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第05讲 ω、φ等参数的取值范围及最值问题（高阶拓展）（15类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）
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这是一份第05讲 ω、φ等参数的取值范围及最值问题（高阶拓展）（15类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用），文件包含第05讲ωφ等参数的取值范围及最值问题高阶拓展教师版docx、第05讲ωφ等参数的取值范围及最值问题高阶拓展学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共107页， 欢迎下载使用。
（15类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题灵活，难度较中等或较高，分值为5分
【备考策略】1理解ω在三角函数图象与性质和伸缩平移变换中的基本知识
2能结合三角函数基本知识求解ω的值或范围
【命题预测】本节内容是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域、零点及伸缩平移变换综合求解，需加强复习备考
知识讲解
ω在三角函数图象与性质中的基本知识
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
的周期公式为：
ω在伸缩平移变换中的基本知识（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
与三角函数的奇偶性相关的结论
若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
若y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、由三角函数的周期求ω的值
1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
2．（全国·高考真题）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2B．
C．1D．
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.
【详解】由题意知，的周期，得．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
1．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数（其中）的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（ ）
A．B．2C．1D．3
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，求得函数的最小正周期，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，又，
所以，可得．
故选：C．
2．（2023·四川遂宁·三模）已知函数，，，且的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】首先化简函数解析式，再结合条件，根据函数的周期公式，即可求解.
【详解】，
是函数的最大值，由题意可知，的最小值是个周期，
所以，得.
故选：B
考点二、由三角函数的单调性求ω的值或取值范围
1．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
当时，，则，解得，
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出正弦型函数的单调递增区间，再根据是其子区间即可得到的取值范围，即得到的最大值.
【详解】令，，结合得，
取，得．
因为函数在区间上单调递增，所以，
得，故的最大值为．
故选：C．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的图象与性质进行求解即可.
【详解】法一:由题
，令，，
因为，所以，，
因为在上单调递增，所以且，
得．由，得，
又且，所以，.
故选:C.
法二:由题
，
由，得，
设的最小正周期为T，则由题意得，所以，
从而，结合函数在上单调递增，在上单调递增，得，且，解得.
故选:C.
1．（22-23高一上·吉林长春·期末）（多选）若函数在区间上单调递增，则的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据正弦函数的单调增区间可知：，解之，赋值即可求解.
【详解】因为，则，由函数在区间上单调递增得，，，解得：，
由可得，
因为，，
所以令，因为，所以，故选项正确；
令，则，故选项正确；
故选：.
2．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的范围可求得的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造不等式组求得结果.
【详解】当时，，
在上单调递增，，
解得：，又，，
解得：，又，，，
即的取值范围为.
故选：D.
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.
【详解】，
当，由，则，
则有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.
故选：AC.
考点三、由三角函数的奇偶性求ω的值或取值范围
1．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
2．（2023春·陕西安康·高三统考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】先求得的图象平移后的解析式，再列出关于的方程，进而求得的最小值.
【详解】的图象向右平移1个单位长度后，
可得函数的图象，
则，，即，.
又，故的最小值为1.
故选：B
1．（2024·四川成都·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数平移变换法则得表达式，且它是偶函数，进一步可得结合即可求解.
【详解】由题意是偶函数，
所以，解得，
又，所以当且仅当时，.
故选：A.
2．（2024·吉林延边·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.
【详解】结合题意可得，
因为曲线关于轴对称，所以，
解得,因为，所以当时，有最小值.
故选：B.
3．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A．1B．6C．7D．8
【答案】AC
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
，因为为奇函数，
所以，
则，因为时，；
时，，所以A、C正确．
故选：AC.
考点四、由三角函数的对称性求ω的值或取值范围
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
3．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又函数在区间恰有3条对称轴，
所以，解得，
故选：D.
1．（2023春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考）（多选）函数的图象关于直线对称，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的对称轴求出的表达式，然后判断．
【详解】由题意得，，
即，，
因为，，，
所以的值不可能是，可能是、、.
故选：ABC．
2．（2023春·湖北武汉·高三校联考）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.
【详解】，
因为，，所以，
因为区间上恰有唯一对称轴，故，
解得.
故选：D
3．（2023春·浙江衢州·高三统考）函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有2个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】，
令，，则，，
函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：D.
考点五、由三角函数的最值求ω的值或取值范围
1．（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解即得.
【详解】依题意，，
当时，，若在上有最小值没有最大值，
则，所以.
故选：D
2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的取值可以是（ ）
A．7B．3C．5D．11
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到，再由在区间上有最小值无最大值求出，从而确定的可能取值，再代入检验即可.
【详解】因为为的零点，所以，
所以，①；
又恒成立，所以，
所以，②；
①②得，，所以，，
又，所以，解得，
又在区间上有最小值无最大值，所以，所以，解得，
所以的可能取值为、、、、、，
当时，由，且，
所以，所以，
又，当在上单调递增，故不存在最值，不符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，显然，不符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，
又，当，则，
当，即时取值最小值，
所以在区间上有最小值无最大值，符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，又，不符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，
又，当，则，
当，即时取值最小值，
所以在区间上有最小值无最大值，符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，又，不符合题意；
综上可得或.
故选：A
1．（2024·山西·三模）（多选）已知函数，若，且，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】依题意可得直线是函数的一条对称轴，即可得到，从而求出的值，再由两角和的正弦公式将函数化简，由时函数取得最小值求出.
【详解】因为，所以时函数取得最小值，即直线是函数的一条对称轴，
又因为，所以，即，所以，
所以，
所以，解得，
当时，当时.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据对称性得到，从而确定的值.
2．（22-23高三上·山东烟台·阶段练习）函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为（ ）
A．2πB．C．3πD．
【答案】BC
【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：函数，
，．
又函数在上恰有两个最大值点，
，解得．
故选：BC．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得出 ，其中，求得，进而求得的取值范围．
【详解】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，可得，解得，
当时，可得，
因为函数在上单调，则，
所以 ，其中，解得，
所以，解得，
又因为，则，所以，所以，
因此的取值范围是．
故选：D．
考点六、由三角函数的零点求ω的值或取值范围
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
1．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】令，求出，解不等式得解.
【详解】，令，解得，；
因为，取，
所以，即.
故选:BCD.
2．（天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有，
令，则有即.
因为在区间内没有零点，
故存在整数，使得，
即，因为，所以且，故或，
所以或，
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.
考点七、由三角函数的零点、极值点、最值点求ω的值或取值范围
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）设函数在上有且仅有1个极值点和1个零点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由求出的表达式，再由极值点及零点个数求出的范围即可得解.
【详解】当时，，依题意，，解得，
由，得，解得，所以.
故选：A
2．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数，若在区间内有且仅有4个零点和4条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.
【详解】函数，当时，，
由在区间内有且仅有4个零点，得，解得，
由在区间内有且仅有4条对称轴，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
1．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可.
【详解】当，则，，
依题意可得，解得，
即的取值范围是.
故选：A
3．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，若函数在上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦函数的图象与性质计算即可.
【详解】易知，
由余弦函数的图象与性质可知.
故选：B
考点八、由三角函数的零点、单调性求ω的值或取值范围
1．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】整理可得，以为整体，根据单调性分析可得，再结合零点分析求解.
【详解】因为，
，且时，
可得，且，
若在上单调，则，解得，
又因为的一个零点是，则，解得，
所以.
故选：B.
2．（全国·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．
【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则，
即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.
3．（22-23高一下·江西·期中）（多选）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】AB
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的对称性求出，再结合其单调性确定的范围，二者结合，即可求得答案.
【详解】由题意知直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，
故，则，，
又在上单调递减，则，
即得，结合，即，
故当时，；当时，；
取其它值时，不合题意，
故的最大值为，
故选：B．
2．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】A
【分析】根据可知时，函数取到最大值，结合，可求出，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得的值，利用函数的单调性确定的具体值，即可求得答案.
