甘肃省白银市靖远县2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题

这是一份甘肃省白银市靖远县2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知函数的值域是，则的定义域为，已知函数下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.0
5.已知等差数列的前10项和为100，且，则（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
6.已知函数的值域是，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知.为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为（ ）
A. B. C. D.
三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某农业研究部门有200块面积相等的玉米地，其中100块玉米地里种植新型玉米A，另100块玉米地里种植新型玉米B，得到种植新型玉米A的各块玉米地的面产量（单位：），并进行适当分组（每组为左闭右开区间），整理结果如图1所示，得到种相新型玉米B的各块玉米地的亩产量（单位：），并进行适当分组（每组为左闭右开区间），整理结果如图2所示.下列结论正确的是（ ）
A.这200块玉米地中亩产量不低于420的玉米地所占比例为
B.种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数大于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的中位数
C.种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的极差和种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的极差均介于30至50之间
D.种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的平均数小于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
10.已知函数下列命题正确的是（ ）
A.的值域为
B.
C.若函数在上单调递减，则的取值范围为
D.若在上单调递减，则的取值范围为
11.双纽线，也称伯努利双纽线.如图，双纽线经过原点，且上的点满足到点的距离与到点的距离之积为1，则（ ）
A.直线与只有1个公共点
B.圆与有4个公共点
C.与轴的交点坐标为
D.上的点到轴的距离的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知双曲线的左焦点为为双曲线的虚轴的一个端点，直线与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为__________.
13.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则__________.
14.在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲､乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取､然后甲再取，…，每次收1个，取后不放回.直到2个球白都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的概率为__________；将球全部取出才停止取球的概率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：.
（2）若，求.
16.（15分）
如图，在棱长相等的正三棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
17.（15分）
已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为，抛物线的焦点为.
（1）记椭圆与抛物线在第一象限的交点为，若，求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相切于第一象限，切点为，证明：直线经过点，且为线段的中点.
18.（17分）
已知函数.
（1）若是增函数，求的取值范围.
（2）若存在极大值，证明：的极大值大于0.
（3）若有2个零点，求的值.
19.（17分）
已知为有穷整数数列，共有项.给定正整数，若对任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一项，表示中最小的一项，则称为有界数列.
（1）判断是否为有界数列，判断是否为有界数列，说明理由；
（2）若共有4项，，且为单调递增数列，写出所有的，使得为有界数列；
（3）若为有界数列，证明：.
高三数学考试参考答案
1.B 【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.
.
2.D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.
由题意得.
3.D 【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.因为，所以.
故.
4.A 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，
即，则，解得（舍去），.
5.C 【解析】本题考查数列，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.因为，所以.
6.A 【解析】本题考查对数函数，考查逻辑推理的核心素养.
因为的值域是，所以，解得.
7.B 【解析】本题考查三角函数，考查直观想象的核心素养.
因为均为偶函数，所以与的图象均关于直线对称，
所以，
即，所以的最小值为2.
8.B 【解析】本题考查立体几何初步，考查直观想象的核心素养.
如图，平面与水面的夹角为，则平面与水平桌面的夹角为.由题意可得三棱柱的体积为4
，所以，解得，所以.水面距离桌面的高度为.
9.ACD 【解析】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.
种植新型玉米A的各块玉米地中亩产量不低于420的玉米地所占比例为，种植新型玉米B的各块玉米地中亩产量不低于420的玉米地所占比例为，这200块玉米地中
亩产量不低于420的玉米地所占比例为，A正确.
种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数介于420至430之间，种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的中位数介于430至440之间，种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数小于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的中位数，B错误.
种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的极差和种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的极差均介于30至50之间，C正确.
种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的平均数小于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的平均数，D正确.
10.BCD 【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.
当时，，当时，，所以，B正确，A错误.若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确.若在上单调递减，则的取值范围为，D正确.
11.ACD 【解析】本题考查曲线与方程，考查逻辑推理､数学运算的核心素养.
设曲线上的动点，则，化简得，令，解得或，所以双纽线与轴的交点坐标为，，C正确.
联立解得，所以直线与只有1个公共点，A正确.联立解得或所以圆与有2个公共点，B错误.
由，可得，所以.令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以上的点到轴的距离的最大值为，D正确.
