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北师大版八年级数学下册压轴题攻略北师大八年级下册第1章~第5章B卷压轴题考点训练(一)(原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册压轴题攻略北师大八年级下册第1章~第5章B卷压轴题考点训练(一)(原卷版+解析)，共36页。
2．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．
3．如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点B顺时针旋转90°到CB，连结AC、PC，则线段AC的取值范围是______．
4．如图，△ABC为等腰直角三角形，，，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DM，连接BM，取BM中点N，若，则线段BD的长为________．
5．如图，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是________，最小值是________．
6．如图， 是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为_____．
7．Rt△ABC中，AB=AC=，BO=AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN，CN，则△CAN周长的最小值为_____________．
8．2022年成都市中考新体考从总分50分调整为总分60分，增加了体育素质综合评价考核10分，统一考试项目由3项调整为4类．其中一类为自主选考三选一：足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．我校为了备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元．
(1)求排球与篮球的单价；
(2)学校决定购买排球和篮球共80个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，请问有多少种购买方案？最低费用是多少元？
9．某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元．
(1)求，两类书的单价；
(2)学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？
10．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．
（1）求每件甲、乙商品的进货价；
（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？
（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
11．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线AE与x轴交于点E．已知，，，，．
(1)AE的长为________，点E的坐标为________；
(2)如图2，CF平分∠OCB，交AB于点F．若点G是平面内任意一点，当以A、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形时，求点G的坐标；
(3)如图3，点P、Q分别是线段CF、线段AE上的动点，点P与点Q分别同时从点C和点A出发．已知点P每秒运动4个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，连结PQ、FQ、PB、BQ．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PBQ的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)设直线与轴的交点为，若点是直线上第二象限内的一点，且，求点的坐标；
(3)过原点的直线与直线交于点，与直线交于点，在，，三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点的坐标．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点O为斜边AC的中点，点E、点F为直角边上的动点（点E在点F的右侧），且∠EOF＝60°
(1)如图1，当点E、点F分别在边BC和AB上，且BE＝AF时，求∠OEC的度数．
(2)如图2，若点E、点F都在边BC上，当∠OFC＝75°时，说说BF与CE有什么数量关系？并加以证明．
(3)如图3，当E、F均在边BC上运动时，做E点关于直线OF的对称点P，若AB＝4，为AB中点，求当PQ最短时，线段PE的长度．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，点E是点D关于AC的对称点，连接AE、CE．
(1)CD= ，AD= ；
(2)若将△ACE沿射线AB方向平移，设平移的距离为m，当点E平移到线段AC上时，求m的值；
(3)如图，△ACE线点A顺时针旋转一个角（0°<<180°），记旋转中的△ACE为△AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，若存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形，直接写出此时AQ的长，若不存在，请说明理由．
15．直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足．
(1)m= ，S△ABO= ；
(2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
(3)如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）
北师大版八年级下册第1章~第5章B卷压轴题考点训练（一）
1．如图，在中，，点M、N分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点A的对应点P始终落在边上，若为直角三角形，则的长为_____．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当时，由题意可知点P与C重合，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
如图2中，当时，
由翻折可知，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的AM的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先对原不等式组解答，再根据关于x的不等式组无解，从而可以得到a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于x的不等式组无解，
∴，解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点B顺时针旋转90°到CB，连结AC、PC，则线段AC的取值范围是______．
【答案】
【分析】如图，以为直角边作等腰直角三角形，证明，可得，勾股定理求得，根据三点共线求得最值，即可求解．
【详解】解：如图，以为直角边作等腰直角三角形，连接，
将PB绕点B顺时针旋转90°到CB，
是等腰直角三角形，,，
是等腰直角三角形，，，
，，，
在中，，
如图，当在线段上时，取得最小值，为，
如图，当在的延长线上时，取得最大值，为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
4．如图，△ABC为等腰直角三角形，，，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DM，连接BM，取BM中点N，若，则线段BD的长为________．
【答案】或
【分析】过点M作，与BC的延长线交于点E，过点N作于点F，可证得，，可证得，可得，，设BD=x，可得，，，再根据勾股定理即可求得．
【详解】解：如图：过点M作，与BC的延长线交于点E，过点N作于点F，
