最新高考数学一轮复习-第一章-集合常用逻辑用语【导学案】

这是一份最新高考数学一轮复习-第一章-集合常用逻辑用语【导学案】，共30页。

课程标准
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
4．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
[由教材回扣基础]
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2.集合间的基本关系
3.集合的三种基本运算
4.集合基本运算的性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
澄清微点·熟记结论
1．有限集的子集个数
设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集．
(1)A的子集个数是2n；
(2)A的真子集个数是2n－1；
(3)A的非空子集个数是2n－1；
(4)A的非空真子集个数是2n－2.
2．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
3．∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
[练小题巩固基础]
一、准确理解概念(判断正误)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或x＝1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、练牢教材小题
1．(新人教B版必修①P9 T4改编)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
答案：1或4
2．(新人教A版必修①P14习题1.3 T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________.
答案：{x|x≤2或x≥10} {x|2＜x＜3或7≤x＜10}
3．(新北师大版必修①P7练习T3改编)集合{x|(x－1)(x－2)(x－3)2＝0}的子集个数为________，非空真子集的个数为________．
答案：8 6
三、练清易错易混
1．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝( )
A．1 B．0或1或3
C．0或3 D．1或3
解析：选C 由B⊆A，得m＝3或m＝eq \r(m)，解m＝eq \r(m)，得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1.∴m＝0或m＝3.
2．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－1或1 D．0或1或－1
解析：选D 由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，eq \f(1,a)＝a，解得a＝±1，故a的值为±1,0.
3．(忽视集合运算中端点取舍)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：由A∪B＝A，得B⊆A，如图所示，所以m≥3.
答案：[3，＋∞)
命题视角一 集合的基本概念(自主练通)
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：选A 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
2．如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值为( )
A．0 B．4
C．0或4 D．不能确定
解析：选C 当a＝0时，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，由集合A中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.综上，a的值为0或4.
3．设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
解析：因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1.故a＝－2或a＝4.又4∉B，所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．
答案：{4}
4．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________．
解析：由题意知9∈A.若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a＝－3.
答案：－3
[一“点”就过]
与集合元素有关问题的解题策略
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
命题视角二 集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
[解析] (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集的个数为23－1＝7.
(2)因为B⊆A，所以，①若B＝∅，则2m－1[答案] (1)A (2)(－∞，3]
[方法技巧]
解决有关集合间的基本关系问题的策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．
(2)确定非空集合A的子集的个数，需要先确定集合A中的元素的个数．不能忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．
[针对训练]
1．已知集合M＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是( )
A．MN B．NM
C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM
解析：选B 依题意知，M＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.故选B.
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 求解一元二次方程，得A＝{1,2}，易知B＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.
命题视角三 集合的运算
考法(一) 集合间的交、并、补运算
[例1] (1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，则∁U(M∪N)＝( )
A．{5} B．{1,2}
C．{3,4} D．{1,2,3,4}
(2)(2021年1月新高考八省联考卷)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M
C．N D．R
[解析] (1)由题意，得M∪N＝{1,2,3,4}．又U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．故选A.
(2)如图所示，易知答案为B.
[答案] (1)A (2)B
[方法技巧] 解决集合运算问题的3个技巧
考法(二) 利用集合的运算求参数
[例2] (1)(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
[解析] (1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(a,2)))))，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq \f(a,2)＝1，解得a＝－2.故选B.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，只能是a＝4.
[答案] (1)B (2)4
[方法技巧]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
[针对训练]
1．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A．∅ B．S C．T D．Z
解析：选C 集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合，所以T⊆S，则S∩T＝T.故选C.
2．(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}
解析：选B ∁UB＝{1,5,6}，A∩(∁UB)＝{1,6}，故选B.
3．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]
解析：选C 因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实数a的取值范围是(－∞，3)，故选C.
数学建模·练抽象思维——集合中的创新应用问题
1．(参悟数学文化)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为( )
A．128 B．127 C．37 D．23
解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A，B，C三个集合，故选D.
