贵州省罗甸县第一中学2023-2024学年高二下学期期末模拟测试数学试题1

这是一份贵州省罗甸县第一中学2023-2024学年高二下学期期末模拟测试数学试题1，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角的对边分别为，若的面积等于，则的大小为（ ）
A．B．C．4D．
4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
5．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
6．在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．给出如下四个命题正确的是（ ）
A．方程表示的图形是圆 B．椭圆的离心率
C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的渐近线方程是
10．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
11．已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影向量为
C． D．的最大值为2
三、填空题
12．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
13．曲线在点处的切线方程为 ．
14．在的展开式中，的系数是 ．
四、解答题
15．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
16．如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
1
7．随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
(1)完成列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；
(2)以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求的分布列及数学期望．
附：．
18．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
19．已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
选择新能源汽车
选择传统汽车
合计
40岁以下
65
40岁以上（包含40岁）
60
100
合计
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2．C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
3．A
【分析】利用三角形的面积公式求得边，再利用余弦定理求得边.
【详解】的面积等于，
，解得，
由余弦定理可得，
.
故选：A．
4．B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
5．A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
6．A
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.
【详解】根据题意，，
则，
设向量是直线的单位方向向量，，
，
则点C到直线AB的距离为.
故选：A.
7．A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
8．A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
9．BC
【分析】对于A选项，配方得其表示点；对于B选项，求得再得，直接求解离心率；对于C选项，由抛物线标准方程即可判断；对于D选项，由方程得即可判断；
【详解】A选项，，
故，表示点，故A错误；
B选项，由题知，
所以，所以离心率，故B正确；
C选项，抛物线，准线方程是，故C正确；
D选项，由双曲线方程，得，且焦点在轴上，
故渐近线方程是，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据题意，由向量数量积的性质分析可得错误；由投影向量公式计算得正确；由向量平行的表示方法得，变形得，可得C正确；由C的结论：，结合基本不等式性质分析可得的最大值，可得D正确.
【详解】对于A：，，则，
所以与的夹角不为钝角，故错误；
对于B：则在方向上的投影向量为，故正确；
对于C：由题意，，
若 ，得，即，故C正确；
对于D：，均为正数，则有，
当且仅当时，即时取等号，即的最大值为2，故D正确.
故选：.
12．/．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
13．
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
14．160
【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
15．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义证明为等差数列，由数列的通项公式求的通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）证明：数列的首项为，且满足，
则有，又，
所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列；
则有，
所以.
（2）由（1）得，，
所以，①
，②
由①②得，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
17．(1)至少有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.
(2)分布列见详解，.
【分析】（1）根据列联表中的数据以及公式进行计算求解.
（2）利用二项分布进行计算求解.
【详解】（1）由题可知：
所以，
所以至少有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.
（2）由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取，
抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为，所以，
所以的可能取值为：0，1，2，3，且
；
；
；
；
所以的分布列为：
数学期望.
18．（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
19．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
选择新能源汽车
选择传统汽车
合计
40岁以下
65
35
100
40岁以上（包含40岁）
40
60
100
合计
105
95
200

0
1
2
3

0.216
0.432
0.288
0.064
增
极大值
减
极小值
增