【详解】因为，故时，函数取到最大值，
又，可知为的对称中心，
故，
故；
又在上单调，故，
即，
结合选项，当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，
由，得，
由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，满足为的对称中心，
由，得，
由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；
故
故选：A
【点睛】易错点点睛：本题考查了根据的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍.
考点九、由三角函数值求ω的值或取值范围
1．（2024·四川内江·三模）设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，求出，结合以及题设可列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于，当时，，
又，，
而在原点左侧第一个使得的x的值为，即，
由于存在，且，使得，
故需满足，
即的取值范围是，
故选：B
2．（2024·全国·二模）已知函数满足，，且在单调递减，则的值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先根据题目条件得函数对称性，根据对称性求出和的表达式，然后根据单调性确定的范围，然后代入和的值验证即可.
【详解】因为，所以的图像关于对称，
所以①，
又，即，且在单调递减，
所以的图像关于点对称，
所以②，
①+②得，即，
又，所以或，
②-①得，即，为正奇数，
由在单调递减得，
所以，所以，又为正奇数，则或，
当时，，此时无整数解，所以，
所以，当时，，
此时在单调递减，符合条件，
故的值可以为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：对于已知三角函数的性质求参数范围的问题，正常情况下对称性比较好处理，关键是通过性质确定的取值范围，本题就是通过单调性确定周期的范围，进而得到的范围.
1．（2024·河南·二模）已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】化简得，由题意可得在上至少有两个相邻的对称轴，根据正弦函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意知，
由于，
则在上至少有两个相邻的对称轴，
令，，则，，
当时，不等式组无解，当时，解为，
因此的最小值为，
故选：C.
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得，结合选项，确定的取值范围，根据正弦函数的性质验证函数是否有3个零点且满足即可.
【详解】.
A：当时，，
由，得，函数有3个零点；
，
所以，不符合题意，故A错误；
B：当时，，
由，得，函数有3个零点；
，
，
，
所以，符合题意，故B正确；
C：当时，，
由，得，
函数不止有3个零点，不符合题意，故C错误；
D：当时，，
由，得，
函数不止有3个零点，不符合题意，故D错误；
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质的综合问题，确定的取值范围是解决本题的关键.
考点十、由三角函数的单调性、对称性求ω的值或取值范围
1．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，从而得解.
【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，
故，则，
即，
由函数在上单调，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上不单调，
故在上不单调，此时不合题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
综上，或.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用的对称性与单调性得到的可能取值，从而检验得解.
2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A．2B．6C．10D．14
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案.
【详解】由题意知，
因为为奇函数，所以，
，
因为为偶函数，所以，
相加得，
又因为，所以，
当代入得，即，
代入得，即，即；
当代入得，即，
代入得，即，即；
因为 在上没有最小值，
设，则，所以，的最大值是6.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系.
1．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，确定的取值，解得，令，结合已知条件根据的单调区间，取值情况得到关于的不等式，求解即可.
【详解】
因为函数的图象关于原点对称，
所以，又因为，所以，
所以；
令，因为，则，即，
的减区间为，
又在区间上是减函数，
所以是区间的子集，
因为，所以，，
只有时区间是由负到正，所以有：
，，解得；
因为函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，
相当于，在上只有一个最小值，
所以有：，，解得；
综上取交集有：，解得.
故选：D
2．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据在区间上单调求得，再结合零点和对称轴得，即可得，最后根据对称轴得，结合，求解验证即可.
【详解】
因为的最小正周期，且在区间上单调，所以，
又，故①；
又因为为的零点，是的图象的对称轴，
所以（），整理，得（）②.
由①②得且为奇数，当时，将代入，
令（），得，
又，故取，得，此时（）.
验证当时，，满足在区间上单调递减.
故实数的最大值为，此时.
故选：B
考点十一、由三角函数的伸缩平移变换求ω的值或取值范围
1．（2024·四川成都·三模）将函数 的图象向左平移个单位后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．9B．6C．3D．2
【答案】C
【分析】根据图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，运算求解即可得结果.
【详解】将的图象向左平移个单位，得到，
则，所以，，又，
所以的最小值为3.
故选：C.
2．（2024·山东·二模）已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】求出函数的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得.
【详解】函数，的图象向左平移个单位后所得函数，
函数的图象与的图象关于直线对称，则，
于是对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
因此，解得，而，则，
所以当时，取得最小值.
故选：A
3．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求函数的解析式，再根据，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.
【详解】由三角函数的图像变换规律可知，，
，，
因为函数在上单调递增，所以，且，
得.
故选：B
4．（23-24高一上·广东广州·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
因为，周期，函数在上没有零点，
则，所以，
因为，所以，
又在上没有零点，所以，解得，
又因为， ，，所以或，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.
5．（2023·全国·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图像，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】现根据函数平移放缩变换，得到解析式，再根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合余弦函数图象进行求解即可.
【详解】法一：由题意，得，所以．令，，则．设，则在上恰有两个极值点和两个零点．结合图像知，解得．
法二：验证排除法.由题意可知，所以，根据四个选项的特点，只有选项C中不含，所以只需要验证时的情况，若，则，令，因为，所以，结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不符合题意，所以，故选C.
法三：由题可知，，所以，令， ，则，，分别令，则，，，由题意知解得.
， ，则，，分别令，则，，，由题意知解得，综上所述，.
故选：C．
1．（2024·广东佛山·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】A
【分析】
结合图象变换求得解析式，再结合偶函数性质求解即可.
【详解】由题意知，（）
又因为为偶函数，所以关于轴对称.
所以，，解得，，
又，所以当时，取得最小值为.
故选：A.
2．（2024·陕西西安·一模）记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】D
【分析】根据题意，求得，进而的平移后的函数为，根据的图象关于轴对称，求得，即可得到答案.
【详解】由函数的最小正周期为，且，
所以，因为，可得，
所以的图象向右平移个单位后得到，
因为所得函数的图象关于轴对称，所以，
可得，因为，所以的最小值为.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图象．若点是图象的一个对称中心，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化简，进而根据三角函数图象平移求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】由题意可得，
所以将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，
再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图象，
因为点是图象的一个对称中心，
所以，解得，
又，所以的最小值为．
故选：C
4．（2023·四川·一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，
即，因为函数在上没有零点，则，即，
即，则，由，得，得，
若函数在上有零点，则，，
即，又，则.当时，解得.
当时，解得.当时，解得，与矛盾.
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数的解析式，利用间接法求解的范围是解决本题的关键.
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，若在区间内有最值，则实数的取值范围可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由三角函数的图象变换，得到，结合题意得出到，求得，再由，即可求解.
【详解】根据题意，得到，
由，解得，
可得，解得，
因，所以当时，；
当时，；当时，．
故选：ACD．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据图象的变换求出，再结合三角函数性质求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，即
因为，所以，
因为在上无零点，所以，
即，解得，
因为，所以，.
故选：A
考点十二、三角函数综合求φ的值或取值范围
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的一条对称轴是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦型函数的对称性可得出的表达式，结合的取值范围，可得出的值.
【详解】因为函数的一条对称轴是，
则，所以，，
因为，则.
故选：C.
2．（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为向右平移个单位后解析式为，
又图象关于原点对称，
时，，
故选：B.
3．（2024·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出，再根据正弦函数的对称轴求出和整数k的关系式，再对k取值即可求解.
【详解】由题意得：，
又因为是的一条对称轴，
所以，
即，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：
时，；
时，；
时，；
时，.
故选：B.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定周期求得，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.
【详解】由函数的最小正周期为，得，而，解得，
则，由，
得，又在上单调递减，
因此，且，解得①，
由余弦函数的零点，得，即，
而在上存在零点，则，
于是②，又，联立①②解得，
所以的取值范围是.
故选：B
5．（21-22高三上·广东·阶段练习）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围.
【详解】因为，所以，
由，即，得，
当时，，又，则，
因为在的零点为，
且在内恰有3个零点，所以或，
解得，
故选：D
1．（2024·全国·二模）若函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数是偶函数，则，
即，而，所以.
故选：B
2．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意为最大值或最小值，从而得到为函数的对称轴，再根据正弦函数的性质求出，最后确定的最小正值.