2．(创新学科情境)设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环．下列说法错误的是( )
A．若U＝{1,2,3,4,5,6}，则F＝{∅，{1,3,5}，{2,4,6}，U}是U的一个环
B．若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C．若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3,5}∈F
D．若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0,3]，[2,4]∈F
解析：选D 由题意可得F＝{∅，{1,3,5}，{2,4,6}，U}满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确；若U＝{a，b，c}，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确；如F＝{∅，{2}，{3,5}，{2,3,5}}满足环的要求，且含有4个元素，{2}，{3,5}∈F，故C正确；令A＝[0,3]，B＝[2,4]，∵A，B∈F，∴A∩∁UB＝[0,2)∈F，B∩∁UA＝(3,4]∈F，A∪B＝[0,4]∈F，设C＝[0,2)，则A∩∁UC＝[2,3]∈F，设D＝[0,4]，E＝[2,3]，则D∩∁UE＝[0,2)∪(3,4]∈F，再加上∅，F中至少有8个元素，故D错误．故选D.
3．(走向生产生活)某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如下表：
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：选C 用集合A表示除草优秀的学生，集合B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁UA表示除草合格的学生，∁UB表示植树合格的学生，作出Venn图，如图．设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都合格的人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，化简得x＝y＋5，因为ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故选C.
4．(创新学科情境)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；
若②正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,c＝1，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,c＝1，,d＝4.))若③正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝2，,d＝4.))
若④正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝4，,d＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝4，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1，,c＝3，,d＝2.))
所以符合条件的数组共6个．
答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 6
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(2021·北京高考)已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|－1＜x≤2}
C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x＜1}
解析：选B 由集合的基本定义可得A∪B＝{x|－1＜x≤2}，故选B.
2．(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x≤5))))，则M∩N＝( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x≤\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x＜4))))
C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}
解析：选B 因为M＝{x|0＜x＜4}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x≤5))))，所以M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x＜4)))).故选B.
3．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{4}，则A∪B＝( )
A．{2,3,4} B．{1,3,4}
C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}
解析：选A ∵A∩B＝{4}，∴2a＝4，则a＝2，b＝4.∴A∪B＝{2,3,4}．
4．设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2·(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b) 2＝0}，若P＝Q，则a－b＝( )
A．0 B．1 C．－2 D．2
解析：选C 由题意得P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1({1，a}，a≠1，,{1}，a＝1，))Q＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1({－1，b}，b≠－1，,{－1}，b＝－1，))因为P＝Q，所以当且仅当a＝－1，b＝1时P＝Q成立，故a－b＝－2.
5．(2022·成都石室中学月考)已知集合M＝{x|(x－1)·(x－2)≤0}，N＝{x|x>0}，则( )
A．N⊆M B．M⊆N
C．M∩N＝∅ D．M∪N＝R
解析：选B M＝{x|(x－1)(x－2)≤0}＝{x|1≤x≤2}，N＝{x|x>0}，所以M⊆N.
6．(2022·长沙长郡中学月考)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y＞x＋1}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B 依题意A＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)}，其中满足y＞x＋1的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，所以A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)}，有3个元素．故选B.
7．已知全集U＝{x|－1A．{a|a<9} B．{a|a≤9}
C．{a|a≥9} D．{a|1解析：选D 由题意知，集合A≠∅，所以a>1，又因为A是U的子集，故需a≤9，所以a的取值范围是{a|18．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|x2－3x＋m＝0}，若A∩B＝{0}，则B的子集有( )
A．2个 B．4个 C．8个 D．16个
解析：选B ∵A∩B＝{0}，∴0∈B，∴m＝0，∴B＝{x|x2－3x＝0}＝{0,3}．∴B的子集有22＝4个．
9．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2A．(－1,2) B．(0,2)
C．(－2,1) D．(－2,2)
解析：选D 因为A＝{x|－110.(2022·长春质量监测)设全集U＝R，集合A＝{x|4－x2≥0}，B＝{x|x≤－1}，则如图所示阴影部分表示的集合为( )
A．(－1,2] B．[－1,2]
C．[－2，－1) D．(－∞，－1]
解析：选A A＝{x|－2≤x≤2}，∁UB＝{x|x＞－1}，易知阴影部分为集合A∩(∁UB)＝(－1,2]．
11．(2022·广东湛江一模)已知(∁RA)∩B＝∅，则下列选项中一定成立的是( )
A．A∩B＝A B．A∩B＝B
C．A∪B＝B D．A∪B＝R
解析：选B 作出Venn图如图所示，则B⊆A，所以A∩B＝B.
