河南省周口市周口恒大中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

2023-2024学年高二上学期数学9月考试模拟卷

数学试题

试卷考试时间：120分钟   满分：150

第I卷（选择题）

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ）

A． B．，，

C．，， D．

2．已知点M，N分别为圆与上一点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为（     ）

A． B． C． D．

4．已知空间中三点，，，则（    ）

A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

5．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．“”是“直线与圆相离”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ）

A． B．

C．  D．

8．过点，的直线的倾斜角为（    ）

A．60° B．45° C．135° D．30°

二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9．直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

10．若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数的可能取值是（    ）

A． B． C．3 D．

11．已知圆和相交于两点，则下列选项中正确的是（    ）

A．圆与圆有两条公切线 B．圆与圆关于直线对称

C．线段的长为 D．分别是圆与圆上的点，则的最大值为

12．关于直线与圆，下列说法正确的是（    ）

A．若直线l与圆C相切，则为定值 B．若，则直线l被圆C截得的弦长为定值

C．若，则直线l与圆C相离 D．是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为      ．

14．已知向量若，则           .

15．已知空间向量，，，，，则        ．

16．已知常数，若关于x的方程有且仅有一个实数解，则m的取值范围是            .

四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）

17．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，，，为的中点.

(1)求证：，并且求三棱锥的体积；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

18．已知点P(0，5)及圆C：.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；

(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.

19．已知圆C的圆心为直线与x轴的交点，半径等于直线与直线的距离.

（1）若直线与圆C交于A．B两点，求；

（2）过点作圆的切线交x轴与y轴分别于点C．D，若O为坐标原点，求.

20．设直线与相交于一点．

（1）求点的坐标；

（2）求点到直线的距离；

（3）求经过点且垂直于直线的直线的方程．

21．如图，在梯形中，，以为折痕将折起，使点A到达点的位置，连接．

(1)若点E在线段上，使得，试确定E的位置，并说明理由；

(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.

22．平行六面体，

(1)若，，，，，，求长；

(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．

参考答案：

1．C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对选项A：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：，因此向量，，共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；

对于选项D：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

2．B

【分析】由题可得两圆的圆心及半径，然后根据圆的性质即得.

【详解】由题可知圆A的圆心坐标为，半径为1，圆B的圆心坐标为，半径为，

因为两圆的圆心距，

所以两圆外离，

所以．

故选：B.

3．B

【分析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，表示出对应点与向量的坐标，利用向量法求出空间中两条直线所成的角.

【详解】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

因为圆锥的底面直径，高，

为底面圆周上的一点，，

所以可得，

则，

设空间两条直线与所成的角为，

所以，因为

所以，即直线与所成的角为，

故选：B.

4．D

【分析】根据共线向量定理，单位向量，法向量，向量夹角的定义，依次计算，即可得到答案；

【详解】对A，，又不存在实数，使得，与不是共线向量，故A错误；

对B，，与向量方向相同的单位向量是，故B错误；

对C，，，故C错误；

对D，设为面的一个法向量，，，取，平面的一个法向量是，故D正确；

故选：D

5．A

【分析】根据点到直线的距离公式列出不等式即可求解.

【详解】由点到直线的距离公式及题意可得到直线的距离，

再由题意可得，整理可得：，

解得，

故选：A.

6．B

【分析】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和的关系，即可判断出答案.

【详解】将配方，即，

表示圆需满足，

所以或，其圆心为，半径为，

因为直线与圆相离，

故圆心到直线的距离，解得，

结合或可得或，

（）

则成立推不出直线与圆相离；

反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件，

故选：B

7．C

【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.

【详解】由解得，则直线的交点，

又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.

故选：C.

8．B

【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率公式求得，得到，即可求解.

【详解】设过点的直线的倾斜角为，

因为，，由斜率公式得，即，所以.

故选：B.

9．AD

【分析】要使直线l与线段AB有公共点，则需或，根据两点的斜率公式计算可得选项.

【详解】解：要使直线l与线段AB有公共点，则需或，

而，，所以或，

所以k的取值可以为或4，

故选：AD

10．BC

【分析】转化条件为圆的半径大于圆心到直线的距离加一即可得解..

【详解】圆的圆心到直线的距离，

因为圆上恒有4个点到直线的距离为1，

所以圆的半径.

对比选项，可得BC符合题意.

故选：BC.

11．ABD

【分析】根据题意，得到两圆的圆心和半径，然后再逐项求解判断.

【详解】圆的圆心为，半径为2，圆即，圆心为，半径为2，

对于A.因为两圆相交，所以圆与圆有两条公切线，故正确；

对于B.直线AB的方程为，圆心与圆心关于直线对称，且半径都为2，所以圆与圆关于直线对称，故正确；

对于C.圆心O到直线AB的距离为，所以线段的长为，故错误；

对于D. 因为，所以的最大值为，故正确；

故选ABD

12．ABD

【分析】利用圆心到直线的距离，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用判断C；利用直线与轴的交点，判断D.