【详解】因为，且，，
即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴，
所以，
解得，
又，所以当时取得最小值.
故选：B
3．（23-24高一下·河南·阶段练习）将函数（）的的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则φ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用伸缩变换得到，，所以或，得到φ的最小值是．
【详解】由题意得，则，
所以或者，，
则或者，，因为，所以φ的最小值是．
故选：A．
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数的图象向左平移个单位后得到的图象，若是的一个零点，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题利用平移变换得到方程，从中求得，将其代入另一条件，整理得即可判断结果.
【详解】依题意，，则，解得；
又即得，，
则得，即，.
故选：B.
5．（23-24高三下·山东济南·开学考试）若函数在上的最大值小于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据x的范围，确定，由题意可得，结合正弦函数的性质，分类讨论，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知，，则，且，
函数在上的最大值小于，
即此时，
在内，的函数值对应的x的值为，，，
①当，且时，满足题意，此时；
②当，且时，满足题意，此时，
综合上述，可得的取值范围是，
故选：D
考点十三、由三角函数的单调性、值域求其它参数的值或取值范围
1．（23-24高一下·河北张家口·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出相位所在区间，再利用正弦函数的单调性列式求解即得.
【详解】当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此，解得，
所以实数a的最大值为.
故选：B
2．（2022高三·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若当取最小值时，在区间上是单调函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性和对称性确定的最小值，然后由单调性可解.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以或，
又，所以的图象关于，
所以，即，所以，
当时，由得，，
所以，此时在区间上单调，
又因为在区间上是单调函数，所以，
所以的最大值为.
故选：C
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由图象求出函数，再由平移变换得函数，结合整体法求值域，从而求的取值范围.
【详解】设的最小正周期为，由图象可知，
所以，则，故，
又的图象过点，所以，
所以，又，所以，
则，
则.
当时，，
当或.即或时，，
当，即时，，
所以的取值范围为.
故选：C.
1．（2024·福建漳州·一模）已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为整体，结合余弦函数性质分析求解.
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，即实数的最大值为.
故选：C.
2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性计算即可.
【详解】易知，，
在时，，
显然，
若要符合题意，且能取得最大值，结合正弦函数的单调性可知需满足：
，故的最大值为.
故选：A
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数图象的平移可得的表达式，求出其单调增区间，结合在上单调递增，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
故，
令，则，
即的单调增区间为，
又函数在上单调递增，则，
而，故，解得，
即实数t的取值范围是，
故选：A
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助余弦函数的单调性与值域的关系计算即可得.
【详解】时，，
由函数在区间上的值域为，
故函数在区间上的值域为，
则有，即.
故选：A.
考点十四、由三角函数的对称性求其它参数的值或取值范围
1．（2024·四川泸州·二模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为（其中），
又函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，解得.
故选：D
1．（2024·广东梅州·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数平移可得平移后的解析式，根据，即可由和差角公式化简求解．
【详解】把函数的图象向左平移个单位后得到，
，
则，
即，
即，该方程对任意恒成立，
则，解得．
故选：C．
2．（2024·四川泸州·二模）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称，则b的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
利用辅助角公式及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为（其中），
又的最小正周期为，，所以，则，
所以，
又函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，解得.
故选：D
考点十五、由三角函数的零点及方程的根求其它参数的值或取值范围
1．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移可得，结合三角函数的性质分析可知在的两个零点情况，进而列出关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】依题意，，
由，可得，
因在上恰有两个零点，
注意到区间的中点为，
则在上恰有两个零点为，
故需使，解得，
故选：B.
1．（22-23高一下·河南南阳·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间上有两个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的图象变换，求得，把方程在区间上有两个不同的根，转化为与的图象有两个交点，结合图象，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，
再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得，
由，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，
若方程在区间上有两个不同的根，
即函数与的图象有两个交点，如图所示，
可得，即实数的取值范围为.
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解.
【详解】对于函数，令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
当时函数的一个单调递增区间为，
又函数在上单调递增，所以，
则的最大值为.
故选：B
2．（23-24高三上·江西·阶段练习）设函数在上恰有两个极值点，两个零点，则的取值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】CD
【分析】设，利用极值点求出的取值范围，即可得出的可能取值.
【详解】由题意，，
在中，则，
因为在上恰有两个极值点，两个零点，
所以，即．
故的取值范围是．
故选：CD.
3．（2024·山西临汾·一模）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先对解析式进行降幂，再平移得到，利用奇函数特征求得，考虑范围即得.
【详解】由向左平移个单位得到的图象，
因为奇函数，故，则，即，又，则.
故选：C.
4．（2023·浙江宁波·二模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】ABC
【分析】先利用三角函数平移得到的解析式，再利用正弦函数的性质得到的单调递增区间，结合题意可得，从而得解.
【详解】依题意，，
由，得：，
所以的单调递增区间为，
因为在上为增函数，
所以只考虑的一个单调递增区间，
故，即，解得，
所以选项D不满足，选项ABC满足.
故选：ABC.
5．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
6．（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解.
【详解】，
因为的图象关于点对称，
所以，
故，即，
当，即时，函数取得最小值，
因为在上没有最小值，
所以，即，
由解得，故，得.
故选：B
二、多选题
7．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）若函数的最小正周期为，则的值可能是（ ）
A．2B．C．D．-2
【答案】BC
【解析】根据周期公式求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期为
所以，
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.
8．（22-23高三上·浙江·阶段练习）若函数在区间上单调，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】方法一：首先求得，由在上单调可构造不等式组，结合可确定所有可能的取值，由此可得的范围，进而确定选项；
方法二：利用诱导公式可化简得到，得到，根据，可确定，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定选项.
【详解】方法一：当时，，
在区间上单调，
或，
或；
由得：；又，；，
又，，，又，；
由得：；又，，，
又，，，即；
综上所述：.
方法二：，
当时，；
在上单调，，；
由，知：或，解得：或，
.
故选：AC.
9．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知 是直线 与函数 图象的两个相邻交点，若，则 的值可能是（ ）
A．2B．4C．8D．10
【答案】AD
【分析】因为的图象与直线的相邻交点的距离为或，占周期的比例的或，由此结合周期公式列式求解即可.
【详解】设函数的最小正周期为,
则或者，
即或，
解得或，
故选：AD.
10．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定的取值范围，从而确定正确的选项.
【详解】由，，.
又函数在区间上单调递减，所以，
又因为，，所以，，
因为，所以，
因为在区间上有且仅有一个零点，
所以在区间上有且仅有一个实数根，
所以，解得，
综上，，故BC正确，AD错误.
故选：BC
11．（2022·辽宁辽阳·二模）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值可以为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】BCD
【分析】根据函数在上单调递增，可知，，由此可得，，再根据和，可知，进而求出；根据对任意，都有，可知，，可知，再根据和，可知，求得，由此即可求出的范围，进而求出结果.
【详解】由，得，
则，，
解得，.
由，，得，，
因为，所以当时，不符合条件，故，即.
由，得，
则，，
解得，，
由，，得，，
因为，所以当时，不符合条件，故，即.
综上所述，的取值范围为.
所以的取值可以为选项中的，，2.
故选：BCD.
12．（2023·河北秦皇岛·二模）已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．2D．8
【答案】AB
【分析】根据函数图象关于直线对称，函数在取得最值，可得；求出的范围，根据函数在区间上是单调减函数，列出不等式关系，继而可求出的取值范围，再结合条件，即可确定的值.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
根据，则，
因为是在区间上的单调减函数，
所以
，
因为，所以或，
当时，，
当时，；
由于是在区间上的单调减函数，
且，
所以，
所以，，
，
根据或，
可得，或.
故选:
一、单选题
1．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；
【详解】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：C．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.
2．（22-23高三上·湖北·阶段练习）设函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先令，求得或，再根据题意尝试的值可确定，进而得到的4个零点，结合题意排除其中1个零点有两种情况，分别求之即可得到的取值范围.