12．已知集合A＝xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,,))x＝k＋eq \f(1,6)，k∈N，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,,))x＝\f(m,2)－\f(1,3)，m∈N))，C＝xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,,))x＝eq \f(n,2)＋eq \f(1,6)，n∈N，则集合A，B，C的关系是( )
A．ACB B．CAB
C．AB＝C D．ABC
解析：选A ∵集合C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,,))x＝\f(n,2)＋\f(1,6)，n∈N))，∴当n＝2a(a∈N)时，x＝eq \f(2a,2)＋eq \f(1,6)＝a＋eq \f(1,6)，此时C＝A，∴AC.当n＝b－1(b∈N*)时，x＝eq \f(b－1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)－eq \f(1,3)(b∈N*)．而集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,,))x＝\f(m,2)－\f(1,3)，m∈N))，当m＝0时，－eq \f(1,3)∈B，但－eq \f(1,3)∉C，∴集合CB.综上，ACB，故选A.
13．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.
解析：P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋3＝－a，,－1×3＝b，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3.))∴a＋b＝－5.
答案：－5
14．若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是________．
解析：由题意知，方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等实根，∴Δ＝4k2－4＝0，解得k＝±1，∴满足条件的实数k的取值集合是{1，－1}．
答案：{1，－1}
15．(2022·云南师大附中月考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝，则集合M∩N的真子集的个数为________．
解析：1－cs＝1,1－cs 0＝0,1－cs eq \f(π,2)＝1，则N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}，M∩N的真子集的个数为22－1＝3.
答案：3
16．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解析：由已知得A＝{x|x≥－m}，∴∁UA＝{x|x<－m}．∵B＝{x|－2答案：[2，＋∞)
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
2．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
[由教材回扣基础]
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
(3)在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.
4．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
eq \a\vs4\al(澄清微点·熟记结论)
(1)A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件．
(2)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)．
[练小题巩固基础]
一、准确理解概念(判断正误)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
二、练牢教材小题
1．(人教B版选修2－1P24T2(3)改编)命题“若α＝eq \f(π,4)，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠eq \f(π,4)，则tan α≠1 B．若α＝eq \f(π,4)，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠eq \f(π,4) D．若tan α≠1，则α＝eq \f(π,4)
答案：C
2．(新人教B版必修①P40 T9改编)设a，b∈R且ab≠0，则“ab＞1”是“a＞eq \f(1,b)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：D
3．(人教A版选修2－1P30 T4改编)命题“若x2<4，则－2答案：若x2≥4，则x≥2或x≤－2 真
4．(人教A版选修2－1 P7例4改编)命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________________．
答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
三、练清易错易混
1．(忽视大前提)已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是___________
_________________________．
答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤02.(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的__________条件．
答案：充分不必要
命题视角一 命题及其关系(自主练通)
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．原命题的否命题“若a≤－3，则a≤－6”为假命题，原命题的逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题．故选B.
2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们不一定幸福
B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福
D．不拥有的人们不幸福
解析：选D 根据原命题与逆否命题是等价命题可知，“幸福的人们都拥有”的逆否命题是“不拥有的人们不幸福”，故选D.
3．已知命题：若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除．写出它的逆命题：
________________________________________________________________________.
答案：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0
4．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2))上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
[一“点”就过]
有关四种命题及其相互关系的问题的解题策略
(1)求一个命题的其他三个命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．
(3)当不易直接判断一个命题的真假时，根据互为逆否命题的两个命题同真同假，可转化为判断其等价命题的真假．
命题视角二 充分条件与必要条件的判断
[典例] (1)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.
