2024年山西省中考第三次模拟数学试题（解析版）

这是一份2024年山西省中考第三次模拟数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 无理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：无理数的相反数是，
故选：A.
2. 如图的立体模型可以看成是两个大小相同的正方体套嵌在一起得到的，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三视图，观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形再结合能看到的部分用实线表示，看不到的地方去虚线表示即可判断．
【详解】解：由俯视图的定义可知：从上往下观察发现：镶嵌的看不到的正方形用虚线表示，它的俯视图是B，
故选：B．
3. 下列各式中，运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方运算，单项式的乘除法运算， 先根据各自的运算法则一一计算即可得出答案．
【详解】解：．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
．，故该选项不符合题意；
．，故该选项符合题意；
．，故该选项不符合题意；
故选：C．
4. 彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 买1张这种彩票，不可能中奖
B. 买200张这种彩票，可能有2张中奖
C. 买100张这种彩票，一定有1张中奖
D. 若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，解题的关键是正确理解概率的意义．
【详解】解：．买1张这种彩票，可能中奖，故原选项不符合题意；
．买200张这种彩票，可能有2张中奖 ，故原选项符合题意；
．买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故原选项不符合题意；
．若100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故原选项不符合题意；
故选：B．
5. 2024年3月，山西省统计局发布我省2023年国民经济和社会发展相关数据．其中绿色低碳转型迈出新步伐，全年水电、风电、太阳能发电等非化石能源发电量亿千瓦．增长．数据亿千瓦用科学记数法表示为（ ）
A. 千瓦B. 千瓦
C. 千瓦D. 千瓦
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿千瓦即85550000000千瓦
，
故选：C．
6. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解
【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D
7. 如图是大同、运城今年5月份某周7天日最高气温统计图．为比较两地这7天日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；
【详解】解：解：根据题意“为比较两地这7天日最高气温的稳定情况，”应选择方差作为统计量，故选：D．
8. 某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了列分式方程解决实际问题，由题意中设购买扇子的单价为x元，则购买的茶具的单价为元，根据购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍列分式方程，正确理解题意是解题的关键
【详解】解：设购买扇子的单价为x元，则购买的茶具的单价为元，
则，
故选：A
9. 电动汽车的续航里程是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程．它是电动汽车重要的经济性指标．科研团队在相同环境及路况下．经过测试得到某型号电动汽车续航里程与行驶速度关系的图象如下，则下列结论正确的是（ ）
A. 行驶速度越快，续航里程越短
B. 当行驶速度为时，续航里程最长
C. 当行驶速度为时，续航里程不足
D. 若续航里程大于，则行驶速度大于
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数图象的应用，考查数形结合思想.根据函数图象，结合选项中的条件，即可判断正误．
【详解】解：由图象可知，当行驶速度为时，续航里程最长，故B正确；
当行驶速度在时，续航里程随着行驶速度的增大而增大，故A错误；
当行驶速度为时，续航里程大于，故C错误；
若续航里程大于，则行驶速度可以是，故D错误；
故选：B．
10. 如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点O），交AB，于点D，E若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是弧长的计算、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据相似三角形的判定和性质得出，利用弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为：，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一元二次方程的解是______．
【答案】，
【解析】
【分析】直接提取公因式求解即可．
【详解】解：，
x（x-6）=0，
解得x1=0，x2=6，
故答案：x1=0，x2=6．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
12. 如图，在平面直角坐标系第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
【详解】解：根据题意，与关于原点位似，且相似比为，
则，
∵点A的坐标为，
则的坐标为
故答案为：．
13. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中，，则这个五边形的内角的度数为______．
【答案】116
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，熟练掌握多边形内角公式是解题关键．首先根据多边形内角和公式求得五边形的内角和为，然后由求解即可．
【详解】解：五边形的内角和为，
所以．
故答案为：116．
14. 国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求自变量或函数值，先将T值代入中求得c值，再将c值代入中求解即可．
【详解】解：由题意，将代入中，得，