则，
，
，
点N是BM的中点，
，
，
，
，，
将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DM，
，，
，
，
在与中，
，
，，
设BD=x，则，，
，，
，
，
解得或，
故BD的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
5．如图，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是________，最小值是________．
【答案】 / /
【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，根据直角三角形的性质求出BD的长，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点在线段AB上时，最小；当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，，最大，．
【详解】解：过点B作BD⊥AC，D为垂足，连接BP，，
∵∠BAC=45°，∠ACB=30°，
∴△ABD是等腰直角三角形，BC=2BD，
∴BD=AD，
设BD=AD=x，则BC=2x，
∴，
∵，
∴，
∴，即BD=2，
∴，BC=4，
∵E是AB的中点，
∴，
由旋转的性质可知，
∵，
∴，
∴当、E 、B三点共线，且P运动到点D时，最小，最小值为；
∵，
∴，
∵当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，，最大，最大值为；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键．
6．如图， 是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为_____．
【答案】
【分析】过E作 于G，过A作 于P，过F作 于H，则 ，依据 ，即可得到 ，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当 时，AF的最小值为 ．
【详解】
如图所示，过E作 于G，过A作 于P，过F作 于H，则，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴，∴ ，
∵是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，
∴ ， ， ，∴ ， ，
∴，∴ ，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，
∴当 时，AF的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可得出点F的运动轨迹．
7．Rt△ABC中，AB=AC=，BO=AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN，CN，则△CAN周长的最小值为_____________．
【答案】
【分析】如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J．证明△OHM≌△NJO（AAS），推出JN=OH=1，推出点N的运动轨迹是线段（该线段所在的直线与直线OH平行，在OH的下方，与OH的距离是1），作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小．
【详解】解：如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH交HO延长线于
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵OH⊥BC于H，
∴OH=BH，
∵OB=AB，，
∴
∴OH=BH=1，
由旋转的性质可知OM=ON，∠MON=90°，
∴∠HOM+∠HMO=90°=∠HOM+∠NOJ，
∴∠NOJ=∠OMH，
又∵∠OHM=∠NJO=90°，
∴△OHM≌△NJO（AAS），
∴JN=OH=1，
∴点N的运动轨迹是线段（该线段所在的直线与直线OH平行，在OH的下方，与OH的距离是1，
作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小，作AG⊥BC于G，
在Rt△ABC中，，
∴，
∵AC=AB，AG⊥BC，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AGC′中，AC′=，
∴△ACN的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．2022年成都市中考新体考从总分50分调整为总分60分，增加了体育素质综合评价考核10分，统一考试项目由3项调整为4类．其中一类为自主选考三选一：足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．我校为了备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元．
(1)求排球与篮球的单价；
(2)学校决定购买排球和篮球共80个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，请问有多少种购买方案？最低费用是多少元？
【答案】(1)排球单价为30元，篮球单价为80元
(2)有8种方案，最低费用为4000元
【分析】（1）设排球单价为x元，篮球单价为y元，然后根据购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元列出方程组求解即可；
（2）设排球有m个，篮球有个，先根据排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，列出不等式组求出m的取值范围，设费用为W，列出W关于m的关系式进行求解即可．
【详解】（1）解：设排球单价为x元，篮球单价为y元，
则，
∴
答：设排球单价为30元，篮球单价为80元．
（2）解：设排球有m个，篮球有个．
由题：，
∴（m为整数）
设费用为W，则
，
∵
∴W随m增大而减小．
∴当时，，
答：有8种方案，最低费用为4000元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出式子求解是关键．
9．某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元．
(1)求，两类书的单价；
(2)学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)类书的单价为22元，类书的单价为30元
(2)学校共有3种购买方案：
方案1：购买类书15本，类书19本；
方案2：购买类书16本，类书18本；
方案3：购买类书17本，类书17本．
【分析】(1)设A类书的单价为x元，B类书的单价为y元，根据“购买1本A类书和2本B类书共需82元；购买2本A类书和1本B类书共需74元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两类书的单价；
(2)设购买A类书m本，则购买B类书(34-m)本，根据“购买A类书的数量不高于B类书的数量，购买书籍的花费不得高于900元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设类书的单价为元，类书的单价为元，
依题意得：，解得：．
答：类书的单价为22元，类书的单价为30元．
（2）解：设购买类书本，则购买类书本，
依题意得：，解得：．
又∵为正整数，
∴可以为15，16，17，
∴该学校共有3种购买方案，分别如下所示：
方案1：购买类书15本，类书19本；
方案2：购买类书16本，类书18本；
方案3：购买类书17本，类书17本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
10．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．
（1）求每件甲、乙商品的进货价；
（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？