(2)若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b，充分性不成立；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，必要性成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．
[答案] (1)A (2)B
[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法
[针对训练]
1．“sin α＝eq \f(\r(2),2)”是“sin α＝cs α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D 由sin α＝eq \f(\r(2),2)，可得α＝eq \f(π,4)＋2kπ(k∈Z)或α＝eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，当α＝eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)时，sin α≠cs α，所以充分性不成立；反之，当sin α＝cs α时，令α＝eq \f(5π,4)，此时，sin α＝－eq \f(\r(2),2)，所以必要性不成立．所以“sin α＝eq \f(\r(2),2)”是“sin α＝cs α”的既不充分也不必要条件．故选D.
2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以若a＞|b|，则f(a)＞f(|b|)＝f(b)，即充分性成立．若f(a)＞f(b)，则等价为f(|a|)＞f(|b|)，即|a|＞|b|，即a＞|b|或a＜－|b|，即必要 性不成立，则“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的充分不必要条件．
命题视角三 根据充分、必要条件求参数范围
[典例] 若“x>2”是“x>a” 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|a>2} D．{a|a≥2}
[解析] “由x>2”是“x>a”的必要不充分条件，知{x|x>a}是{x|x>2}的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知a>2，故选C.
[答案] C
[方法技巧]
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[针对训练]
1．已知“x>k”是“eq \f(3,x＋1)<1”的充分不必要条件，则k的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选C 由eq \f(3,x＋1)<1，得eq \f(x－2,x＋1)>0，即(x＋1)(x－2)>0，解得x<－1或x>2.由题意可得{x|x>k}{x|x<－1或x>2}，所以k≥2，因此，实数k的取值范围是[2，＋∞)．
2．若关于x的不等式|x－1|A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选D 由|x－1|则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≤0，,1＋a≥4，))解得a≥3.
一题多变·练发散思维——充分、必要条件的应用问题
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[解题观摩] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[发掘训练]
1．(变结论)本例条件不变，若x∉P是x∉S的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∉P是x∉S的必要不充分条件，∴x∈P是x∈S的充分不必要条件．∴[－2,10][1－m,1＋m]，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＜－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
答案：[9，＋∞)
2．(变结论)本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,m＝9，))即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
[升维训练]
3．若x＞0，则x＋eq \f(2 020,x)≥a恒成立的一个充分条件是( )
A．a＞80 B．a＜80
C．a＞100 D．a＜100
解析：选B 因为x＋eq \f(2 020,x)≥2 eq \r(x·\f(2 020,x))＝eq \r(8 080)，当且仅当x＝eq \r(2 020)时等号成立，所以由x＋eq \f(2 020,x)≥a恒成立可得a≤eq \r(8 080)，因为(－∞，80)(－∞，eq \r(8 080)]，则a＜80是x＋eq \f(2 020,x)≥a恒成立的充分条件．
4．设P：x2－8x－20≤0，Q：x2－2x＋1－m2≤0，若P是Q的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
解析：根据P：x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0，得Q：[x－(1＋m)][x－(1－m)]≤0①，当m＝0时，由不等式①得x＝1，显然不满足条件，当m＞0时，根据不等式①得1－m≤x≤1＋m，因为P是Q的充分不必要条件，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m≥10，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥3，,m≥9，))所以m≥9.当m＜0时，根据不等式①得，1＋m≤x≤1－m，因为P是Q的充分不必要条件，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m≤－2，,1－m≥10，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－3，,m≤－9，))所以m≤－9，所以m的取值范围(－∞，－9]∪[9，＋∞)．
答案：(－∞，－9]∪[9，＋∞)
[课时跟踪检测]
1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题中一定是真命题的是( )
A．若p，则q B．若p，则綈q
C．若綈q，则p D．若綈q，则綈p
答案：C
2．(2022·四川凉山一诊)已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．l⊥α且l⊥β
C．γ⊥α且γ⊥β
D．α内的任意直线都与β平行
答案：D
3．设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵a>0，b>0，
若a＋b≤4，∴2eq \r(ab)≤a＋b≤4.
