陕西省西安中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题（原卷版）

这是一份陕西省西安中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：150分 命题人：薛恒）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
3. 已知a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A B. 0C. 1D. 3
6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（参考数据：，，）
A. 85B. 100C. 150D. 225
7. 某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ）
A. 124B. 246C. 114D. 108
8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列运算结果为1的有（ ）
A. B.
C. D.
10 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ）
A. ab的最大值为B. a2＋4b2的最小值为
C. 的最小值为8D. 2a＋4b的最小值为
11. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ）
A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D. 从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在二项式展开式中，常数项为__________.
13. 已知样本，，平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________．
14. 定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
（1）求的解析式；
（2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.
16. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为．
（1）求，的值；
（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望．
17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：
（1）根据表中数据，依据独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
18. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若最小值为，求m的值；
（3）在的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围．
19. “爱国，是人世间最深层、最持久情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数，.）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
（附：随机变量服从正态分布，则，.）
－1
0
1
周平均锻炼时间少于5小时
周平均锻炼时间不少于5小时
合计
50岁以下
80
120
200
50岁以上（含50）
50
150
200
合计
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程