则4x-1>0，lg34x-1≥0，16-2x≥0，即x>14，x≥12，x≤4，则12≤x≤4．
故A＝x│12≤x≤4．
②x∈A是x∈B的充分不必要条件，B＝{x|m－1则集合A是集合B的真子集．
则有m-1<3m+1，m-1<12，3m+1>4，解得1所以实数m的取值范围是m│1考点二 全称量词命题、存在量词命题及其否定
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题及其否定
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
[典例2] (1)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x”的否定是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x
B．∀x∈R，∀n∈N*，都有n>x
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n>x
D．∃x∈R，∀n∈N*，都有n>x
(2)由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
(1)D (2)1 [(1)“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x”是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，
故其否定是∃x∈R，∀n∈N*，都有n>x．
故选D．
(2)因为命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，
所以命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
故Δ＝22－4m<0，
即m>1，故a＝1．]
1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词；(2)否定结论．
本例(2)根据命题的否定为真，转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求解．
跟进训练2 (1)(多选)下列四个命题中为真命题的是( )
A．∀x∈R，2x-1＞0
B．∀x∈N*，(x－1)2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1
D．∃x∈R，tan x＝2
(2)若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a>0 B．a≥0
C．a≤0 D．a≤1
(3)已知f (x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝12x－m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
(1)ACD (2)B (3)14，+∞ [(1)当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD．
(2)根据题意，命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，即不等式ax2＋1≥0恒成立，
当a＝0时，不等式为1≥0，恒成立．
当a≠0时，必有a>0，Δ=0-4a≤0，解得a>0．
综上可得a≥0，故选B．
(3)当x∈[0，3]时，f (x)min＝f (0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，
由f (x)min≥g(x)min，得0≥14－m，
所以m≥14．]
课后习题(二) 常用逻辑用语
1．(多选)(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是( )
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C．“a<5”是“a<3”的必要条件
D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
ABD [A：a＝b有ac＝bc成立，ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，假命题；
B：当a＝1>b＝－2时，a2C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；
D：a＋5是无理数，则a是无理数，若a是无理数也有a＋5是无理数，故为充要条件，假命题．故选ABD．]
2．(北师大版必修第一册P20练习T1改编)下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是( )
A．菱形的四条边都相等
B．∃x∈N，使2x为偶数
C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0
D．π是无理数
A [对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题．对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题．对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题．对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题．故选A．]
3．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T6(3)改编)存在量词命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
[答案] ∃x，y∈R，x＋y>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1 假
4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则a的取值范围为________．
[答案] [3，＋∞)
5．(2023·广东佛山高三一模)命题“∀x∈Q，x2－5≠0”的否定为( )
A．∃x∉Q，x2－5＝0 B．∀x∈Q，x2－5＝0
C．∀x∉Q，x2－5＝0 D．∃x∈Q，x2－5＝0
D [原命题为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈Q，x2－5＝0”．故选D．]
6．(2024·黑龙江大庆模拟预测)已知向量a＝(x－5，7)，b＝(x，－2)，则“x＝7”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若x＝7，则a·b＝2×7＋7×(－2)＝0，则a⊥b，满足充分性；
若a⊥b，则x(x－5)－14＝0，解得x＝7或x＝－2，不满足必要性．
故“x＝7”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选A．]
7．已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
C [由3x+1<1，得3x+1－1<0，
即x-2x+1>0，解得x<－1或x>2．
∵“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件，∴k≥2．
即k的取值范围为[2，＋∞)．故选C．]
8．(2023·广东佛山市二模)记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，
数列{an}的前n项和为Sn，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然有S3＝3a2，
而a4－a3＝2≠a3－a2，即数列{an}不是等差数列，
所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件．故选B．]
9．(多选)以下说法正确的有( )
A．“－2B．命题“∃x>1，ln (x－1)≥0”的否定是“∀x≤1，ln (x－1)<0”
C．“ln a>ln b”是“a2>b2”的充分不必要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
CD [A选项，x2－2x－15＝(x－5)(x＋3)<0，解得－3所以“－2B选项，因为由ln (x－1)≥0，得x－1≥1，即x≥2，
命题“∃x>1，ln (x－1)≥0”的否定是“∀x>1，x<2”，所以B选项错误．
C选项，ln a>ln b⇔a>b>0，
所以lna>lnb⇒a2>b2，a2>b2lna>lnb，
所以“ln a>ln b”是“a2>b2”的充分不必要条件，
所以C选项正确．
D选项，由于a≠0ab≠0，ab≠0⇒a≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，所以D选项正确．
故选CD．]
10．已知有三个条件：①ac2>bc2；②ac>bc；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是______．(填序号)
① [①由ac2>bc2可知c2>0，则a>b, 故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；
②当c<0时，a③当a<0，b<0时，由a2>b2，有a故②③不是a>b的充分条件．所以能成为“a>b”的充分条件的只有①．]
11．(2023·南京第一次联考)已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
(－2，2] [设A＝{x|a≤x≤a2＋1}，B＝[－2，5]．
依题设，AB，
则a≥-2，a2+1≤5，且等号不同时成立，
解得－2≤a≤2．
经检验，当a＝－2时，不符合题意，所以－212．(2024·江苏扬州检测)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－1] [命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a恒成立，若p是真命题，则当x∈[1，2]时，a≤(x2＋1)min＝2.命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若命题q是真命题，则当x∈[－1，1]时，a>(1－2x)min＝1－2＝－1，所以命题q是假命题时，a≤－1.综上，实数a的取值范围为(－∞，－1].]若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，¬p(x)
∀x∈M，¬p(x)
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题为真
否定为假
假
存在一个对象使命题为假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题为真
否定为假
假
所有对象使命题为假
否定为真