∴ab≤4，此时充分性成立．
当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，
这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．
综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
4．“函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)是增函数”的一个充分不必要条件是( )
A．0C．a>1 D．2解析：选D ∵当a>1时，f(x)＝lgax(a>0，a≠1)是增函数，∴“函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)是增函数”的一个充分不必要条件是{a|a>1}的一个真子集，四个选项中只有D符合，故选D.
5．已知直线l1：(a＋4)x－3ay－2＝0，直线l2：(a－4)x－(a＋4)y＋1＝0，则“l1⊥l2”是“a＝－4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B l1⊥l2的充要条件为(a＋4)(a－4)＋3a(a＋4)＝0，解得a＝－4或a＝1，
故“l1⊥l2”是“a＝－4”的必要不充分条件．
6．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 充分性：当a＝1时，函数f(x)＝|x－1|在区间[1，＋∞)上为增函数，因此充分性成立；必要性：由于函数f(x)＝|x－a|的图象的对称轴为直线x＝a，且在[a，＋∞)上为增函数，若在区间[1，＋∞)上为增函数，则a≤1，必要性不成立，故选A.
7．设a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，则“a＝b”是“lgab＝lgba”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当a＝b时，lgab＝lgba，充分性成立；当lgab＝lgba时，取a＝2，b＝eq \f(1,2)，验证成立，故必要性不成立，故选A.
8．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1C．x>－1 D．－1解析：选D ∵集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，x∈A且x∉B，∴－19．若x>2m2－3是－1A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
解析：选D ∵x>2m2－3是－110．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中为真命题的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
解析：选C ①中原命题的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②中原命题的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③中原命题的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”，
∵当m＝0时，解集不是R，∴应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ<0，))即m>1.
∴③是真命题；
④中原命题为真，逆否命题也为真．综上，故选C.
11．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
解析：选C 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B不正确；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正确．故选C.
12．已知以下三个陈述句：
p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，都有f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)恒成立；
q1：函数y＝f(x)是减函数，且对任意的x∈R，都有f(x)＞0；
q2：函数y＝f(x)是增函数，且存在x0＜0，使得f(x0)＝0.
用这三个陈述句组成两个命题，命题S：“若q1，则p”；命题T：“若q2，则p”．关于命题S，T，以下说法正确的是( )
A．只有命题S是真命题
B．只有命题T是真命题
C．两个命题S，T都是真命题
D．两个命题S，T都不是真命题
解析：选C 命题S：若q1，则p.因为y＝f(x)是减函数，且对任意x∈R，都有f(x)＞0，若a＜0，则a＜0＜2x＋a，故f(a)＞f(2x＋a)，又f(2x)＞0，故f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)；若a＞0，则2x＋a＞2x，故f(2x＋a)＜f(2x)，又f(a)＞0，故f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)．综上，存在a∈R且a≠0，对任意x∈R，都有f(2x＋a)＜f(2x)＋f(a)，所以命题S为真命题．命题T：若q2，则p.因为y＝f(x)是增函数，且存在x0＜0，使得f(x0)＝0，取a＝x0＜0，则f(a)＝0，故f(2x＋a)＜f(2x)＝f(2x)＋f(a)，所以命题T为真命题．故选C.