【详解】∵，即，
∴或，，
∴或，，
∵，即，
∴当时，且，即所有根都小于零，
当时，且，即所有根都大于，
综上：，即在内的三个零点为，，，中的三个.
由于上述4个值是依次从小到大排列，且，
故有两种情况，分别为：
，解得，故，
或，解得，故，
故或，即.
故选：D．
3．（23-24高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果.
【详解】由题意的最小正周期为T，则，
又，可得，即，
又，所以，
在区间上恰有3个零点，
当时，，
结合函数的图象如图所示：
则在原点右侧的零点依次为，，，，…，
所以，解得，即的取值范围为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键.
4．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把函数零点问题转化为两个函数交点问题，数形结合即可求解.
【详解】因为函数在上恰有4个不同的零点，
则方程在上恰有4个不同的解，
即方程在上恰有4个不同的解，
所以函数与函数在上恰有4个不同的交点，
因为函数，且在上单调递减，
所以函数函数在上单调递减，且，，
函数是由函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
作出两个函数图象，如图：
要使函数与函数在上恰有4个不同的交点，
由图知：的周期满足，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】方法点睛：函数零点问题的解决办法：
（1）直接法：根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．（23-24高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，得函数的对称轴为，所以有，可得，解得，再分类讨论又在区间上单调递增和递减两种情况，对每一种情况列出关于的不等式组，解之可求得的值.
【详解】因为，所以函数的对称轴为，
所以，即，，
解得，，，，，
①若在区间上单调递增，则，，
，，
，即，解得，，
所以，，且，，所以当时，满足题意；
②若在区间上单调递减，则，，
，，
，即，解得，，
所以，，且，，此时无解，综上可得.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的对称性，单调性问题中求参数的范围的方面，关键在于根据其函数的性质得出关于参数的不等式组.
6．（2023·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意利用正弦函数的单调性可得，所以，利用正弦函数的周期性可求的周期，解得，即可得解．
【详解】因为
，
又因为，且，则，
若在上单调递增，
所以，所以，
因为对任意的实数，在上不单调，
所以的周期，所以，
所以．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数，在上不单调与周期间的关系.
7．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（ ）
A．8B．7C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到，进而得到，求得，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，
可得，即，其中，
因为，当时，当时，
因为在区间内有唯一的极大值点，所以，
解得，即，所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，
所以的最大值为.
故选：C.
8．（22-23高三上·浙江金华·阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
9．（23-24高三上·浙江杭州·期中）设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【分析】
直接利用，，求出和的表达式，进一步利用在区间上有且只有一个极大值点，通过分类讨论求出的值，进而可得最大值.
【详解】由已知得，，，
则，
其中，
因为，
当时，
当时，，
因为在区间上有且只有一个极大值点，
所以，
解得，
即，
所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，成立；
所以的最大值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过条件将和都用整数表示出来，然后对的值由大到小讨论找到符合条件的结果.
10．（2022·天津武清·二模）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】解：当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.
二、多选题
11．（2022·辽宁·三模）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的周期性、对称性以及函数值相等与周期之间的关系可求得的值.
【详解】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
设的最小正周期为T，则由题意可得，即.由在上单调，且，得的一个零点为.因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则.
故选：ACD.
12．（23-24高三上·山西·期末）函数，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则在内恰有3个零点
B．若，则在内恰有3个极值点
C．若在内有最小值点，则
D．若在区间单调，则
【答案】ACD
【分析】根据正弦型函数的零点、极值点、最值点和单调性一一分析即可.
【详解】对于A，当时，，其零点满足，故，
故，其中在区间内恰有3个，故A正确；
对于B，当时，，其极值点满足，故，
故，其中在区间内只有2个，故B错误；
对于C，的最小值点满足，解得，
因为，则最小值为，令，得，故C正确；
对于D，的极值点满足，即，
若在单调，需（*），
由得，即，
当时，解得；当时，解得；
当，解（*）得，又，故；当时，对应的均为负值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是找到单调区间的通式，从而得到不等式组，解出范围，再对合理赋值即可.
三、填空题
13．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据，结合角的范围确定是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.
【详解】函数，
令，解得：，
令，解得：
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
若函数在区间上是单调递增函数，
则，
是一个三角形的内角，
，，
，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，
是一个三角形的内角，
，
若函数在区间上是单调递减函数，
则，
，，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，与矛盾，
函数在区间上是不能是单调递减函数，
综上所述，，
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦函数的最值点可得，并结合x的取值范围分析求解.
【详解】若函数在区间上有且仅有一个极值点，
即数在区间上有且仅有一个最值点，
则，解得，
故函数的最值点为.
不妨设在区间上仅有的一个最值点为，
则，即，
则，得，
解得，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
综上，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识
（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
（2）整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解；
（3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论.
15．（2024·广东茂名·一模）函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于在区间上有且只有两个零点，所以，
即，由得，，，
∵，∴，
∴或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到，再根据零点个数得到不等式组，解出即可.
16．（2024·辽宁抚顺·一模）已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个最值点可限定出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由可得或；
根据正弦函数图象性质可知，解得；
将函数的图象向左平移个单位后可得为偶函数，
则，又可得；
因此；
当时，可知，
若函数在内恰有2个最值点，可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解.
17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据题意确定，从而结合，确定，由此分类讨论，即讨论与余弦函数的零点，的位置关系，列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数在区间上有且仅有一个零点，
故函数的最小正周期,
又，则，而，
当时，即时，需有，即，此时；
当时，即时，，此时函数在上无零点，不合题意；
当时，即时，需有，即，此时；
当时，即时，，此时函数在上有一零点，符合题意；
当时，即时，需有，即，此时；
综合上述，得的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查了根据余弦型函数的零点个数，求解参数范围问题，解答的难点在于要根据，确定，由此要分类讨论该区间的两端点的位置关系，结合余弦函数的对称中心，列不等式求解参数范围.
18．（23-24高三上·天津·期中）已知函数满足.若在上恰好有一个最小值和一个最大值，则 ；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】 4
【分析】整理得.空1：根据题意可知，进而可求；空2：根据周期性特征分析可知，进而可得，以为整体，结合正弦函数分析求解.
【详解】因为，设的最小值正周期为，
若在上恰好有一个最小值和一个最大值，且，
则，所以；
若在上恰好有两个零点，则，解得，
即，且，可得，
因为，则，
且，
且，
可得或或，
解得或或，
所以的取值范围是.
故答案为：4；.
【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的两种意识：
1.转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
2.整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解．
19．（23-24高一下·江西景德镇·期中）设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据函数的零点和对称轴得到，从而得到；再根据函数在区间上单调得到，从而得到；进而可得然后再验证时函数在区间上不单调，从而得到.
【详解】因为为函数的一个零点，且是函数f（x）图象的一条对称轴，
所以，所以，所以；
因为函数在区间上单调，
所以，即，所以，所以，
又因为，所以
当时，，，，
又因为，则所以，
又，则，
所以函数在区间上不单调，所以舍去；
当时，，，，，
又因为，则所以.
又，，
所以函数在区间上单调，所以.
故答案为：.
20．（2024·福建福州·三模）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是 ；若，则的值为 ．
【答案】 答案不唯一 /
【分析】根据单调区间，以及可得，进而可得对称中心；先根据单调区间求出的可能取值，然后根据得到和的关系，根据关系以及的可能取值对照验证计算即可.
【详解】因为在区间上单调，
且，，
所以，
所以图象的一个对称中心是；
由题设，的最小正周期，
故，由，得，
由为的一个对称中心，
所以①；
因为，所以或.
若②，①-②得，
即，不存在整数，使得.
若③，①-③得，
即，不存在整数使得，当时，.
