高考数学第一轮复习(新教材新高考)专题06权方和不等式(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

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【学习目的】本节内容为基本不等式的高阶版，能快速解决基本不等式中的最值问题
知识讲解
考点解析
例1：若正数，满足，则的最小值为______________
例2：若，，，则的最小值为______________
例3：若，，，则的最小值为______________
例4：若，，则的最小值为______________
例5：已知正数，，满足，则的最小值为______________
例6：已知正数，，满足，则的最小值为______________
例7：已知正数，满足，则的最小值为______________
例8：求的最小值为______________
例9：求的最小值为______________
例10：已知正数，满足，则的最小值为______________
例11：已知，求的最小值为______________
例12：已知，，，求的最大值为______________
例13：求的最大值为______________
例14：已知正数，，满足，求的最大值为___________
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
5．（2023·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的最小值等于（ ）
A．2B．C．3D．
7．（2023·全国·高三专题练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．1
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
11．（2023·全国·高三专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
14．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
15．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知锐角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题
16．（2023·天津红桥·统考二模）已知x，，，则的最小值______．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x、y满足，求的最小值为____________.
18．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．
19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．
20．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为______.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最小值为___________.
22．（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是__________．
23．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
24．（2023·全国·高三专题练习）设且，则的最小值为_________．
25．（2023秋·贵州贵阳·高一统考期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______．
专题06 权方和不等式（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
【学习目的】本节内容为基本不等式的高阶版，能快速解决基本不等式中的最值问题
知识讲解
考点解析
例1：若正数，满足，则的最小值为______________
解：，
即，当且仅当时取等号，即，时取等号
所以的最小值为
例2：若，，，则的最小值为______________
解：
即，则，当且仅当时取等号
例3：若，，，则的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例4：若，，则的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号，即，
所以的最小值为
例5：已知正数，，满足，则的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例6：已知正数，，满足，则的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例7：已知正数，满足，则的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例8：求的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例9：求的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例10：已知正数，满足，则的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例11：已知，求的最小值为______________
解：
当且仅当时取等号
例12：已知，，，求的最大值为______________
解：
当且仅当时取等号
例13：求的最大值为______________
解：
当且仅当时取等号
例14：已知正数，，满足，求的最大值为___________
解：
当且仅当时取等号
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.
故选：.
2．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
【答案】C
【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，则
，
当且仅当，时，等号成立．
故选：C.
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【详解】解：依题意，，
故，当且仅当时等号成立.
故选:A.
4．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值．
【详解】解：由题意，正数，满足，，
当且仅当，时取等号，
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的最小值等于（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，且，
所以，
又由，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值等于.
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为.
故选：B
8．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解．
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．1
【答案】C
【分析】由，再由基本不等式即可求出答案.
【详解】因为，则
则，
当且仅当即时等号成立.
所以的最小值为.
故选:C．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为，，，
则
.
当且仅当即时取等.
故选：C.
11．（2023·全国·高三专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【答案】B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知得出，将所求代数式化为，与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，且，则，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：A.
14．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.
故选：.
15．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知锐角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】，，
、均为锐角，则，，
，
当且仅当时，即当时，故，时等号成立.
因此，的最小值为.
故选：C
二、填空题
16．（2023·天津红桥·统考二模）已知x，，，则的最小值______．
【答案】
【分析】将展开，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
当且仅当即，的最小值为，
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x、y满足，求的最小值为____________.
【答案】/
【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求解.
【详解】因为正数、满足，
所以
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
18．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．
【答案】
【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，
可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，即等号成立，
则的小值为.
故答案为：9.
19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.
【详解】因为，所以，又，所以
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
20．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为为正实数，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最小值为___________.
【答案】4
【分析】根据可得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】因为，故，
当且仅当，即时取等号.故的最小值为4.
故答案为：4
22．（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是__________．
【答案】
【详解】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.
点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
23．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】
【分析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为，
所以
，当且仅当时，等号成立．
故函数的最小值为.
故答案为：
24．（2023·全国·高三专题练习）设且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为，
所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取得最小值．
故答案为：.
25．（2023秋·贵州贵阳·高一统考期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______．
【答案】8
【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.
【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，
又，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.