（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元；（2）共有3种进货方案，方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；（3）方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．
【分析】（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，根据“每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，根据“两种商品的进货总价不高于8080元，且两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
（3）设获得的总利润为w元，根据总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】解：解：（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元．
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，
依题意，得：，
解得：50≤m≤52，
又∵m为正整数，
∴m可以取50，51，52，
∴共有3种进货方案：
方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；
方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；
方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；
（3）设获得的总利润为w元，则w＝100×10%m+60×25%（100﹣m）＝﹣5m+1500，
∵﹣5＜0，
∴w随m值的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣5×50+1500＝1250．
答：方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系与不等关系，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组以及利用一次函数的性质，解决最值问题．
11．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线AE与x轴交于点E．已知，，，，．
(1)AE的长为________，点E的坐标为________；
(2)如图2，CF平分∠OCB，交AB于点F．若点G是平面内任意一点，当以A、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形时，求点G的坐标；
(3)如图3，点P、Q分别是线段CF、线段AE上的动点，点P与点Q分别同时从点C和点A出发．已知点P每秒运动4个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，连结PQ、FQ、PB、BQ．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PBQ的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)6，（，0）
(2)（，−1）或（，7）或（，1）
(3)存在，（，）或（，）
【分析】（1）由∠AEO＝30°，OA＝3，可得AE＝2OA＝6，OE＝OA＝，即可得答案；
（2）延长CF交y轴于K，过F作FT⊥y轴于T，先求出F（，4），设G（m，n），又A（0，3），E（，0），分三种情况：①以FG、AE为对角线，则FG、AE的中点重合，②以FA、GE为对角线，则FA、GE中点重合，③以FE、AG为对角线，则FE、AG的中点重合，列出方程组即可解得G的坐标；
（3）分两种情况，分别画出图形，列出含t的方程，解得t即可得CP的长，从而求出P的坐标．
（1）
解：∵∠AEO＝30°，OA＝3，
∴AE＝2OA＝6，OE＝OA＝，
∴E（，0），
故答案为：6，（，0）；
（2）
解：延长CF交y轴于K，过F作FT⊥y轴于T，如图：
∵∠OAB＝120°，∠B＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠FAK＝60°，∠OCB＝60°，
∵CF平分∠OCB，
∴∠OCK＝30°，
∴∠OKC＝60°，
∴△AFK是等边三角形，
在Rt△OCK中，OC＝OE＋CE＝，
∴OK＝＝5，
∴AK＝OK−OA＝2＝KF＝AF，
∴CK＝2OK＝10，
∴CF＝CK−KF＝8，
∴BF＝CF＝4，
∴AB＝AF＋BF＝6，
∵FT⊥y轴，
∴AT＝KT＝AK＝1，
∴OT＝OA＋AT＝4，FT＝AT＝，
∴F（，4），
设G（m，n），又A（0，3），E（，0），
①以FG、AE为对角线，则FG、AE的中点重合，
∴，
∴，
∴G（，−1）；
②以FA、GE为对角线，则FA、GE中点重合，
∴，
∴，
∴G（，7）；
③以FE、AG为对角线，则FE、AG的中点重合，
∴，
∴，
∴G（，1），
综上所述，G的坐标为（，−1）或（，7）或（，1）；
（3）
存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PBQ的面积相等，理由如下：
由（2）知BF＝4，AB＝6，CF＝8，
设AQ＝t，则CP＝，
∴FP＝8−，
①连接BQ，过点B作BM⊥AE于M，过点Q作QN⊥AF于N，过P作PH⊥OC于H，如图：
在Rt△ABM中，，
∴
=
=，
，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴P（，）；
②过点P作PH⊥OE于H，如图：
=
=，
，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴P（，），
综上所述，P的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及平行四边形性质及应用，四边形、三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和线段的长度．
12．如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)设直线与轴的交点为，若点是直线上第二象限内的一点，且，求点的坐标；
(3)过原点的直线与直线交于点，与直线交于点，在，，三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)故点的坐标为
(3)当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时点的坐标为
【分析】（1）求出，两点的坐标，由的面积，求出，由，进而求解；
（2）过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，证明，得到点的坐标为，求出的解析式，进而求解；
（3）分点是中点、点是中点、点是中点三种情况，利用一次函数的性质和中点坐标公式，即可求出点的坐标．
（1）
解：一次函数与坐标轴交于，两点，
故点、的坐标分别为、，
，
的面积，
解得或8（不合题意，舍去），
设点的坐标为，
将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，
，
则，
解得（负值不合题意，舍去），
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为；
（2）
解：过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
令，解得，
设直线交轴于点，
，
，
为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，，
，
，，
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
直线的表达式为，
联立和并解得，
故点的坐标为；
（3）
解：设点的坐标为，
则的表达式为，
联立上式与并解得，
即点的横坐标为，
①当点是中点时，
则点、的横坐标互为相反数，
即，
解得（舍去）或，