13．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1答案：[1,2]
14．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
15．能说明命题“a，b，c，d是实数，若a>b，c>d，则ac>bd”是假命题的一组数对(a，b，c，d)是________．
解析：取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3时，满足a>b，c>d，此时ac＝－4，bd＝－3，不满足ac>bd，符合题意．
答案：(2,1，－2，－3)(答案不唯一)
16．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的__________条件．
解析：若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列．
如果{an}是等比数列，由a1＝S1＝Aq＋B，得a2＝S2－a1＝Aq2－Aq，a3＝S3－S2＝Aq3－Aq2，
∴a1a3＝aeq \\al(2,2)，从而可得A＝－B，
故“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
课程标准
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
[由教材回扣基础]
1．命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定
2．全称量词和存在量词
3.全称命题和特称命题
4．常用结论
(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p与綈p→真假相反．
(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
(3)“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”．
(4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．
[练小题巩固基础]
一、准确理解概念(判断正误)
(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )
(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )
(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．( )
(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
二、练牢教材小题
1．(人教A版选修2－1 P18 T1改编)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q
解析：选A 因为命题p为真命题，q为假命题，故綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．
2．(新人教A版必修①P35 T6改编)下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0
解析：选C 当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题．
3．(新苏教版必修①P43 T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围为________．
答案：(－∞，1)
三、练清易错易混
1．(不会利用真值表判断命题的真假)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
答案：D
2．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是___________
______________________．
答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数
命题视角一 简单的逻辑联结词
考法(一) 含逻辑联结词复合命题的真假判断
[例1] (1)(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈(p∨q)
(2)(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③綈p2∨p3 ④綈p3∨綈p4
[解析] (1)对于命题p，因为－1≤sin x≤1，所以∃x∈R，sin x<1，故p为真命题．对于命题q，∀x∈R，e|x|≥e0＝1，从而q为真命题．所以p∧q为真命题，綈p∧q，p∧綈q，綈(p∨q)均为假命题．故选A.
(2)对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则由l1∩l2＝A，知l1，l2共面，设此平面为α，由B∈l2，l2⊂α，知B∈α，由C∈l1，l1⊂α，知C∈α，所以l3⊂α，所以l1，l2，l3共面于α，所以p1是真命题．
[答案] (1)A (2)①③④
[方法技巧]
判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤
(1)定结构：确定复合命题的构成形式；
(2)辨真假：判断其中简单命题的真假性；
(3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假．
考法(二) 根据复合命题的真假求参数
[例2] (2022· 山西五校联考)已知p：关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x>0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
[解析] 若关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x>0}，则a>1；若函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－4a2<0，))解得a>eq \f(1,2).若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a≤\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a>\f(1,2)，))即eq \f(1,2)[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
[方法技巧]
已知复合命题真假求参数取值范围的步骤
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性，当p，q的真假不确定时，需要分类讨论；
(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
[针对训练]
1．(2021·四省名校第三次大联考)已知命题p，q是简单命题，则“綈p是假命题”是“p∨q是真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵綈p是假命题，∴p是真命题，可得p∨q是真命题，∴充分性成立．反之，由“p∨q是真命题”可得p或q是真命题，不能得到“綈p是假命题”，∴必要性不成立．故选A.
2．(2022·呼和浩特一模)下面是关于复数z＝eq \f(2i,1＋i)的四个命题：p1：z的实部为－1；p2：z的虚部为1；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：|z|＝eq \r(2).则下列命题为真命题的是( )
A．p1∨p3 B．(綈p2)∨p3
C．p3∧p4 D．p2∧p4
解析：选D 由题意得z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i，所以z的实部为1，命题p1是假命题；z的虚部为1，所以命题p2是真命题；z的共轭复数为1－i，所以命题p3是假命题； |z|＝eq \r(2)，所以命题p4是真命题．所以p1∨p3是假命题，(綈p2)∨p3是假命题，p3∧p4是假命题，p2∧p4是真命题．故选D.
3．已知p：若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋m，则数列{an}是等差数列，当綈p是假命题时，实数m的值为________．
解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题．
由Sn＝n2＋m，
得an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m，n＝1，,2n－1，n>1，n∈N*，))
所以1＋m＝2×1－1，解得m＝0.
答案：0
命题视角二 全称量词与存在量词
考法(一) 全(特)称命题的否定
[例1] (1)(2022·郑州质量预测)命题“∀x>0，eq \f(x,x－1)>0”的否定是( )
A．∃x<0，eq \f(x,x－1)≤0 B．∃x>0,0≤x≤1
C．∀x>0，eq \f(x,x－1)≤0 D．∀x<0,0≤x≤1
(2)已知命题p：“∃x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则命题綈p为( )
A．∀x∈R，ex－x－1>0
B．∀x∉R，ex－x－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1≥0
D．∃x0∈R，ex0－x0－1>0
[解析] (1)因为eq \f(x,x－1)>0，所以x<0或x>1，所以eq \f(x,x－1)>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x>0,0≤x≤1”，故选B.