将代入中，得，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交AD于点M，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．过点O作交AD、于点H、N，根据题意得出，，则，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，确定，利用等量代换得出，再次利用正切函数及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作交于点H、N，如图所示：
∵，E、F分别是边的中点，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；
（2），；
【解析】
【分析】（1）本题考查根式的混合运算及0指数幂运算，根据及计算即可得到答案；
（2）本题考查整式的化简求值，先计算小括号，再计算中括号，最后根据多项式除以单项式的运算法则求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
，
当时，
原式．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．

（1）求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
（2）根据图象可得，不等式的解集为 ．
【答案】（1），，
（2）或
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，根据交点确定不等式的解集，理解题意，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
（1）将点A代入一次函数即可得出，再将点A代入反比例函数即可确定函数解析式，进而即可得出交点；
（2）结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵点在一次函数的图象上，
∴将代入中，得，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入中，得，
解得．
联立，
解得：或
∴点的坐标为．
【小问2详解】
由图象得：当一次函数图象位于反比例函数图象下方，即时，或，
故答案为：或．
18. 下面是某公众号发布的一篇数学短文，请你认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）按照材料中的作法，在图1中作出正方形；
（2）如图2，已知是的直径，求作：，使的面积是的2倍．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查利用尺规作图，正方形及圆的基本性质，勾股定理解三角形，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据题意先作线段的垂直平分线交圆于点C，连接，以点B为圆心，长为半径作圆即可．
【小问1详解】
解：根据题意直接作图，如图所示：四边形即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：根据题意先作线段的垂直平分线交圆于点C，连接，以点B为圆心，长为半径作圆即可；即为所求；
证明：连接，
线段的垂直平分线交圆于点C，
，，
，
的面积为：，
的面积为：，符合题意．
19. 仓廪实，天下安．2023年是我国连续第二十个丰收年，全国粮食产量也已经连续9年稳定在1.3万亿斤以上．下面是同学们在“数说粮食”活动中搜集到的三幅统计图（数据来源：国家银油信息中心）．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）小华对比三幅统计图分析我国粮食生产的特点，得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．近6年我国粮食种植面积与粮食产量均逐年递增
B．2023年我国粮食种植面积超过2019年的2倍
C．2023年我国谷物的总产量约为6.4亿吨
（2）2018~2023年，我国历年粮食种植面积的中位数是 亿亩，2023年我国玉米产量约占粮食总产量的 %（百分号前保留一位小数）；
（3）山西作为著名的“小杂粮王国”，特殊的地理环境孕育出众多特色农产品．下面是“中国糜子之乡—偏关”“中国小米之都—长治”“中国绿豆之乡—怀仁”“中国马铃薯之乡—岚县”四张宣传卡片（除正面图案外完全相同，依次记为P，C，H，L）．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张，不放回；洗匀后再从中随机抽取一张，求两次抽到的卡片中恰好有一张是“偏关”的概率．
【答案】（1）C （2）17.6，41.5
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列树状图法求概率以及中位数的定义，读取图表能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用图表的信息，分别针对每个选项进行分析，即可作答．
（2）中位数的定义：排序后取中间位置的数（中间位置如果有两个数求它们的平均数），即可作答．
（3）先运用画树状图法得出总的可能情况数，再运用概率公式列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：结合表图的数据，
A．近6年我国粮食种植面积与粮食产量不是逐年递增，在2018年来说是2019年是下降的，故该选项是错误的；
B．2023年我国粮食种植面积为17.85亿亩， 2019年为17.41亿亩，不是2023年我国粮食种植面积超过2019年的2倍，故该选项是错误的；
C．，2023年我国谷物的总产量约为6.4亿吨，故该选项是正确的；
故选：C
【小问2详解】
解：先把2018~2023年的粮食种植面积的数据排序：
排在中间位置的是
则
∴我国历年粮食种植面积的中位数是17.6亿亩；
依题意，
∴2023年我国玉米产量约占粮食总产量的（百分号前保留一位小数）
故答案为：17.6，41.5
【小问3详解】
解：列树状图法如下：
由树状图可知，一共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好有一张是“偏关”的结果有6种，
∴P(恰好有一张是“偏关”)
答：两次抽到的卡片中恰好有一张是“偏关”的概率是
20. 学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，）
【答案】点距离地面的高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点作于点，交于点，设的长度为米，在中，利用三角函数求得，在中，利用三角函数求得，再根据列方程，求出a值，即可得到答案．
【详解】过点作于点，交于点，
则四边形为矩形，，米，
设的长度为米，
由题意得，在中，，，，
，
在中，，，，
，
米，米，
米，
米，
即，
解得，
米．
答：点距离地面的高度约为5.8米．
21. 健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示．