故点的坐标为，，
②当点是中点时，
同理可得：，
解得（舍去）或，
故点的坐标为，；
③当点是中点时，
同理可得，点，，
综上，当点是中点时，点的坐标为，；当点是中点时，点的坐标为，；当点是中点时点的坐标为，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、勾股定理、两直线的交点、中点坐标公式等，其中（3），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点O为斜边AC的中点，点E、点F为直角边上的动点（点E在点F的右侧），且∠EOF＝60°
(1)如图1，当点E、点F分别在边BC和AB上，且BE＝AF时，求∠OEC的度数．
(2)如图2，若点E、点F都在边BC上，当∠OFC＝75°时，说说BF与CE有什么数量关系？并加以证明．
(3)如图3，当E、F均在边BC上运动时，做E点关于直线OF的对称点P，若AB＝4，为AB中点，求当PQ最短时，线段PE的长度．
【答案】(1)75°；(2)BF=2CE，见解析；(3)
【分析】（1）在OF上截取OG=OE，证明△AOG≌△BOE得到AG=BE，∠OAG=∠OBE=30°，利用AF=BE=AG求出∠AGF，得到∠AGO的度数，即可求出∠OEC；
（2）将△BOF绕点O逆时针旋转120°，得到△COH，连接EH，证得△FOE≌△HOE（SAS），得到∠OEH=∠OEF=45°，求得∠HEC=90°，由此得到∠EHC=30°，推出BF=2CE；
（3）利用轴对称的性质证明△BOP≌△COE，得到∠OBP=∠C=30°，求出∠ABP=30°，当QP⊥PB时，PQ取最小值，作EM⊥OC，利用直角三角形30度角的性质求出BP，得到CE，由此得到OM的长，利用勾股定理求出OE，根据PE=2NE 求出答案．
【详解】（1）解：在OF上截取OG=OE，如图，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O为斜边AC的中点，
∴AO=BO=CO，
∵∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=60°；
∵∠EOF＝60°；
∴∠AOG+∠BOG=∠BOG+∠BOE，
∴∠AOG=∠BOE；
∴△AOG≌△BOE（SAS）；
∴AG=BE，
∵BE=AF；
∴AG=AF；
∵∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∴∠OAG=∠OBE=30°，
∴∠FAG=30°，
∴∠AGF=∠AFG=(180°-30°)=75°，
∴∠BEO=∠AGO= 105°，
∴∠OEC=180°-∠OEB=75°；
（2）解：BF=2CE，理由如下，
∵∠OFC＝75°，∠EOF=60°，
∴∠OEF=45°，
将△BOF绕点O逆时针旋转120°，得到△COH，连接EH，
∴OF=OH， BF=CH，∠FOH=120°，∠OCH=∠OBE=30°，
∵∠EOF=60°，
∴∠EOH=60°=∠EOF，
又∵OE=OE，
∴△FOE≌△HOE（SAS），
∴∠OEH=∠OEF=45°，
∴∠FEH=90°，
∴∠HEC=90°，
∵∠HCE=∠HCO+∠OCE=60°，
∴∠EHC=30°，
∴HC=2CE，即BF=2CE；
（3）解：∵E、P关于OF对称，
∴OE=OP，且∠EOF=∠FOP=60°，
∴∠BOC=∠POE=120°，
∵∠POB=120°-∠BOE=∠EOC，OE=OP，OB=OC，
∴△BOP≌△COE，
∴∠OBP=∠C=30°，
∴∠ABP=90°-30°-30°=30°
因此，当QP⊥PB时，PQ取最小值，
作EM⊥OC，
∵AB=4，Q为AB中点，
∴AQ=QB=2，
又∵∠ABP=30°，
∴PQ=BQ=1，
∴BP=，
∵△BOP≌△COE，
∴CE=BP=，
∵∠C=30°，
∴ME=CE=，
∴CM=，
∵AC=2AB=8，O为AC中点，
∴OC=4，∴OM=OC-CM=，
∴OE=，
∵，
∴
∴PE=2NE=．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，旋转的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，点E是点D关于AC的对称点，连接AE、CE．
(1)CD= ，AD= ；
(2)若将△ACE沿射线AB方向平移，设平移的距离为m，当点E平移到线段AC上时，求m的值；
(3)如图，△ACE线点A顺时针旋转一个角（0°<<180°），记旋转中的△ACE为△AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，若存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形，直接写出此时AQ的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)
(3)的长为或或或3．
【分析】（1）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长；
（2）由“”可证，可得，即可求解；
（3）根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如图1，连接交于，设点平移到线段上于点，
点是点关于的对称点，
，，，，
将沿射线方向平移，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：由（2）可知：，，
①旋转的过程中，和线段相交，的延长线相交时，
如图2，
由旋转得，，，
，，
，
，
，
，
为等腰三角形，且是钝角，
，
，
，
，
在△中，，，
；
②如图3，
为等腰三角形，
，
，，
，
由旋转得，，，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
③如图4，
旋转的过程中，和线段，相交时，
Ⅰ、当时，
，，
，
，
Ⅱ、当时，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
即满足条件的的长为或或或3．
【点睛】本题是几何变换综合题，勾股定理、三角形全等、主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求，根据题意画出图形是本题的难点．
15．直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足．
(1)m= ，S△ABO= ；
(2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
(3)如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）
【答案】(1)4，8
(2)（0，-4）
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值从而得到OA、OB的长即可得到答案；
（2）如图1，过点作轴于，证明，推出AM=EM，得到∠OAF=45°，即可推出OA=OF=4，即可得到答案；
（3）如图所示，过点M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，由角平分线的性质得到MH=MG，再由点到直线的距离垂线段最短，得到，即，从而推出当O、M、G三点共线，且OG⊥AP时，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA=OB=4，
∴，
故答案是：4，8；
（2）解：如图1，过点作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
∵，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，
∵AF平分∠OAP，MH⊥OA，MG⊥PA，
∴MH=MG，
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，即，
∴，
∴当O、M、G三点共线，且OG⊥AP时，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，
∵∠OAP=45°，
∴△OAG是等腰直角三角形，
∴OG=AG，
∴，