此时，由，
得.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：解决本题的思路是通过确定，联立和可得或，分别验证是否有，即可求得.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
的取值范围
余弦函数图象的应用
根据函数零点的个数求参数范围
2022年全国甲卷理数，第11题,5分
由正弦(型)函数的值域(最值)
求参数
利用正弦函数的对称性求参数
正弦函数图象的应用
2022年全国甲卷文数，第5题,5分
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
求图象变化前 (后)的解析式
2022年全国乙卷理数，第15题,5分
利用csx(型)函数的对称性求参数
求余弦(型)函数的最小正周期
（15类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题灵活，难度较中等或较高，分值为5分
【备考策略】1理解ω在三角函数图象与性质和伸缩平移变换中的基本知识
2能结合三角函数基本知识求解ω的值或范围
【命题预测】本节内容是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域、零点及伸缩平移变换综合求解，需加强复习备考
知识讲解
ω在三角函数图象与性质中的基本知识
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
的周期公式为：
ω在伸缩平移变换中的基本知识（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
与三角函数的奇偶性相关的结论
若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
若y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、由三角函数的周期求ω的值
1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
2．（全国·高考真题）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2B．
C．1D．
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.
【详解】由题意知，的周期，得．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
1．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数（其中）的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（ ）
A．B．2C．1D．3
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，求得函数的最小正周期，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，又，
所以，可得．
故选：C．
2．（2023·四川遂宁·三模）已知函数，，，且的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】首先化简函数解析式，再结合条件，根据函数的周期公式，即可求解.
【详解】，
是函数的最大值，由题意可知，的最小值是个周期，
所以，得.
故选：B
考点二、由三角函数的单调性求ω的值或取值范围
1．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
当时，，则，解得，
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出正弦型函数的单调递增区间，再根据是其子区间即可得到的取值范围，即得到的最大值.
【详解】令，，结合得，
取，得．
因为函数在区间上单调递增，所以，
得，故的最大值为．
故选：C．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的图象与性质进行求解即可.
【详解】法一:由题
，令，，
因为，所以，，
因为在上单调递增，所以且，
得．由，得，
又且，所以，.
故选:C.
法二:由题
，
由，得，
设的最小正周期为T，则由题意得，所以，
从而，结合函数在上单调递增，在上单调递增，得，且，解得.
故选:C.
1．（22-23高一上·吉林长春·期末）（多选）若函数在区间上单调递增，则的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据正弦函数的单调增区间可知：，解之，赋值即可求解.
【详解】因为，则，由函数在区间上单调递增得，，，解得：，
由可得，
因为，，
所以令，因为，所以，故选项正确；
令，则，故选项正确；
故选：.
2．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的范围可求得的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造不等式组求得结果.
【详解】当时，，
在上单调递增，，
解得：，又，，
解得：，又，，，
即的取值范围为.
故选：D.
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.
【详解】，
当，由，则，
则有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.
故选：AC.
考点三、由三角函数的奇偶性求ω的值或取值范围
1．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
2．（2023春·陕西安康·高三统考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】先求得的图象平移后的解析式，再列出关于的方程，进而求得的最小值.
【详解】的图象向右平移1个单位长度后，
可得函数的图象，
则，，即，.
又，故的最小值为1.
故选：B
1．（2024·四川成都·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数平移变换法则得表达式，且它是偶函数，进一步可得结合即可求解.
【详解】由题意是偶函数，
所以，解得，
又，所以当且仅当时，.
故选：A.
2．（2024·吉林延边·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.
【详解】结合题意可得，
因为曲线关于轴对称，所以，
解得,因为，所以当时，有最小值.
故选：B.
3．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A．1B．6C．7D．8
【答案】AC
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
，因为为奇函数，
所以，
则，因为时，；
时，，所以A、C正确．
故选：AC.
考点四、由三角函数的对称性求ω的值或取值范围
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
3．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又函数在区间恰有3条对称轴，
所以，解得，
故选：D.
1．（2023春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考）（多选）函数的图象关于直线对称，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的对称轴求出的表达式，然后判断．
【详解】由题意得，，
即，，
因为，，，
所以的值不可能是，可能是、、.
故选：ABC．
2．（2023春·湖北武汉·高三校联考）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.
【详解】，
因为，，所以，
因为区间上恰有唯一对称轴，故，
解得.
故选：D
3．（2023春·浙江衢州·高三统考）函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有2个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】，
令，，则，，
函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：D.
考点五、由三角函数的最值求ω的值或取值范围
1．（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解即得.
【详解】依题意，，
当时，，若在上有最小值没有最大值，
则，所以.
故选：D
2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的取值可以是（ ）
A．7B．3C．5D．11
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到，再由在区间上有最小值无最大值求出，从而确定的可能取值，再代入检验即可.
【详解】因为为的零点，所以，
所以，①；
又恒成立，所以，
所以，②；
①②得，，所以，，
又，所以，解得，
又在区间上有最小值无最大值，所以，所以，解得，
所以的可能取值为、、、、、，
当时，由，且，
所以，所以，
又，当在上单调递增，故不存在最值，不符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，显然，不符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，
又，当，则，
当，即时取值最小值，
所以在区间上有最小值无最大值，符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，又，不符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，
又，当，则，
当，即时取值最小值，
所以在区间上有最小值无最大值，符合题意；
当时，由，且，
所以，所以，又，不符合题意；
综上可得或.
故选：A
1．（2024·山西·三模）（多选）已知函数，若，且，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】依题意可得直线是函数的一条对称轴，即可得到，从而求出的值，再由两角和的正弦公式将函数化简，由时函数取得最小值求出.
【详解】因为，所以时函数取得最小值，即直线是函数的一条对称轴，
又因为，所以，即，所以，
所以，
所以，解得，
当时，当时.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据对称性得到，从而确定的值.
2．（22-23高三上·山东烟台·阶段练习）函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为（ ）
A．2πB．C．3πD．
【答案】BC
【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：函数，
，．
又函数在上恰有两个最大值点，
，解得．
故选：BC．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得出 ，其中，求得，进而求得的取值范围．
【详解】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，可得，解得，
当时，可得，
因为函数在上单调，则，
所以 ，其中，解得，
所以，解得，
又因为，则，所以，所以，
因此的取值范围是．
故选：D．
考点六、由三角函数的零点求ω的值或取值范围
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
1．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】令，求出，解不等式得解.
【详解】，令，解得，；
因为，取，
所以，即.
故选:BCD.
2．（天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有，
令，则有即.
因为在区间内没有零点，
故存在整数，使得，
即，因为，所以且，故或，
所以或，
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.
考点七、由三角函数的零点、极值点、最值点求ω的值或取值范围
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）设函数在上有且仅有1个极值点和1个零点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由求出的表达式，再由极值点及零点个数求出的范围即可得解.
【详解】当时，，依题意，，解得，
由，得，解得，所以.
故选：A
2．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数，若在区间内有且仅有4个零点和4条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.
【详解】函数，当时，，
由在区间内有且仅有4个零点，得，解得，
由在区间内有且仅有4条对称轴，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
1．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可.
【详解】当，则，，
依题意可得，解得，
即的取值范围是.
故选：A
3．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，若函数在上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦函数的图象与性质计算即可.
【详解】易知，
由余弦函数的图象与性质可知.
故选：B
考点八、由三角函数的零点、单调性求ω的值或取值范围
1．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】整理可得，以为整体，根据单调性分析可得，再结合零点分析求解.
【详解】因为，
，且时，
可得，且，
若在上单调，则，解得，
又因为的一个零点是，则，解得，
所以.
故选：B.
2．（全国·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．
【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则，
即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.
3．（22-23高一下·江西·期中）（多选）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】AB
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的对称性求出，再结合其单调性确定的范围，二者结合，即可求得答案.
【详解】由题意知直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，
故，则，，
又在上单调递减，则，
即得，结合，即，
故当时，；当时，；
取其它值时，不合题意，
故的最大值为，
故选：B．
2．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】A
【分析】根据可知时，函数取到最大值，结合，可求出，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得的值，利用函数的单调性确定的具体值，即可求得答案.
【详解】因为，故时，函数取到最大值，
又，可知为的对称中心，
故，
故；
又在上单调，故，
即，
结合选项，当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，
由，得，
由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，满足为的对称中心，
由，得，
由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；
故
故选：A
【点睛】易错点点睛：本题考查了根据的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍.