（1）该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁．每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克，克，求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克；
（2）按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？
【答案】（1）每份该种套餐中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克
（2）每份素炒时蔬中西兰花最少有110克
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．
（1）设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克，根据每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克，克，列出方程组，解方程组即得答案；
（2）根据每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，列出一元一次不等式，解此不等式即得答案．
【小问1详解】
解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克，
根据题意，得，
解，得，
答：每份该种套餐中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克．
【小问2详解】
解：设每份素炒时蔬中西兰花最少有克，
根据题意，得，
解，得，
所以，的最小值为110，
答：每份素炒时蔬中西兰花最少有110克．
22. 大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体AB的水平距离为米，且点离地面的高度为米．

数学建模
（1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体AB的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米．
点的坐标为______，的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：）
【答案】（1）；
（2），；②米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法即可求解；
（）当时，，解得：即可求出，再用两点之间的距离公式求出；
②过点作于点，过点作于点，交于点，求出所在直线的函数表达式，设点的横坐标为，则，当时，最大，再根据，得出，最后根据线段和差即可求解；
【小问1详解】
解：根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，
设与之间的函数关系式为，
由题意得，点的坐标为，
将代入，
得，
解得：，
，
即与之间的函数关系式为，
【小问2详解】
解：由（）得，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
②过点作于点，过点作于点，交于点，

设所在直线的函数表达式为，
将分别代入，
得，
解得，
∴所在直线的函数表达式为，
设点的横坐标为，
点在拋物线的图象上，
，，
，
，且，
有最大值，当时，最大，
轴，
，
又，，，
，
，
当时，有最大值，
当时，有最大值，
此时，米．
∴需要铝合金材料最大长度约为米．
23. 综合与实践
问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，中，，BD为边上的中线，将沿射线的方向平移，得到，其中点A，B，D的对应点分别为E、F，G．如图2，当线段经过点D时．连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
（2）老师将图2中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段分别与边BD交于点M，N．如图3，当时，让同学们提出新的问题．
①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明；
②“善思小组”提出问题：若中，，请直接写出此时四边形的面积．
请解答上述两个小组提出的问题．
【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）①，见解析；②
【解析】
【分析】（1）四边形是矩形，由平移的性质得到，从而得到，根据为边上的中线，推出，进而证明是等腰三角形，推出，，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形；
（2）①由平移的性质得到，从而得到，由（1）可得，进而得到，在图3中，由旋转的性质得到，根据平行线的性质推出，易证，再根据四边形是矩形，推出，即可证明；
②过点F作，垂足为H，过点N作，垂足为K，利用勾股定理求出，由①可求，由平移和旋转的性质得到，根据，易证，得到，由①知，从而得到，利用三角形面积公式，求出，利用勾股定理求出，从而得到，再根据，推出，利用余弦的定义得到，求出，最后根据四边形的面积等于求解即可．
【详解】（1）四边形是矩形，
理由如下：∵平移得到，
∴，
∴，
∵为边上中线，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）①，
证明：在图2中，∵平移得到，
∴，
∴
由（1）可得，，
∴，
∴，
在图3中，旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由图2可知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点F作，垂足为H，过点N作，垂足为K，
∵中，，
∴，
∴，
由平移和旋转的性质得到，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积等于
∴．
【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，相似三角形判定与性质，解直角三角形等腰三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．
用尺规实现相似图形的面积加倍
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，以解决不同的平面几何作图问题．我们可以利用尺规将一个图形的面积加倍，并保持所得图形与原图形相似．
例如：如图1，已知正方形．
求作：正方形，使正方形的面积是正方形的2倍，且点M，N分别在， 边的延长线上．
作法：
连接，作射线，；
以点B为圆心，长为半径画弧，分别交射线，于点M，N；
分别以点M，N为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点G；
连接，，则四边形即为所求．
事实上，以正方形的对角线为边长的正方形都符合要求！
…
清蒸鱼块（每100克）
滑炒鸡丁（每100克）
蛋白质（克）
16
15
脂肪（克）
8
14