【详解】A. 若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，整理为，即，故A正确；

B.弦长，当时，，故B正确；

C.联立方程，，得，

，当时，

整理为恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；

D.直线与轴的交点是，当时，在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，但反过来，直线与轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，所以是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确.

故选：ABD

13．

【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．

【详解】解：设λ，则f（λ）===，

又C点在直线AB上，

要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，

可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，

∵|AB|=，

∴|BC|=，则|OC|=

则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，

即m的最大值为，

故答案为．

【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

14．1

【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解

【详解】由题意得，则，

故答案为：1

15．

【分析】直接由计算可得出.

【详解】∵，∴．

故答案为：.

【点睛】本题考查数量积的应用，属于基础题.

16．,

【分析】将问题转化为直线与曲线只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可．

【详解】由，可得，

由题意可得，

即直线与曲线只有一个交点，

又因为曲线表求以原点为圆心，2为半径且位于轴上及上方的半圆，

如图所示：

当直线过时，，此时直线与半圆只有一个交点，

当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点，

结合图象，当直线与半圆相切时，，

综上所述，的取值范围是,．

故答案为：,．

17．(1)证明见解析， ，

(2)

【分析】(1)按照题目所给的条件，分析底面ABCD和三棱锥的几何关系即可；

(2)建立坐标系，写出对应点的坐标，用空间向量即可解决.

【详解】（1）因为为的中点，，所以，

因为平面平面，

且平面平面，

所以平面，

又因为平面，所以；

根据条件，，，

可知，，

又因为，所以为正三角形，

故，

因为平面，

所以；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则即取，

又因为，

设直线与平面所成角为，

则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．(1)x＝0或3x－4y＋20＝0；

(2).

【分析】(1)根据垂径定理求解弦长，再根据弦长为即可求出直线方程；

(2)设圆C内过点P的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，则，据此化简即可得轨迹方程.

【详解】（1）圆C的方程可化为：，圆心C(－2，6)，半径r＝4.

如图，设直线l与圆C交于AB两点，则，D是AB的中点，则，.

在Rt△ADC中，可得.

当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.

由点到直线的距离公式得＝2，解得k＝，

此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.

当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝0，

，

∴弦长为满足题意.

因此，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.

（2）设圆C内过点P的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，

∴，∵，，

∴(x＋2)x＋(y－6)(y－5)＝0，

化简得轨迹方程：.

19．（1）；（2）

【解析】（1）根据题意求出圆的圆心与半径，再求出圆心到直线的距离，由即可求解.

（2）判断点为圆上的点，从而写出切线方程，求出点C.D，由三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）由题意可知，圆心为，

 直线与直线的距离为

，

直线，

所以圆心到此直线的距离，

所以.

（2）圆的方程为，

点满足圆的方程，即点在圆上，

点与点构成直线的斜率为，

所以过点圆的切线方程为，

与x轴与y轴分别于点，，

所以.

20．（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）联立直线与的方程，可求得点的坐标；

（2）利用点到直线的距离公式可求得结果；

（3）求出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】（1）解方程组，解得，即点的坐标为；

（2）点到直线的距离为；

（3）直线的斜率为，

所以，经过点且垂直于直线的直线的方程为，

即.

21．(1)点E为线段的中点，理由见解析

(2)

【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，进一步由线面垂直证明线线垂直，最后利用线线平行确定点的位置；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，求出坐标，求出两个平面的法向量，从而求出两个平面夹角的余弦值；

方法二：先证平面，再利用三垂线定理（或逆定理）作出两平面的夹角，在直角三角形中求出夹角的余弦值

【详解】（1）证明：点E为线段的中点，

取中点F，连接，，所以，

又因为，且平面，平面，

所以平面，而平面，所以，

在中，,

在中，，

又，所以，

两方程联立解得，又，所以，得.

因为F是中点，所以E为线段的中点.

（2）方法一：

以D为坐标原点，DB、DC分别为x、y轴，过D且垂直平面BDC的线为z轴，

建立如图空间直角坐标系，则，

设，则，解得，所以.

易知平面的法向量可取，

在平面中，，设其法向量为，

则令得，，

记平面与平面的夹角为，则，

所以，平面与平面夹角的余弦值为.

方法二：

∵F是中点，∴，∴，

又∵，且平面，平面，

∴平面，而平面，∴，

作，G为垂足，，且平面，平面，

∴平面，而平面，

∴，又，∴即为平面与平面的夹角，

在中，，所以，所以.

所以在中，，解得，

∴，即平面与平面的夹角余弦值为.

22．(1)；

(2).

【分析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；

(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.

【详解】（1），，，

，

∴

，

；

（2）∵，，

∴，

∵，

∴，

∵＝8，∴，

设与所成的角为，则.