(2)命题p：“∃x0∈R，ex0－x0－1≤0”的否定为“∀x∈R，ex－x－1>0”．故选A.
[答案] (1)B (2)A
[方法技巧]
全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
考法(二) 全(特)称命题的真假判断
[例2] 已知命题p：∃x∈R，x－1≥lg x，命题q：∀x∈(0，π)，sin x＋eq \f(1,sin x)>2，则下列判断正确的是( )
A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题
C．p∨(綈q)是假命题 D．p∧(綈q)是真命题
[解析] 对于命题p，当x＝10时，x－1≥lg x成立，所以命题p是真命题；对于命题q，当x＝eq \f(π,2)时，sin x＋eq \f(1,sin x)>2不成立，所以命题q是假命题．根据复合命题真假的判断，可知p∧(綈q)是真命题，故选D.
[答案] D
[方法技巧]
判断全称命题、特称命题真假的思路

考法(三) 根据全(特)称命题的真假求参数
[例3] 已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
[解析] 当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.
[答案] C
[方法技巧]
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
[针对训练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x∈R，∀n∈N*，使得nC．∃x∈R，∃n∈N*，使得nD．∃x∈R，∀n∈N*，使得n解析：选D 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.
2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．∀x∈Q，x∈P B．∀x∉Q，x∉P
C．∃x0∉Q，x0∈P D．∃x0∈P，x0∉Q
解析：选B ∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，∴∀x∉Q，x∉P，故选B.
3．若“∃x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，求实数a的取值范围．
解：易知“∀x∈R，x2－2x－a≠0”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4＋4a<0，解得a<－1.
故实数a的取值范围为(－∞，－1)．
[课时跟踪检测]
1．命题：“∃x∈R，使得eq \f(2,x)＋ln x≤0”的否定是( )
A．∀x∈R，eq \f(2,x)＋ln x≥0
B．∀x∈R，eq \f(2,x)＋ln x＞0
C．∃x∈R，eq \f(2,x)＋ln x≥0
D．∃x∈R，eq \f(2,x)＋ln x＞0
答案：B
2．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，则綈p为( )
A．∃x0<0，ex0<1且sin x0>1
B．∃x0≥0，ex0<1或sin x0≥1
C．∃x0≥0，ex0<1且sin x0≥1
D．∃x0<0，ex0≥1或sin x0≤1
答案：C
3．(2022·山东济宁期末)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x0<1
D．∃x0∈R，tan x0＝2
解析：选B ∀x∈R,2x－1>0，根据y＝2x－1的图象知A正确；∀x∈N*，(x－1)2>0，取x＝1，计算知(x－1)2＝0，故B错误；∃x0∈R，lg x0<1，取x0＝1，计算lg x0＝0<1，故C正确；∃x0∈R，tan x0＝2，y＝tan x的值域为R，故D正确．故选B.
4．已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
解析：选C 当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
5．已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x0)＜0，则( )
A．p是假命题，綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)＞0
B．p是假命题，綈p：∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x0)≥0
C．p是真命题，綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
D．p是真命题，綈p：∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x0)≥0
解析：选C 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sin x－tan x＜0，命题p是真命题．綈p：“∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0”，故选C.
6．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>ln x0，命题q：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin x＋eq \f(1,sin x)>2，则( )
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题
D．命题p∨(綈q)是假命题
解析：选B 命题p：∃x0∈R，x0－2>ln x0，取x0＝e3，则e3－2>ln e3＝3，故命题p为真命题；命题q：x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin x＋eq \f(1,sin x)≥2 eq \r(sin x·\f(1,sin x))＝2，当且仅当sin x＝eq \f(1,sin x)，即x＝eq \f(π,2)时取等号，但等号取不到，所以q：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin x＋eq \f(1,sin x)>2 eq \r(sin x·\f(1,sin x))＝2，即命题q也为真命题．所以命题p∧q是真命题．
7．下列命题为假命题的是( )
A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0
B．“φ＝eq \f(π,2)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件
C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4 x0成立
D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β
解析：选C 对于A选项，令x＝1，y＝eq \f(1,e)，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝eq \f(π,2)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.