∴OM+MN的最小值为 ．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了图形与坐标，非负数的性质，三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．
3．如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点B顺时针旋转90°到CB，连结AC、PC，则线段AC的取值范围是______．
4．如图，△ABC为等腰直角三角形，，，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DM，连接BM，取BM中点N，若，则线段BD的长为________．
5．如图，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是________，最小值是________．
6．如图， 是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为_____．
7．Rt△ABC中，AB=AC=，BO=AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN，CN，则△CAN周长的最小值为_____________．
8．2022年成都市中考新体考从总分50分调整为总分60分，增加了体育素质综合评价考核10分，统一考试项目由3项调整为4类．其中一类为自主选考三选一：足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．我校为了备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元．
(1)求排球与篮球的单价；
(2)学校决定购买排球和篮球共80个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，请问有多少种购买方案？最低费用是多少元？
9．某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元．
(1)求，两类书的单价；
(2)学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？
10．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．
（1）求每件甲、乙商品的进货价；
（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？
（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
11．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线AE与x轴交于点E．已知，，，，．
(1)AE的长为________，点E的坐标为________；
(2)如图2，CF平分∠OCB，交AB于点F．若点G是平面内任意一点，当以A、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形时，求点G的坐标；
(3)如图3，点P、Q分别是线段CF、线段AE上的动点，点P与点Q分别同时从点C和点A出发．已知点P每秒运动4个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，连结PQ、FQ、PB、BQ．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PBQ的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)设直线与轴的交点为，若点是直线上第二象限内的一点，且，求点的坐标；
(3)过原点的直线与直线交于点，与直线交于点，在，，三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点的坐标．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点O为斜边AC的中点，点E、点F为直角边上的动点（点E在点F的右侧），且∠EOF＝60°
(1)如图1，当点E、点F分别在边BC和AB上，且BE＝AF时，求∠OEC的度数．
(2)如图2，若点E、点F都在边BC上，当∠OFC＝75°时，说说BF与CE有什么数量关系？并加以证明．
(3)如图3，当E、F均在边BC上运动时，做E点关于直线OF的对称点P，若AB＝4，为AB中点，求当PQ最短时，线段PE的长度．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，点E是点D关于AC的对称点，连接AE、CE．
(1)CD= ，AD= ；
(2)若将△ACE沿射线AB方向平移，设平移的距离为m，当点E平移到线段AC上时，求m的值；
(3)如图，△ACE线点A顺时针旋转一个角（0°<<180°），记旋转中的△ACE为△AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，若存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形，直接写出此时AQ的长，若不存在，请说明理由．
15．直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足．
(1)m= ，S△ABO= ；
(2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
(3)如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）
北师大版八年级下册第1章~第5章B卷压轴题考点训练（一）
1．如图，在中，，点M、N分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点A的对应点P始终落在边上，若为直角三角形，则的长为_____．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当时，由题意可知点P与C重合，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
如图2中，当时，
由翻折可知，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的AM的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先对原不等式组解答，再根据关于x的不等式组无解，从而可以得到a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于x的不等式组无解，
∴，解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点B顺时针旋转90°到CB，连结AC、PC，则线段AC的取值范围是______．
【答案】
【分析】如图，以为直角边作等腰直角三角形，证明，可得，勾股定理求得，根据三点共线求得最值，即可求解．
【详解】解：如图，以为直角边作等腰直角三角形，连接，
将PB绕点B顺时针旋转90°到CB，
是等腰直角三角形，,，
是等腰直角三角形，，，
，，，
在中，，
如图，当在线段上时，取得最小值，为，
如图，当在的延长线上时，取得最大值，为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
4．如图，△ABC为等腰直角三角形，，，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DM，连接BM，取BM中点N，若，则线段BD的长为________．
【答案】或
【分析】过点M作，与BC的延长线交于点E，过点N作于点F，可证得，，可证得，可得，，设BD=x，可得，，，再根据勾股定理即可求得．
【详解】解：如图：过点M作，与BC的延长线交于点E，过点N作于点F，
则，
，
，
点N是BM的中点，
，
，
，
，，
将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DM，
，，
，
，
在与中，
，
，，
设BD=x，则，，
，，
，
，
解得或，
