广东省惠州市惠城区培英学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市惠城区培英学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，，D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则依次判断即可．
本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A.. 与不是同类二次根式，无法进行相加减，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故选：D
3. 下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②当时不是一元二次方程；
③去括号化简后可得：，不是一元二次方程；
④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；
⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．
4. 若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（ ）
A. 丁B. 丙C. 乙D. 甲
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴成绩最稳定的同学是丙．
故选：B．
5. 如图，一次函数的图象与轴交于点A0,3，与轴交于点B4,0，则该函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，列方程组计算即可；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
解得
∴该函数的表达式为
故选：B．
6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A. 当时，它是正方形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，它是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），不一定是正方形，则此项错误，符合题意；
B、当时，它是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），则此项正确，不符合题意；
C、当时，它是矩形（对角线相等平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；
D、当时，它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．
7. 若，则x的值等于（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简、合并等号左边的二次根式，再将系数化为，继而两边平方，进一步求解可得．
【详解】解：原方程化，
合并，得，
即，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
8. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）

A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.8
【答案】D
【解析】
【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度．
【详解】解：∵米，米，
∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴米，
∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键．
9. “五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠，
∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2），
则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是：
y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键．
10. 如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A.
B.
C.
D. 33
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，利用菱形及等边三角形的性质，求出，，在中，求出DH的长，进而求出BG 的长，设AE=GE=x，在中，利用勾股定理，列方程，求出的值即可．
【详解】解：过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，如下图所示：
四边形ABCD是菱形，
，，，
与是等边三角形，
且点G恰好为CD边的中点，
平分AB，，
，，，
，，
在中，，
由勾股定理可知：，
，
由折叠可知：，故有，
设AE=GE=x，则，
在中，由勾股定理可知：，
即，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长，熟练综合利用菱形以及等边三角形的性质，求出对应的边或角，在直角三角形中，找到边之间的关系，设边长，利用勾股定理列方程，这是解决本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若最简二次根式 与是同类二次根式，则=________.
【答案】5．
【解析】
【详解】试题分析：由题意得：，解得：或，
当是不满足为最简二次根式，故舍去．故答案为5．
考点：同类二次根式．
12. 如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，求出牙刷在水杯内的长度是解题关键．利用勾股定理，得出牙刷在水杯内的长度为，再根据牙刷长度牙刷在水杯内的长度牙刷露在杯子外面的长度，即可得到答案．
【详解】解：由图形可知，牙刷在水杯内的长度为，
牙刷的长为，
，
即牙刷露在杯子外面的长度是，
故答案为：5．
13. 已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是____.
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵数据0，2，x，4，5的众数是4，
∴x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，2，4，4，5，
则中位数为：4.
故答案为4.
14. 已知，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对分母有理化得到，再把即可求解，正确求出，再把所求式子变成是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，直线向左平移2个单位长度得到直线，那么直线与轴的交点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线的解析式为，然后再计算出当时，的值，进而可得直线与轴的交点坐标．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，关键是掌握直线向左平移个单位，则解析式为．
【详解】解：∵直线向左平移2个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
∵当时，，解得，
∴直线与轴的交点坐标是．
故答案为：．
16. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快___s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【解析】
【分析】先由矩形的性质确定BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，则AQ=20-2x，BP=3x
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ=BP
∴3x=20-2x
∴x=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，后合并同类项即可；
（2）先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可；．
本题考查了负整数指数幂，零指数和实数的混合运算，二次根式的加减计算，掌握相应的运算法则是关键．
【小问1详解】
解：
，
；
【小问2详解】
解：
．
18. 在一次大学生一年级新生训练射击训练中，某小组的成绩如表：
（1）该小组射击数据的众数是 ，中位数是 ；
（2）求该小组的平均成绩；
（3）若8环（含8环）以上为优秀射手，在1200名新生中有多少人可以评为优秀射手？
【答案】（1）7，7 （2）平均成绩为7.4环
（3）有480名可以评为优秀射手
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解题即可．
（2）套用平均数计算公式解题即可．
（3）算出样本优秀率再求总体的优秀人数即可．
【小问1详解】
解：∵射击7环数的人数有5个，人数最多，
∴该小组射击数据的众数是7；
共10人，中位数为第5和第6人的平均数，即＝7，
故答案为：7，7；
【小问2详解】
解：该小组的平均成绩为：（6+7×5+8×3+9）＝7.4（环）；
【小问3详解】
解：根据题意得：
1200×＝480（名），
答：在1200名新生中有480名可以评为优秀射手
【点睛】本题主要考查统计中数据分析的应用，要注意中位数要先排序，熟练运用数据分析时解题关键．
19. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理和逆定理，得到为直角三角形，再利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积和，进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积
．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理．通过勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的关键．
20. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求∠CBF的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）∠CBF＝55°
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠DAE＝∠BCF，再结合条件即可．
（2）利用互余求角度，结合（1）中的全等解题即可．
【小问1详解】
证明：在平行四边形ABCD中，AD＝CB，
又AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC．
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS）；
【小问2详解】
解：在Rt△ADE中，∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°，
∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，
∵△AED≌△CFB（AAS），
∴∠CBF＝∠ADE＝55°
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质的运用，能够熟练运用性质得到三角形全等是解题关键．
21. 如图，已如一次函数图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）的面积为________．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把点和点坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算．
【小问1详解】
设一次函数表达式为
把，代入得，
解得．
所以一次函数解析式为；
【小问2详解】
把代入，
得，
所以点坐标为，
所以的面积
．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
23. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；…
，；…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【答案】（1）n，
（2）它第32个三角形，见解析
（3）11.25
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用，规律探究，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
（1）由勾股定理及直角三角形面积求解；
（2）利用（1）的规律代入求出n即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【小问1详解】
因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
，
，
，
…，
，
∴＝n．
Sn＝•1•＝
故答案为：n，
【小问2详解】
当时，即＝，
解得：n＝32
∴它是第32个三角形．
【小问3详解】
＝+…+
＝11.25
∴的值为11.25．
24. 综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动，
（1）操作判断
操作一：将正方形纸片依次沿对角线、对折，把纸片展平，折痕的交点为O；
操作二：在上取一点E，在上取一点F，沿折叠，使点B落在点O处，然后延长交于点G，连接．
如图1是经过以上两次操作后得到的图形，则线段和的数量关系是______．
（2）迁移思考
图2是把矩形纸片按照（1）中的操作一和操作二得到的图形．请判断，，三条线段之间有什么数量关系？并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
图2中，若点E是边的三等分点，直接写出的值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明四边形是正方形，四边形是正方形，从再根据两正方形边长相等，得出是全等的正方形，即可得出结论；
（2）证明，得到，从而由勾股定理，得，再由（1）知，即可得出结论；
（3）先求，再由，代入即可求解．
【小问1详解】
解：由操作一得点O是正方形的中心，
∴，，
由操作二得，，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴，
∴四边形是正方形，
∴正方形与正方形全等，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：，
证明：由操作一得点O是矩形对角线交点，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【小问3详解】
解：∵点E是边的三等分点，
∴，
∴，
由（2）知，
∴
∵矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形与矩形的性质，折叠性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．本题属四边形综合探究性题目，属中考试压轴题．熟练掌握相关性质与判定的综合运用是解题的关键．
环数
6
7
8
9
人数
1
5
3
1