贵州省罗甸县第一中学2023-2024学年高二下学期期末模拟测试数学试题4

这是一份贵州省罗甸县第一中学2023-2024学年高二下学期期末模拟测试数学试题4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，若 ，则=（ ）
A．1B．2 C．3D．4
5．在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
7．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．与向量平行的单位向量是D．向量在向量上的投影向量为
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．数据的第50百分位数为32
B．已知随机变量服从正态分布，；则
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4
11．已知双曲线过点且渐近线为，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．直线经过的一个焦点 D．的两条渐近线的夹角的正切值为
三、填空题
12．命题的否定是 ．
13．已知函数，则函数的图像在处的切线方程为 ．
14．已知，，则 ．
四、解答题
15．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数，
(1)求抽取的2人恰有1个女生的概率；
(2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差.
16．等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
17．四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD．
(1)证明：；
(2)若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值．
18．已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，且，求直线的方程．
参考答案：
1．B
【分析】利用子集的概念求解.
【详解】集合，集合，
若，又，所以，解得
故选：B
2．A
【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然，
所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．C
【详解】试题分析：A：由，得，即，A不正确；
B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C：由，，得，故，C正确；
D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.
【考点】函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
4．A
【详解】余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
5．B
【分析】根据等比中项的性质得到，再由对数的运算性质及下标和性质计算可得.
【详解】因为与的等比中项为，
所以，
所以.
故选：B
6．B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
7．B
【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.
故选：B
8．D
【分析】根据周期性及偶函数的性质得到，，再比较、、的大小，结合函数在上的单调性即可判断.
【详解】因为，所以是以为周期的周期函数，
又为偶函数，所以，，
又且在上单调递减，
所以，
即.
故选：D
9．AD
【分析】利用向量的坐标表示逐一判断即可.
【详解】选项A：，，所以，A正确；
选项B：，所以，B错误；
选项C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；
选项D：向量在向量上的投影向量为，D正确；
故选：AD
10．BC
【分析】根据第50百分位数为中位数判断A，根据正态分布的性质判断B，根据回归直线方程的性质判断C，根据方差的性质判断D.
【详解】对数据排列：，因为第50百分位数为中位数，所以50百分位数为，故A错误；
因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以，所以，故B正确；
因为，，，则，故C正确；
因为样本数据的方差为2，所以数据的方差为，故D错误.
故选：BC.
11．ACD
【分析】用待定系数法求出双曲线的方程即可判断ABC；利用正切函数二倍角公式可判断D。
【详解】若的焦点在轴，，又，则，
若的焦点在轴，，又，则，舍；故的方程为，故A正确；
所以的离心率为，故B错误；
直线过的右焦点，故C正确；
的两条渐近线夹角的正切值为，故D正确。
故选：ACD
12．
【分析】由全称命题否定的改写规则可得答案.
【详解】由题，命题p的否定是：.
故答案为：.
13．
【分析】利用导数的几何意义，在该点的导数等于该点切线的斜率即可求解.
【详解】由，得，则，
所以函数的图象在处的切线方程为，即．
故答案为：．
14．/
【分析】利用两角和差的余弦公式展开，即可求出，，再由同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为，
，
所以，，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)分布列见解析，，．
【分析】（1）由古典概型的概率公式计算可得；
（2）由题意可知的取值为，，，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望与方差．
【详解】（1）依题意，抽取的人恰有个女生的概率；
（2）由题意可知的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
故，
．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝化简bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以数列的前n项和为
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直；
（2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PBD，
因为平面PBD，故
（2）

如图，设，则O为AC、BD的中点，
由可得，
又因为平面PBD，平面PBD，所以，
因为，AC、平面ABCD，
所以平面ABCD，
故可以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
且为PA与平面ABCD所成角，
由于四边形ABCD为边长为，的菱形，
所以，
则，，，，，
由，∴，
得，且
设平面的法向量为，
则，,故可取，
又平面BCD的一个法向量为，
所以，
所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为
18．(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）利用导数求出函数的最大值，依题意可得，解得即可.
【详解】（1）解：当时，，则，
令，得，令，得
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数的极大值为，无极小值；
（2）解：
当，，则是增函数.
当时，则是减函数，
∴的最大值为，
∵恒成立，
∴，解得，
∴的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程.
【详解】（1）根据题意由可知，
动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，
即，所以，
所以可得的方程为；
（2）如下图所示：
依题意设，
联立与的方程，
消去整理可得，则；
且，解得；
所以，
解得，满足，符合题意；
所以直线的方程为.
0
1
2