故BD的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
5．如图，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是________，最小值是________．
【答案】 / /
【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，根据直角三角形的性质求出BD的长，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点在线段AB上时，最小；当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，，最大，．
【详解】解：过点B作BD⊥AC，D为垂足，连接BP，，
∵∠BAC=45°，∠ACB=30°，
∴△ABD是等腰直角三角形，BC=2BD，
∴BD=AD，
设BD=AD=x，则BC=2x，
∴，
∵，
∴，
∴，即BD=2，
∴，BC=4，
∵E是AB的中点，
∴，
由旋转的性质可知，
∵，
∴，
∴当、E 、B三点共线，且P运动到点D时，最小，最小值为；
∵，
∴，
∵当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，，最大，最大值为；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键．
6．如图， 是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则AF最小值为_____．
【答案】
【分析】过E作 于G，过A作 于P，过F作 于H，则 ，依据 ，即可得到 ，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当 时，AF的最小值为 ．
【详解】
如图所示，过E作 于G，过A作 于P，过F作 于H，则，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴，∴ ，
∵是等边三角形， ，E是靠近点C的三等分点，
∴ ， ， ，∴ ， ，
∴，∴ ，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，
∴当 时，AF的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可得出点F的运动轨迹．
7．Rt△ABC中，AB=AC=，BO=AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN，CN，则△CAN周长的最小值为_____________．
【答案】
【分析】如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J．证明△OHM≌△NJO（AAS），推出JN=OH=1，推出点N的运动轨迹是线段（该线段所在的直线与直线OH平行，在OH的下方，与OH的距离是1），作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小．
【详解】解：如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH交HO延长线于
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵OH⊥BC于H，
∴OH=BH，
∵OB=AB，，
∴
∴OH=BH=1，
由旋转的性质可知OM=ON，∠MON=90°，
∴∠HOM+∠HMO=90°=∠HOM+∠NOJ，
∴∠NOJ=∠OMH，
又∵∠OHM=∠NJO=90°，
∴△OHM≌△NJO（AAS），
∴JN=OH=1，
∴点N的运动轨迹是线段（该线段所在的直线与直线OH平行，在OH的下方，与OH的距离是1，
作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小，作AG⊥BC于G，
在Rt△ABC中，，
∴，
∵AC=AB，AG⊥BC，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AGC′中，AC′=，
∴△ACN的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．2022年成都市中考新体考从总分50分调整为总分60分，增加了体育素质综合评价考核10分，统一考试项目由3项调整为4类．其中一类为自主选考三选一：足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．我校为了备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元．
(1)求排球与篮球的单价；
(2)学校决定购买排球和篮球共80个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，请问有多少种购买方案？最低费用是多少元？
【答案】(1)排球单价为30元，篮球单价为80元
(2)有8种方案，最低费用为4000元
【分析】（1）设排球单价为x元，篮球单价为y元，然后根据购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元列出方程组求解即可；
（2）设排球有m个，篮球有个，先根据排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，列出不等式组求出m的取值范围，设费用为W，列出W关于m的关系式进行求解即可．
【详解】（1）解：设排球单价为x元，篮球单价为y元，
则，
∴
答：设排球单价为30元，篮球单价为80元．
（2）解：设排球有m个，篮球有个．
由题：，
∴（m为整数）
设费用为W，则
，
∵
∴W随m增大而减小．
∴当时，，
答：有8种方案，最低费用为4000元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出式子求解是关键．
9．某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元．
(1)求，两类书的单价；
(2)学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)类书的单价为22元，类书的单价为30元
(2)学校共有3种购买方案：
方案1：购买类书15本，类书19本；
方案2：购买类书16本，类书18本；
方案3：购买类书17本，类书17本．
【分析】(1)设A类书的单价为x元，B类书的单价为y元，根据“购买1本A类书和2本B类书共需82元；购买2本A类书和1本B类书共需74元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两类书的单价；
(2)设购买A类书m本，则购买B类书(34-m)本，根据“购买A类书的数量不高于B类书的数量，购买书籍的花费不得高于900元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设类书的单价为元，类书的单价为元，
依题意得：，解得：．
答：类书的单价为22元，类书的单价为30元．
（2）解：设购买类书本，则购买类书本，
依题意得：，解得：．
又∵为正整数，
∴可以为15，16，17，
∴该学校共有3种购买方案，分别如下所示：
方案1：购买类书15本，类书19本；
方案2：购买类书16本，类书18本；
方案3：购买类书17本，类书17本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
10．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．
（1）求每件甲、乙商品的进货价；
（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？
（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元；（2）共有3种进货方案，方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；（3）方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．