考点九、由三角函数值求ω的值或取值范围
1．（2024·四川内江·三模）设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，求出，结合以及题设可列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于，当时，，
又，，
而在原点左侧第一个使得的x的值为，即，
由于存在，且，使得，
故需满足，
即的取值范围是，
故选：B
2．（2024·全国·二模）已知函数满足，，且在单调递减，则的值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先根据题目条件得函数对称性，根据对称性求出和的表达式，然后根据单调性确定的范围，然后代入和的值验证即可.
【详解】因为，所以的图像关于对称，
所以①，
又，即，且在单调递减，
所以的图像关于点对称，
所以②，
①+②得，即，
又，所以或，
②-①得，即，为正奇数，
由在单调递减得，
所以，所以，又为正奇数，则或，
当时，，此时无整数解，所以，
所以，当时，，
此时在单调递减，符合条件，
故的值可以为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：对于已知三角函数的性质求参数范围的问题，正常情况下对称性比较好处理，关键是通过性质确定的取值范围，本题就是通过单调性确定周期的范围，进而得到的范围.
1．（2024·河南·二模）已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】化简得，由题意可得在上至少有两个相邻的对称轴，根据正弦函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意知，
由于，
则在上至少有两个相邻的对称轴，
令，，则，，
当时，不等式组无解，当时，解为，
因此的最小值为，
故选：C.
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得，结合选项，确定的取值范围，根据正弦函数的性质验证函数是否有3个零点且满足即可.
【详解】.
A：当时，，
由，得，函数有3个零点；
，
所以，不符合题意，故A错误；
B：当时，，
由，得，函数有3个零点；
，
，
，
所以，符合题意，故B正确；
C：当时，，
由，得，
函数不止有3个零点，不符合题意，故C错误；
D：当时，，
由，得，
函数不止有3个零点，不符合题意，故D错误；
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质的综合问题，确定的取值范围是解决本题的关键.
考点十、由三角函数的单调性、对称性求ω的值或取值范围
1．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，从而得解.
【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，
故，则，
即，
由函数在上单调，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上不单调，
故在上不单调，此时不合题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
综上，或.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用的对称性与单调性得到的可能取值，从而检验得解.
2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A．2B．6C．10D．14
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案.
【详解】由题意知，
因为为奇函数，所以，
，
因为为偶函数，所以，
相加得，
又因为，所以，
当代入得，即，
代入得，即，即；
当代入得，即，
代入得，即，即；
因为 在上没有最小值，
设，则，所以，的最大值是6.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系.
1．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，确定的取值，解得，令，结合已知条件根据的单调区间，取值情况得到关于的不等式，求解即可.
【详解】
因为函数的图象关于原点对称，
所以，又因为，所以，
所以；
令，因为，则，即，
的减区间为，
又在区间上是减函数，
所以是区间的子集，
因为，所以，，
只有时区间是由负到正，所以有：
，，解得；
因为函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，
相当于，在上只有一个最小值，
所以有：，，解得；
综上取交集有：，解得.
故选：D
2．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据在区间上单调求得，再结合零点和对称轴得，即可得，最后根据对称轴得，结合，求解验证即可.
【详解】
因为的最小正周期，且在区间上单调，所以，
又，故①；
又因为为的零点，是的图象的对称轴，
所以（），整理，得（）②.
由①②得且为奇数，当时，将代入，
令（），得，
又，故取，得，此时（）.
验证当时，，满足在区间上单调递减.
故实数的最大值为，此时.
故选：B
考点十一、由三角函数的伸缩平移变换求ω的值或取值范围
1．（2024·四川成都·三模）将函数 的图象向左平移个单位后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．9B．6C．3D．2
【答案】C
【分析】根据图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，运算求解即可得结果.
【详解】将的图象向左平移个单位，得到，
则，所以，，又，
所以的最小值为3.
故选：C.
2．（2024·山东·二模）已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】求出函数的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得.
【详解】函数，的图象向左平移个单位后所得函数，
函数的图象与的图象关于直线对称，则，
于是对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
因此，解得，而，则，
所以当时，取得最小值.
故选：A
3．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求函数的解析式，再根据，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.
【详解】由三角函数的图像变换规律可知，，
，，
因为函数在上单调递增，所以，且，
得.
故选：B
4．（23-24高一上·广东广州·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
因为，周期，函数在上没有零点，
则，所以，
因为，所以，
又在上没有零点，所以，解得，
又因为， ，，所以或，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.
5．（2023·全国·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图像，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】现根据函数平移放缩变换，得到解析式，再根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合余弦函数图象进行求解即可.
【详解】法一：由题意，得，所以．令，，则．设，则在上恰有两个极值点和两个零点．结合图像知，解得．
法二：验证排除法.由题意可知，所以，根据四个选项的特点，只有选项C中不含，所以只需要验证时的情况，若，则，令，因为，所以，结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不符合题意，所以，故选C.
法三：由题可知，，所以，令， ，则，，分别令，则，，，由题意知解得.
， ，则，，分别令，则，，，由题意知解得，综上所述，.
故选：C．
1．（2024·广东佛山·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】A
【分析】
结合图象变换求得解析式，再结合偶函数性质求解即可.
【详解】由题意知，（）
又因为为偶函数，所以关于轴对称.
所以，，解得，，
又，所以当时，取得最小值为.
故选：A.
2．（2024·陕西西安·一模）记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】D
【分析】根据题意，求得，进而的平移后的函数为，根据的图象关于轴对称，求得，即可得到答案.
【详解】由函数的最小正周期为，且，
所以，因为，可得，
所以的图象向右平移个单位后得到，
因为所得函数的图象关于轴对称，所以，
可得，因为，所以的最小值为.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图象．若点是图象的一个对称中心，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化简，进而根据三角函数图象平移求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】由题意可得，
所以将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，
再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图象，
因为点是图象的一个对称中心，
所以，解得，
又，所以的最小值为．
故选：C
4．（2023·四川·一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，
即，因为函数在上没有零点，则，即，
即，则，由，得，得，
若函数在上有零点，则，，
即，又，则.当时，解得.
当时，解得.当时，解得，与矛盾.
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数的解析式，利用间接法求解的范围是解决本题的关键.
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，若在区间内有最值，则实数的取值范围可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由三角函数的图象变换，得到，结合题意得出到，求得，再由，即可求解.
【详解】根据题意，得到，
由，解得，
可得，解得，
因，所以当时，；
当时，；当时，．
故选：ACD．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据图象的变换求出，再结合三角函数性质求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，即
因为，所以，
因为在上无零点，所以，
即，解得，
因为，所以，.
故选：A
考点十二、三角函数综合求φ的值或取值范围
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的一条对称轴是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦型函数的对称性可得出的表达式，结合的取值范围，可得出的值.
【详解】因为函数的一条对称轴是，
则，所以，，
因为，则.
故选：C.
2．（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为向右平移个单位后解析式为，
又图象关于原点对称，
时，，
故选：B.
3．（2024·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出，再根据正弦函数的对称轴求出和整数k的关系式，再对k取值即可求解.
【详解】由题意得：，
又因为是的一条对称轴，
所以，
即，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：
时，；
时，；
时，；
时，.
故选：B.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定周期求得，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.
【详解】由函数的最小正周期为，得，而，解得，
则，由，
得，又在上单调递减，
因此，且，解得①，
由余弦函数的零点，得，即，
而在上存在零点，则，
于是②，又，联立①②解得，
所以的取值范围是.
故选：B
5．（21-22高三上·广东·阶段练习）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围.
【详解】因为，所以，
由，即，得，
当时，，又，则，
因为在的零点为，
且在内恰有3个零点，所以或，
解得，
故选：D
1．（2024·全国·二模）若函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数是偶函数，则，
即，而，所以.
故选：B
2．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意为最大值或最小值，从而得到为函数的对称轴，再根据正弦函数的性质求出，最后确定的最小正值.
【详解】因为，且，，
即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴，
所以，
解得，
又，所以当时取得最小值.