12. 【解析】本题考查双曲线，考查直观想象､逻辑推理的核心素养.
设双曲线的右焦点为为坐标原点.因为，所以是的中点.在中，为中位线，所以，即轴.不妨设点在第一象限，则，即，所以.
13. 【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.
由得，所以曲线在原点处的切线
为.
由得，设切线与曲线相切的切点为.
由两曲线有公切线得，解得，则切点为.
因为切点在切线上，所以.
14.； 【解析】本题考查概率，考查逻辑推理的核心素养.
若2个白球都被乙取出，则第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，其概率为.
若将球全部取出才停止取球，则最后一次即第5次取出的一定是白球.
四种情况：
①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为；
②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为；
③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为.
故所求概率为.
15.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.
（1）证明：因为，所以，
即
所以或，
所以或.
因为，所以舍去.
综上，.
（2）解：由正弦定理可得，即，化简得.
因为
，所以，
解得（舍去）.
故.
16.【解析】本题考查立体几何，考查直观想象､数学运算的核心素养.
（1）证明：在分别为的中点，
所以.
因为为的中点，所以.
在三棱柱中，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）解：记的中点为，以为坐标原点，的方向分别为
轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
不妨设正三棱柱所有的棱长均为4，
则点.
设平面的法向量为，
则取，则.
设平面的法向量为，
则取，则.
设平面与平面的夹角为，
，
故平面与平面的夹角的正弦值为.
17.【解析】本题考查椭圆与抛物线，考查逻辑推理､数学运算的核心素养.
（1）解：因为抛物线的焦点为，所以抛物线.
因为离心率为，所以，即.
联立得，解得舍去，
所以.
因为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：设直线，
联立得①.
令，解得（舍去）.
直线的斜率为，与直线的斜率相等，
所以直线与直线重合，直线经过点.
将代入①，解得.
将代入直线的方程可得，所以，
所以，所以为线段的中点.
综上，直线经过点，且为线段的中点.
18.【解析】本题考查导数，考查逻辑推理､数学运算的核心素养.
（1）解：.
令函数.
是增函数，令，解得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为是增函数，所以恒成立，
即，解得.
故的取值范围为.
（2）证明：当时，是增函数，没有极大值.
当时，.
若存在极大值，则在上存在零点.
因为，所以.
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
.
综上，若存在极大值，则的极大值大于0.
（3）解：当时，是增函数，不可能有2个零点.
当时，.
令函数，则.
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，即，
所以.
当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减.
因为，所以在上有1个零点.
.
令函数，则.
令函数，则.
因为是减函数，所以，
所以在上单调递增，
则，即当时，，
所以在上单调递减，
，所以.
要使得有2个零点，则，即.
因为，所以（舍去），.
综上，的值为.
19.【解析】本题考查数列与计数原理，考查逻辑推理的核心素养.
（1）解：，
，所以为有界数列.
不存在，使得，所以不是有界数列.
（2）解：因为为6—有界数列，所以的值最少有6种情况.
因为共有4项，从中任取2项，共种取法，
所以的值只有6种情况，分别为，
即从中任取2项的差值的绝对值分别对应.
若，则，与从中任取2项的差值的绝对值分别对应矛盾；
若，则，从中任取2项的差值的绝对值取不到6，
所以.
①当时，若，不符合题意；
若，不符合题意；
若，符合题意；
若，不符合题意.
②当时，若，不符合题意；
若，不符合题意；
若，符合题意.
③当或5时，经检验，都不符合题意.
经验证，数列和数列均为6—有界数列.
综上，的值为或.
（3）证明：因为为10-有界数列，所以，的值最少有10种情况，
所以，解得舍去）.
当时，，要使得为有界数列，则从中任取2项的差值的绝对值分别对应.
因为为整数数列，且有界数列研究的是连续项中最大值与最小值的差值，所以不妨设，且为单调递增数列.
因为，所以.
要使得中有2项的差值为9，不妨取.
要使得中有2项的差值为8，可取，即.
（若取或4，会使得，若取，会使得，均不满足题意）
剩下无论取何值，都无法满足从中任取2项的差值的绝对值分别对应1，，
所以当时，不可能为有界数列，
当时，存在为10—有界数列，如.
易得，当时，存在，使得为有界数列.
综上，若为有界数列，则.