【分析】（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，根据“每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，根据“两种商品的进货总价不高于8080元，且两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
（3）设获得的总利润为w元，根据总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】解：解：（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元．
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，
依题意，得：，
解得：50≤m≤52，
又∵m为正整数，
∴m可以取50，51，52，
∴共有3种进货方案：
方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；
方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；
方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；
（3）设获得的总利润为w元，则w＝100×10%m+60×25%（100﹣m）＝﹣5m+1500，
∵﹣5＜0，
∴w随m值的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣5×50+1500＝1250．
答：方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系与不等关系，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组以及利用一次函数的性质，解决最值问题．
11．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线AE与x轴交于点E．已知，，，，．
(1)AE的长为________，点E的坐标为________；
(2)如图2，CF平分∠OCB，交AB于点F．若点G是平面内任意一点，当以A、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形时，求点G的坐标；
(3)如图3，点P、Q分别是线段CF、线段AE上的动点，点P与点Q分别同时从点C和点A出发．已知点P每秒运动4个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，连结PQ、FQ、PB、BQ．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PBQ的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)6，（，0）
(2)（，−1）或（，7）或（，1）
(3)存在，（，）或（，）
【分析】（1）由∠AEO＝30°，OA＝3，可得AE＝2OA＝6，OE＝OA＝，即可得答案；
（2）延长CF交y轴于K，过F作FT⊥y轴于T，先求出F（，4），设G（m，n），又A（0，3），E（，0），分三种情况：①以FG、AE为对角线，则FG、AE的中点重合，②以FA、GE为对角线，则FA、GE中点重合，③以FE、AG为对角线，则FE、AG的中点重合，列出方程组即可解得G的坐标；
（3）分两种情况，分别画出图形，列出含t的方程，解得t即可得CP的长，从而求出P的坐标．
（1）
解：∵∠AEO＝30°，OA＝3，
∴AE＝2OA＝6，OE＝OA＝，
∴E（，0），
故答案为：6，（，0）；
（2）
解：延长CF交y轴于K，过F作FT⊥y轴于T，如图：
∵∠OAB＝120°，∠B＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠FAK＝60°，∠OCB＝60°，
∵CF平分∠OCB，
∴∠OCK＝30°，
∴∠OKC＝60°，
∴△AFK是等边三角形，
在Rt△OCK中，OC＝OE＋CE＝，
∴OK＝＝5，
∴AK＝OK−OA＝2＝KF＝AF，
∴CK＝2OK＝10，
∴CF＝CK−KF＝8，
∴BF＝CF＝4，
∴AB＝AF＋BF＝6，
∵FT⊥y轴，
∴AT＝KT＝AK＝1，
∴OT＝OA＋AT＝4，FT＝AT＝，
∴F（，4），
设G（m，n），又A（0，3），E（，0），
①以FG、AE为对角线，则FG、AE的中点重合，
∴，
∴，
∴G（，−1）；
②以FA、GE为对角线，则FA、GE中点重合，
∴，
∴，
∴G（，7）；
③以FE、AG为对角线，则FE、AG的中点重合，
∴，
∴，
∴G（，1），
综上所述，G的坐标为（，−1）或（，7）或（，1）；
（3）
存在这样的点P和点Q，使得△PFQ的面积与△PBQ的面积相等，理由如下：
由（2）知BF＝4，AB＝6，CF＝8，
设AQ＝t，则CP＝，
∴FP＝8−，
①连接BQ，过点B作BM⊥AE于M，过点Q作QN⊥AF于N，过P作PH⊥OC于H，如图：
在Rt△ABM中，，
∴
=
=，
，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴P（，）；
②过点P作PH⊥OE于H，如图：
=
=，
，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴P（，），
综上所述，P的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及平行四边形性质及应用，四边形、三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和线段的长度．
12．如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)设直线与轴的交点为，若点是直线上第二象限内的一点，且，求点的坐标；
(3)过原点的直线与直线交于点，与直线交于点，在，，三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)故点的坐标为
(3)当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时点的坐标为
【分析】（1）求出，两点的坐标，由的面积，求出，由，进而求解；
（2）过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，证明，得到点的坐标为，求出的解析式，进而求解；
（3）分点是中点、点是中点、点是中点三种情况，利用一次函数的性质和中点坐标公式，即可求出点的坐标．
（1）
解：一次函数与坐标轴交于，两点，
故点、的坐标分别为、，
，
的面积，
解得或8（不合题意，舍去），
设点的坐标为，
将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，
，
则，
解得（负值不合题意，舍去），
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为；
（2）
解：过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
令，解得，
设直线交轴于点，
，
，
为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，，
，
，，
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
直线的表达式为，
联立和并解得，
故点的坐标为；
（3）
解：设点的坐标为，
则的表达式为，
联立上式与并解得，
即点的横坐标为，
①当点是中点时，
则点、的横坐标互为相反数，
即，
解得（舍去）或，
故点的坐标为，，
②当点是中点时，
同理可得：，
解得（舍去）或，
故点的坐标为，；
③当点是中点时，
同理可得，点，，
综上，当点是中点时，点的坐标为，；当点是中点时，点的坐标为，；当点是中点时点的坐标为，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、勾股定理、两直线的交点、中点坐标公式等，其中（3），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点O为斜边AC的中点，点E、点F为直角边上的动点（点E在点F的右侧），且∠EOF＝60°