8．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析：选C 命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．故选C.
9．已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0；q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋0) D．[－2,2]
解析：选A 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，有Δ＝m2－4≥0，解得m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.
10．下列说法正确的是( )
A．“若α＝eq \f(π,6)，则sin α＝eq \f(1,2)”的否命题是“若α＝eq \f(π,6)，则sin α≠eq \f(1,2)”
B．若命题p，綈q均为真命题，则命题p∧q为真命题
C．命题p：“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0－5>0”的否定为：“∀x∈R，x2－x－5≤0”
D．在△ABC中，“C＝eq \f(π,2)”是“sin A＝csB”的充要条件
解析：选C “若α＝eq \f(π,6)，则sin α＝eq \f(1,2)”的否命题是“若α≠eq \f(π,6)，则sin α≠eq \f(1,2)”，所以A不正确；若命题p，綈q均为真命题，则q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以B不正确；命题p：“∃x0∈R，x20－x0－5>0”的否定为：“∀x∈R，x2－x－5≤0”，所以C正确；在△ABC中，C＝eq \f(π,2)⇔A＋B＝eq \f(π,2)⇔A＝eq \f(π,2)－B⇒sin A＝csB，反之，sin A＝csB⇒A＋B＝eq \f(π,2)或A＝eq \f(π,2)＋B，C＝eq \f(π,2)不一定成立，所以“C＝eq \f(π,2)”是“sin A＝csB”成立的充分不必要条件，所以D不正确．
11．已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x>0,2x－a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2,1]
C．(1,2) D．(1，＋∞)
解析：选C p：方程x2＋ax＋1＝0无实根等价于Δ＝a2－4<0，即－20,2x－a>0等价于a<2x在(0，＋∞)上恒成立，即a≤1.因为“綈p”是假命题，所以p是真命题，又“p∧q”是假命题，所以q是假命题，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－21，))解得112．命题p的否定是“对所有正数x，eq \r(x)>x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
13．若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，m≥2tan x”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，2tan x的最大值为2taneq \f(π,3)＝2eq \r(3)，∴m≥2eq \r(3)，实数m的最小值为2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
14．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则m的取值范围是______________．
解析：由题设条件可知命题p：m≤－1；命题q：－2答案：(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
15．设有下列四个命题：
p1：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．
p2：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合．
p3：若三个平面两两相交，则交线互相平行．
p4：若直线a∥平面α，直线a⊥直线b，则直线b⊥平面α.
则下述命题中所有真命题的序号是______．
①p1∧p4；②p1∧p2；③(綈p2)∨p3；④(綈p3)∨p4.
解析：如图，ABCD­A1B1C1D1是正方体，对于p1，直线AD，DC，DD1共点D，此时三条直线不在同一平面内，∴p1为真命题；对于p3，平面ABCD、平面A1ADD1和平面CDD1C1两两相交，但交线AD，DD1，DC不互相平行，∴p3为假命题；对于p4，设直线A1B1为直线a，平面ABCD为平面α，则a∥α，设直线B1C1为直线b，此时a⊥b，且b∥α，∴命题p4为假命题；对于p2，结合不共线的三点确定唯一的一个平面，若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合，∴p2为真命题，故②④正确．
答案：②④
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
符号表示
图形表示
符号语言
并集
A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集
A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集
若全U，则集合A的补集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解
优秀
合格
合计
除草
30
15
45
植树
20
25
45
p是q的充分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/ p
AB
p是q的必要不充分条件
p⇒/ q且q⇒p
AB
p是q的既不充分
也不必要条件
p⇒/ q且q⇒/ p
AB且AB
定义法
直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么
集合法
利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)