故选：B
3．（23-24高一下·河南·阶段练习）将函数（）的的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则φ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用伸缩变换得到，，所以或，得到φ的最小值是．
【详解】由题意得，则，
所以或者，，
则或者，，因为，所以φ的最小值是．
故选：A．
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数的图象向左平移个单位后得到的图象，若是的一个零点，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题利用平移变换得到方程，从中求得，将其代入另一条件，整理得即可判断结果.
【详解】依题意，，则，解得；
又即得，，
则得，即，.
故选：B.
5．（23-24高三下·山东济南·开学考试）若函数在上的最大值小于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据x的范围，确定，由题意可得，结合正弦函数的性质，分类讨论，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知，，则，且，
函数在上的最大值小于，
即此时，
在内，的函数值对应的x的值为，，，
①当，且时，满足题意，此时；
②当，且时，满足题意，此时，
综合上述，可得的取值范围是，
故选：D
考点十三、由三角函数的单调性、值域求其它参数的值或取值范围
1．（23-24高一下·河北张家口·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出相位所在区间，再利用正弦函数的单调性列式求解即得.
【详解】当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此，解得，
所以实数a的最大值为.
故选：B
2．（2022高三·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若当取最小值时，在区间上是单调函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性和对称性确定的最小值，然后由单调性可解.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以或，
又，所以的图象关于，
所以，即，所以，
当时，由得，，
所以，此时在区间上单调，
又因为在区间上是单调函数，所以，
所以的最大值为.
故选：C
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由图象求出函数，再由平移变换得函数，结合整体法求值域，从而求的取值范围.
【详解】设的最小正周期为，由图象可知，
所以，则，故，
又的图象过点，所以，
所以，又，所以，
则，
则.
当时，，
当或.即或时，，
当，即时，，
所以的取值范围为.
故选：C.
1．（2024·福建漳州·一模）已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为整体，结合余弦函数性质分析求解.
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，即实数的最大值为.
故选：C.
2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性计算即可.
【详解】易知，，
在时，，
显然，
若要符合题意，且能取得最大值，结合正弦函数的单调性可知需满足：
，故的最大值为.
故选：A
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数图象的平移可得的表达式，求出其单调增区间，结合在上单调递增，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
故，
令，则，
即的单调增区间为，
又函数在上单调递增，则，
而，故，解得，
即实数t的取值范围是，
故选：A
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助余弦函数的单调性与值域的关系计算即可得.
【详解】时，，
由函数在区间上的值域为，
故函数在区间上的值域为，
则有，即.
故选：A.
考点十四、由三角函数的对称性求其它参数的值或取值范围
1．（2024·四川泸州·二模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为（其中），
又函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，解得.
故选：D
1．（2024·广东梅州·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数平移可得平移后的解析式，根据，即可由和差角公式化简求解．
【详解】把函数的图象向左平移个单位后得到，
，
则，
即，
即，该方程对任意恒成立，
则，解得．
故选：C．
2．（2024·四川泸州·二模）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称，则b的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
利用辅助角公式及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为（其中），
又的最小正周期为，，所以，则，
所以，
又函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，解得.
故选：D
考点十五、由三角函数的零点及方程的根求其它参数的值或取值范围
1．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移可得，结合三角函数的性质分析可知在的两个零点情况，进而列出关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】依题意，，
由，可得，
因在上恰有两个零点，
注意到区间的中点为，
则在上恰有两个零点为，
故需使，解得，
故选：B.
1．（22-23高一下·河南南阳·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间上有两个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的图象变换，求得，把方程在区间上有两个不同的根，转化为与的图象有两个交点，结合图象，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，
再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得，
由，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，
若方程在区间上有两个不同的根，
即函数与的图象有两个交点，如图所示，
可得，即实数的取值范围为.
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解.
【详解】对于函数，令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
当时函数的一个单调递增区间为，
又函数在上单调递增，所以，
则的最大值为.
故选：B
2．（23-24高三上·江西·阶段练习）设函数在上恰有两个极值点，两个零点，则的取值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】CD
【分析】设，利用极值点求出的取值范围，即可得出的可能取值.
【详解】由题意，，
在中，则，
因为在上恰有两个极值点，两个零点，
所以，即．
故的取值范围是．
故选：CD.
3．（2024·山西临汾·一模）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先对解析式进行降幂，再平移得到，利用奇函数特征求得，考虑范围即得.
【详解】由向左平移个单位得到的图象，
因为奇函数，故，则，即，又，则.
故选：C.
4．（2023·浙江宁波·二模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】ABC
【分析】先利用三角函数平移得到的解析式，再利用正弦函数的性质得到的单调递增区间，结合题意可得，从而得解.
【详解】依题意，，
由，得：，
所以的单调递增区间为，
因为在上为增函数，
所以只考虑的一个单调递增区间，
故，即，解得，
所以选项D不满足，选项ABC满足.
故选：ABC.
5．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
6．（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解.
【详解】，
因为的图象关于点对称，
所以，
故，即，
当，即时，函数取得最小值，
因为在上没有最小值，
所以，即，
由解得，故，得.
故选：B
二、多选题
7．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）若函数的最小正周期为，则的值可能是（ ）
A．2B．C．D．-2
【答案】BC
【解析】根据周期公式求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期为
所以，
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.
8．（22-23高三上·浙江·阶段练习）若函数在区间上单调，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】方法一：首先求得，由在上单调可构造不等式组，结合可确定所有可能的取值，由此可得的范围，进而确定选项；
方法二：利用诱导公式可化简得到，得到，根据，可确定，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定选项.
【详解】方法一：当时，，
在区间上单调，
或，
或；
由得：；又，；，
又，，，又，；
由得：；又，，，
又，，，即；
综上所述：.
方法二：，
当时，；
在上单调，，；
由，知：或，解得：或，
.
故选：AC.
9．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知 是直线 与函数 图象的两个相邻交点，若，则 的值可能是（ ）
A．2B．4C．8D．10
【答案】AD
【分析】因为的图象与直线的相邻交点的距离为或，占周期的比例的或，由此结合周期公式列式求解即可.
【详解】设函数的最小正周期为,
则或者，
即或，
解得或，
故选：AD.
10．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定的取值范围，从而确定正确的选项.
【详解】由，，.
又函数在区间上单调递减，所以，
又因为，，所以，，
因为，所以，
因为在区间上有且仅有一个零点，
所以在区间上有且仅有一个实数根，
所以，解得，
综上，，故BC正确，AD错误.
故选：BC
11．（2022·辽宁辽阳·二模）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值可以为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】BCD
【分析】根据函数在上单调递增，可知，，由此可得，，再根据和，可知，进而求出；根据对任意，都有，可知，，可知，再根据和，可知，求得，由此即可求出的范围，进而求出结果.
【详解】由，得，
则，，
解得，.
由，，得，，
因为，所以当时，不符合条件，故，即.
由，得，
则，，
解得，，
由，，得，，
因为，所以当时，不符合条件，故，即.
综上所述，的取值范围为.
所以的取值可以为选项中的，，2.
故选：BCD.
12．（2023·河北秦皇岛·二模）已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．2D．8
【答案】AB
【分析】根据函数图象关于直线对称，函数在取得最值，可得；求出的范围，根据函数在区间上是单调减函数，列出不等式关系，继而可求出的取值范围，再结合条件，即可确定的值.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
根据，则，
因为是在区间上的单调减函数，
所以
，
因为，所以或，
当时，，
当时，；
由于是在区间上的单调减函数，
且，
所以，
所以，，
，
根据或，
可得，或.
故选:
一、单选题
1．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；
【详解】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：C．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.
2．（22-23高三上·湖北·阶段练习）设函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先令，求得或，再根据题意尝试的值可确定，进而得到的4个零点，结合题意排除其中1个零点有两种情况，分别求之即可得到的取值范围.
【详解】∵，即，
∴或，，
∴或，，
∵，即，
∴当时，且，即所有根都小于零，
当时，且，即所有根都大于，
综上：，即在内的三个零点为，，，中的三个.
由于上述4个值是依次从小到大排列，且，
故有两种情况，分别为：
，解得，故，
或，解得，故，
故或，即.