(1)如图1，当点E、点F分别在边BC和AB上，且BE＝AF时，求∠OEC的度数．
(2)如图2，若点E、点F都在边BC上，当∠OFC＝75°时，说说BF与CE有什么数量关系？并加以证明．
(3)如图3，当E、F均在边BC上运动时，做E点关于直线OF的对称点P，若AB＝4，为AB中点，求当PQ最短时，线段PE的长度．
【答案】(1)75°；(2)BF=2CE，见解析；(3)
【分析】（1）在OF上截取OG=OE，证明△AOG≌△BOE得到AG=BE，∠OAG=∠OBE=30°，利用AF=BE=AG求出∠AGF，得到∠AGO的度数，即可求出∠OEC；
（2）将△BOF绕点O逆时针旋转120°，得到△COH，连接EH，证得△FOE≌△HOE（SAS），得到∠OEH=∠OEF=45°，求得∠HEC=90°，由此得到∠EHC=30°，推出BF=2CE；
（3）利用轴对称的性质证明△BOP≌△COE，得到∠OBP=∠C=30°，求出∠ABP=30°，当QP⊥PB时，PQ取最小值，作EM⊥OC，利用直角三角形30度角的性质求出BP，得到CE，由此得到OM的长，利用勾股定理求出OE，根据PE=2NE 求出答案．
【详解】（1）解：在OF上截取OG=OE，如图，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O为斜边AC的中点，
∴AO=BO=CO，
∵∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=60°；
∵∠EOF＝60°；
∴∠AOG+∠BOG=∠BOG+∠BOE，
∴∠AOG=∠BOE；
∴△AOG≌△BOE（SAS）；
∴AG=BE，
∵BE=AF；
∴AG=AF；
∵∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∴∠OAG=∠OBE=30°，
∴∠FAG=30°，
∴∠AGF=∠AFG=(180°-30°)=75°，
∴∠BEO=∠AGO= 105°，
∴∠OEC=180°-∠OEB=75°；
（2）解：BF=2CE，理由如下，
∵∠OFC＝75°，∠EOF=60°，
∴∠OEF=45°，
将△BOF绕点O逆时针旋转120°，得到△COH，连接EH，
∴OF=OH， BF=CH，∠FOH=120°，∠OCH=∠OBE=30°，
∵∠EOF=60°，
∴∠EOH=60°=∠EOF，
又∵OE=OE，
∴△FOE≌△HOE（SAS），
∴∠OEH=∠OEF=45°，
∴∠FEH=90°，
∴∠HEC=90°，
∵∠HCE=∠HCO+∠OCE=60°，
∴∠EHC=30°，
∴HC=2CE，即BF=2CE；
（3）解：∵E、P关于OF对称，
∴OE=OP，且∠EOF=∠FOP=60°，
∴∠BOC=∠POE=120°，
∵∠POB=120°-∠BOE=∠EOC，OE=OP，OB=OC，
∴△BOP≌△COE，
∴∠OBP=∠C=30°，
∴∠ABP=90°-30°-30°=30°
因此，当QP⊥PB时，PQ取最小值，
作EM⊥OC，
∵AB=4，Q为AB中点，
∴AQ=QB=2，
又∵∠ABP=30°，
∴PQ=BQ=1，
∴BP=，
∵△BOP≌△COE，
∴CE=BP=，
∵∠C=30°，
∴ME=CE=，
∴CM=，
∵AC=2AB=8，O为AC中点，
∴OC=4，∴OM=OC-CM=，
∴OE=，
∵，
∴
∴PE=2NE=．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，旋转的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，点E是点D关于AC的对称点，连接AE、CE．
(1)CD= ，AD= ；
(2)若将△ACE沿射线AB方向平移，设平移的距离为m，当点E平移到线段AC上时，求m的值；
(3)如图，△ACE线点A顺时针旋转一个角（0°<<180°），记旋转中的△ACE为△AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，若存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形，直接写出此时AQ的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)
(3)的长为或或或3．
【分析】（1）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长；
（2）由“”可证，可得，即可求解；
（3）根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如图1，连接交于，设点平移到线段上于点，
点是点关于的对称点，
，，，，
将沿射线方向平移，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：由（2）可知：，，
①旋转的过程中，和线段相交，的延长线相交时，
如图2，
由旋转得，，，
，，
，
，
，
，
为等腰三角形，且是钝角，
，
，
，
，
在△中，，，
；
②如图3，
为等腰三角形，
，
，，
，
由旋转得，，，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
③如图4，
旋转的过程中，和线段，相交时，
Ⅰ、当时，
，，
，
，
Ⅱ、当时，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
即满足条件的的长为或或或3．
【点睛】本题是几何变换综合题，勾股定理、三角形全等、主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求，根据题意画出图形是本题的难点．
15．直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足．
(1)m= ，S△ABO= ；
(2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
(3)如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）
【答案】(1)4，8
(2)（0，-4）
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值从而得到OA、OB的长即可得到答案；
（2）如图1，过点作轴于，证明，推出AM=EM，得到∠OAF=45°，即可推出OA=OF=4，即可得到答案；
（3）如图所示，过点M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，由角平分线的性质得到MH=MG，再由点到直线的距离垂线段最短，得到，即，从而推出当O、M、G三点共线，且OG⊥AP时，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA=OB=4，
∴，
故答案是：4，8；
（2）解：如图1，过点作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
∵，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，
∵AF平分∠OAP，MH⊥OA，MG⊥PA，
∴MH=MG，
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，即，
∴，
∴当O、M、G三点共线，且OG⊥AP时，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，
∵∠OAP=45°，
∴△OAG是等腰直角三角形，
∴OG=AG，
∴，
∴OM+MN的最小值为 ．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了图形与坐标，非负数的性质，三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
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