高考物理一轮复习讲义第6章第7课时　实验七 验证机械能守恒定律（2份打包，原卷版+教师版）

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考点一 实验技能储备
1.实验原理：通过实验，求出做自由落体运动物体的重力势能的减少量和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律。
2．实验器材：打点计时器、交流电源、纸带、复写纸(墨粉)、夹子、重物、刻度尺、铁架台(带铁夹)、导线。
3．实验过程
(1)安装器材：将打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连。
(2)打纸带：用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条(3～5条)纸带。
(3)选纸带：点迹清晰，且所选用的点在同一条直线上。
4．数据处理
(1)求瞬时速度
由公式vn＝eq \f(hn＋1－hn－1,2T)可以计算出重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3…。
(2)验证守恒
方案一：利用起始点和第n点计算：
代入mghn和eq \f(1,2)mvn2，如果在实验误差允许的范围内，mghn和eq \f(1,2)mvn2相等，则验证了机械能守恒定律。
注意：应选取最初第1、2两点距离接近2_mm的纸带(电源频率为50 Hz)。
方案二：任取两点计算
①任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB。
②算出eq \f(1,2)mvB2－eq \f(1,2)mvA2的值。
③在实验误差允许的范围内，若mghAB＝eq \f(1,2)mvB2－eq \f(1,2)mvA2，则验证了机械能守恒定律。
方案三：图像法
测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算对应速度v，然后以eq \f(1,2)v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出eq \f(1,2)v2－h图像。若在实验误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
5．注意事项
(1)打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减少摩擦阻力。
(2)重物应选用质量大、体积小、密度大的材料。
(3)应先接通电源，让打点计时器正常工作，后松开纸带让重物下落。
(4)测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用vn＝eq \f(hn＋1－hn－1,2T)，不能用vn＝eq \r(2ghn)或vn＝gt来计算。
(5)此实验中不需要测量重物的质量。
例1 (2023·北京市东城区一模)用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。重锤从高处由静止开始下落，重锤上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。已知当地重力加速度为g。
(1)除图中所示的装置之外，还必须使用的器材是________；
A．直流电源、天平(含砝码)
B．直流电源、刻度尺
C．交流电源、天平(含砝码)
D．交流电源、刻度尺
(2)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示安装好实验器材并连接好电源
B．先打开夹子释放纸带，再接通电源开关打出一条纸带
C．测量纸带上某些点间的距离
D．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于其增加的动能
其中没有必要进行的或者操作不当的步骤是________(选填步骤前的字母)；
(3)如图所示，根据打出的纸带，选取纸带上的连续的五个点A、B、C、D、E，通过测量并计算出点A距起始点O的距离为s0，点AC间的距离为s1，点CE间的距离为s2，若相邻两点的打点时间间隔为T，重锤质量为m，根据这些条件计算重锤从静止释放到下落OC距离时的重力势能减少量ΔEp＝________，动能增加量ΔEk＝________；在实际计算中发现，重锤减小的重力势能总是大于重锤增加的动能，其原因主要是____________________________。
答案 (1)D (2)B (3)mg(s0＋s1)
eq \f(ms1＋s22,32T2) 重锤下落过程中受到阻力作用
解析 (1)打点计时器需要用交流电源，测量速度及重力势能的变化量需要测量纸带上某些点间的距离，则需要刻度尺，故选D。
(2)按照题图所示安装好实验器材并连接好电源，故A正确，不符合题意；
为充分利用纸带，应先接通电源开关，再打开夹子释放纸带，故B错误，符合题意；
测量纸带上某些点间的距离，用来表示重力势能的变化，故C正确，不符合题意；
根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于其增加的动能，验证机械能是否守恒，故D正确，不符合题意。
(3)重力势能减少量为ΔEp＝mg(s0＋s1)
C点速度为vC＝eq \f(s1＋s2,4T)
动能增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)mvC2－0＝eq \f(1,2)m(eq \f(s1＋s2,4T))2＝eq \f(ms1＋s22,32T2)。重锤减小的重力势能总是大于重锤增加的动能，其原因主要是重锤下落过程中受到阻力作用。
例2 如图甲所示，学生将打点计时器固定在铁架台上，用重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置做“验证机械能守恒定律”实验(已知当地的重力加速度为g)。
(1)实验室提供的器材有打点计时器(带导线)、纸带、复写纸、铁架台和带夹子的重物，此外还需要的器材是________和________。
A．天平及砝码 B．毫米刻度尺
C．直流电源 D．交流电源
(2)实验中得到如图乙所示的一条纸带(部分)。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知打点计时器打点的周期为T，打出B点时，重物的瞬时速度大小vB＝______________，设重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp＝__________，动能增加量ΔEk＝______________。
(3)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，其原因可能是________________。为了减小实验误差，在两个体积相同、质量不同的重物中应选择质量________(选填“较大”或“较小”)的进行实验。
(4)该同学在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，得到如图丙所示的v2－h图像，由图像可求得当地的重力加速度g＝____________ m/s2(保留两位小数)。
