陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题（原卷版）

这是一份陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题（原卷版），共4页。

数学
本卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，若，则（ ）
A. B. 0C. 2D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量．若向量与共线，则实数的值为（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7. 风筝发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在筝形中，对角线所在直线为对称轴，是边长为2的等边三角形，是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线折叠，使得，形成四面体，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A. 事件与事件是互斥事件B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件相互独立事件D. 事件与事件是互斥事件
10. 在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置．设，记，则（ ）
A.
B. 当时，取得最小值
C. 点是曲线的一个对称中心
D. 当时，单调递增区间为
11. 已知函数及其导函数定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数B.
C. 在上单调递增D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为______．（用数字作答）
13. 已知的内角的对边分别为，若的面积为，则______．
14. 已知为坐标原点，椭圆，圆，圆，点，射线交圆，椭圆，圆分别于点，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1
（1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；
（2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望．
16. 已知等比数列的各项均为正数，且．
（1）求的通项公式；
（2）令，记，求．
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．
19. 定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．
（1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；
（2）如果在闭区间上图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得；
（3）利用（2）中的结论，证明：当时，．（e为自然对数的底数）