故选：D．
3．（23-24高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果.
【详解】由题意的最小正周期为T，则，
又，可得，即，
又，所以，
在区间上恰有3个零点，
当时，，
结合函数的图象如图所示：
则在原点右侧的零点依次为，，，，…，
所以，解得，即的取值范围为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键.
4．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把函数零点问题转化为两个函数交点问题，数形结合即可求解.
【详解】因为函数在上恰有4个不同的零点，
则方程在上恰有4个不同的解，
即方程在上恰有4个不同的解，
所以函数与函数在上恰有4个不同的交点，
因为函数，且在上单调递减，
所以函数函数在上单调递减，且，，
函数是由函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
作出两个函数图象，如图：
要使函数与函数在上恰有4个不同的交点，
由图知：的周期满足，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】方法点睛：函数零点问题的解决办法：
（1）直接法：根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．（23-24高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，得函数的对称轴为，所以有，可得，解得，再分类讨论又在区间上单调递增和递减两种情况，对每一种情况列出关于的不等式组，解之可求得的值.
【详解】因为，所以函数的对称轴为，
所以，即，，
解得，，，，，
①若在区间上单调递增，则，，
，，
，即，解得，，
所以，，且，，所以当时，满足题意；
②若在区间上单调递减，则，，
，，
，即，解得，，
所以，，且，，此时无解，综上可得.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的对称性，单调性问题中求参数的范围的方面，关键在于根据其函数的性质得出关于参数的不等式组.
6．（2023·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意利用正弦函数的单调性可得，所以，利用正弦函数的周期性可求的周期，解得，即可得解．
【详解】因为
，
又因为，且，则，
若在上单调递增，
所以，所以，
因为对任意的实数，在上不单调，
所以的周期，所以，
所以．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数，在上不单调与周期间的关系.
7．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（ ）
A．8B．7C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到，进而得到，求得，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，
可得，即，其中，
因为，当时，当时，
因为在区间内有唯一的极大值点，所以，
解得，即，所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，
所以的最大值为.
故选：C.
8．（22-23高三上·浙江金华·阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
9．（23-24高三上·浙江杭州·期中）设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【分析】
直接利用，，求出和的表达式，进一步利用在区间上有且只有一个极大值点，通过分类讨论求出的值，进而可得最大值.
【详解】由已知得，，，
则，
其中，
因为，
当时，
当时，，
因为在区间上有且只有一个极大值点，
所以，
解得，
即，
所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，成立；
所以的最大值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过条件将和都用整数表示出来，然后对的值由大到小讨论找到符合条件的结果.
10．（2022·天津武清·二模）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】解：当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.
二、多选题
11．（2022·辽宁·三模）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的周期性、对称性以及函数值相等与周期之间的关系可求得的值.
【详解】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
设的最小正周期为T，则由题意可得，即.由在上单调，且，得的一个零点为.因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则.
故选：ACD.
12．（23-24高三上·山西·期末）函数，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则在内恰有3个零点
B．若，则在内恰有3个极值点
C．若在内有最小值点，则
D．若在区间单调，则
【答案】ACD
【分析】根据正弦型函数的零点、极值点、最值点和单调性一一分析即可.
【详解】对于A，当时，，其零点满足，故，
故，其中在区间内恰有3个，故A正确；
对于B，当时，，其极值点满足，故，
故，其中在区间内只有2个，故B错误；
对于C，的最小值点满足，解得，
因为，则最小值为，令，得，故C正确；
对于D，的极值点满足，即，
若在单调，需（*），
由得，即，
当时，解得；当时，解得；
当，解（*）得，又，故；当时，对应的均为负值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是找到单调区间的通式，从而得到不等式组，解出范围，再对合理赋值即可.
三、填空题
13．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据，结合角的范围确定是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.
【详解】函数，
令，解得：，
令，解得：
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
若函数在区间上是单调递增函数，
则，
是一个三角形的内角，
，，
，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，
是一个三角形的内角，
，
若函数在区间上是单调递减函数，
则，
，，
要使，
只能令，得，且，
此时，
则，
则，解得，与矛盾，
函数在区间上是不能是单调递减函数，
综上所述，，
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦函数的最值点可得，并结合x的取值范围分析求解.
【详解】若函数在区间上有且仅有一个极值点，
即数在区间上有且仅有一个最值点，
则，解得，
故函数的最值点为.
不妨设在区间上仅有的一个最值点为，
则，即，
则，得，
解得，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
综上，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识
（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
（2）整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解；
（3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论.
15．（2024·广东茂名·一模）函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于在区间上有且只有两个零点，所以，
即，由得，，，
∵，∴，
∴或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到，再根据零点个数得到不等式组，解出即可.
16．（2024·辽宁抚顺·一模）已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个最值点可限定出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由可得或；
根据正弦函数图象性质可知，解得；
将函数的图象向左平移个单位后可得为偶函数，
则，又可得；
因此；
当时，可知，
若函数在内恰有2个最值点，可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解.
17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据题意确定，从而结合，确定，由此分类讨论，即讨论与余弦函数的零点，的位置关系，列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数在区间上有且仅有一个零点，
故函数的最小正周期,
又，则，而，
当时，即时，需有，即，此时；
当时，即时，，此时函数在上无零点，不合题意；
当时，即时，需有，即，此时；
当时，即时，，此时函数在上有一零点，符合题意；
当时，即时，需有，即，此时；
综合上述，得的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查了根据余弦型函数的零点个数，求解参数范围问题，解答的难点在于要根据，确定，由此要分类讨论该区间的两端点的位置关系，结合余弦函数的对称中心，列不等式求解参数范围.
18．（23-24高三上·天津·期中）已知函数满足.若在上恰好有一个最小值和一个最大值，则 ；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】 4
【分析】整理得.空1：根据题意可知，进而可求；空2：根据周期性特征分析可知，进而可得，以为整体，结合正弦函数分析求解.
【详解】因为，设的最小值正周期为，
若在上恰好有一个最小值和一个最大值，且，
则，所以；
若在上恰好有两个零点，则，解得，
即，且，可得，
因为，则，
且，
且，
可得或或，
解得或或，
所以的取值范围是.
故答案为：4；.
【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的两种意识：
1.转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
2.整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解．
19．（23-24高一下·江西景德镇·期中）设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据函数的零点和对称轴得到，从而得到；再根据函数在区间上单调得到，从而得到；进而可得然后再验证时函数在区间上不单调，从而得到.
【详解】因为为函数的一个零点，且是函数f（x）图象的一条对称轴，
所以，所以，所以；
因为函数在区间上单调，
所以，即，所以，所以，
又因为，所以
当时，，，，
又因为，则所以，
又，则，
所以函数在区间上不单调，所以舍去；
当时，，，，，
又因为，则所以.
又，，
所以函数在区间上单调，所以.
故答案为：.
20．（2024·福建福州·三模）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是 ；若，则的值为 ．
【答案】 答案不唯一 /
【分析】根据单调区间，以及可得，进而可得对称中心；先根据单调区间求出的可能取值，然后根据得到和的关系，根据关系以及的可能取值对照验证计算即可.
【详解】因为在区间上单调，
且，，
所以，
所以图象的一个对称中心是；
由题设，的最小正周期，
故，由，得，
由为的一个对称中心，
所以①；
因为，所以或.
若②，①-②得，
即，不存在整数，使得.
若③，①-③得，
即，不存在整数使得，当时，.
此时，由，
得.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：解决本题的思路是通过确定，联立和可得或，分别验证是否有，即可求得.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
的取值范围
余弦函数图象的应用
根据函数零点的个数求参数范围
2022年全国甲卷理数，第11题,5分
由正弦(型)函数的值域(最值)
求参数
利用正弦函数的对称性求参数
正弦函数图象的应用
2022年全国甲卷文数，第5题,5分
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
求图象变化前 (后)的解析式
2022年全国乙卷理数，第15题,5分
利用csx(型)函数的对称性求参数
求余弦(型)函数的最小正周期
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