答案 (1)B D (2)eq \f(hC－hA,2T) mghB eq \f(mhC－hA2,8T2) (3)重物受到空气阻力和纸带受到摩擦阻力的影响 较大 (4)9.70
解析 (1)除了题目中提出的器材，还需要毫米刻度尺测长度，打点计时器需要交流电源。所以选B、D。
(2)重物在B点的瞬时速度为vB＝eq \f(hC－hA,2T)，根据题图可知，从起始点下落的高度为hB，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量为ΔEp＝mghB，动能的增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)mvB2＝eq \f(mhC－hA2,8T2)；
(3)重力势能的减少量略大于动能的增加量，其原因可能是重物受到空气阻力和纸带受到摩擦阻力的影响；为了减小实验误差，在两个体积相同、质量不同的重物中应选择质量较大的，空气阻力影响结果较小；
(4)若重物下落机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2，即v2＝2gh，可知v2－h图线是一条过原点的直线，直线的斜率为k＝2g，题图丙所示的v2－h图线的斜率为k＝eq \f(11.64,0.60)m/s2＝2g，因此可求得当地重力加速度大小为g＝9.70 m/s2。
考点二 探索创新实验
1．实验器材的创新
(1)利用光电门测出遮光条通过光电门的时间Δt，从而利用v＝eq \f(l,Δt)计算滑块通过光电门的速度。
(2)利用气垫导轨代替长木板，减小阻力对实验结果的影响。
2．物体运动形式创新
物体从自由落体改为沿圆弧面下滑，在斜面上运动。
3．研究对象创新
研究对象从单个物体变为研究连接体这个系统的机械能守恒。
例3 (2023·天津卷·9)如图放置实验器材，连接小车与托盘的绳子与桌面平行，遮光片与小车位于气垫导轨上，气垫导轨没有画出(视为无摩擦力)，重力加速度为g。接通电源，释放托盘与砝码，并测得：
a．遮光片长度d
b．遮光片到光电门长度l
c．遮光片通过光电门时间Δt
d．托盘与砝码质量m1，小车与遮光片质量m2
(1)小车通过光电门时的速度为________；
(2)从释放到小车经过光电门，这一过程中，系统重力势能减少量为________，动能增加量为________；
(3)改变l，做多组实验，作出以l为横坐标，以(eq \f(d,Δt))2为纵坐标的图像。若机械能守恒成立，则图像斜率为________。
答案 (1)eq \f(d,Δt) (2) m1gl eq \f(1,2)(m1＋m2)(eq \f(d,Δt))2
(3)eq \f(2m1g,m1＋m2)
解析 (1)小车通过光电门时的速度为v＝eq \f(d,Δt)
(2)从释放到小车经过光电门，这一过程中，系统重力势能减少量为ΔEp＝m1gl
从释放到小车经过光电门，这一过程中，系统动能增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)(m1＋m2)(eq \f(d,Δt))2
(3)改变l，做多组实验，作出以l为横坐标，以(eq \f(d,Δt))2为纵坐标的图像。若机械能守恒成立，
有m1gl＝eq \f(1,2)(m1＋m2)(eq \f(d,Δt))2
整理有(eq \f(d,Δt))2＝eq \f(2m1g,m1＋m2)·l，则图像斜率为eq \f(2m1g,m1＋m2)。
例4 (2022·湖北卷·12)某同学设计了一个用拉力传感器验证机械能守恒定律的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值Tmax和最小值Tmin。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的Tmax－Tmin图像是一条直线，如图乙所示。
(1)若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为________。
(2)由图乙得：直线的斜率为______，小钢球的重力为______ N。(结果均保留2位有效数字)
(3)该实验系统误差的主要来源是________(单选，填正确答案标号)。
A．小钢球摆动角度偏大
B．小钢球初始释放位置不同
C．小钢球摆动过程中有空气阻力
答案 (1)－2 (2)－2.1 0.59 (3)C
解析 (1)设初始位置时，轻绳与竖直方向的夹角为θ，则轻绳拉力最小值为Tmin＝mgcs θ，到最低点时轻绳拉力最大，则有mgl(1－cs θ)＝eq \f(1,2)mv2，
Tmax－mg＝meq \f(v2,l)，联立可得Tmax＝3mg－2Tmin
即若小钢球摆动过程中机械能守恒，则题图乙中直线斜率的理论值为－2；
(2)由题图乙得直线的斜率为k＝eq \f(1.35－1.77,0.20)＝－2.1，3mg＝1.77 N，则小钢球的重力为mg＝0.59 N。
(3)该实验系统误差的主要来源是小钢球摆动过程中有空气阻力，使得机械能减小，故选C。
课时精练
1．(2024·辽宁沈阳市第二十中学模拟)在“利用自由落体运动验证机械能守恒定律”实验中
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的________。
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量和势能变化量
C．速度变化量和高度变化量
(2)除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、刻度尺、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是________。
A．交流电源 B．天平(含砝码)
(3)某同学选用一质量为m＝0.4 kg的重物，按照正确的操作选得纸带如图所示，其中O是起始点，量得连续五个计时点A、B、C、D、E到O点的距离，打点频率为50 Hz，已知当地重力加速度为g＝9.8 m/s2，则打下C点时重物的速度大小是__________ m/s，O点到C点的这段时间内重物重力势能的减少量为__________ J。(结果均保留两位有效数字)
(4)该同学用两个质量分别为m1、m2的重物P和Q分别进行实验，多次记录下落高度h和相应的速度大小v，作出的v2－h图像如图所示。对比图像分析正确的是__________。
A．阻力可能为零 B．阻力不可能为零
C．m1可能等于m2 D．m1小于m2
答案 (1)A (2)A (3)2.0 0.86 (4)BC
解析 (1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的动能变化量与势能变化量，故选A。
(2)验证机械能守恒定律实验通过电磁打点计时器计时，需要交流电源，故A正确；验证机械能守恒定律中等式两边重物质量可以约掉，则不需要天平测质量，故B错误。
(3)根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则打下C点时重物的速度大小为
vC＝eq \f(xBD,2T)＝eq \f(26.21－18.21×10－2,2×0.02) m/s＝2.0 m/s
O点到C点的这段时间内重物重力势能的减少量为
ΔEp＝mghOC＝0.4×9.8×22.00×10－2 J≈0.86 J。
(4)根据题意，设阻力为Ff，由动能定理有(mg－Ff)h＝eq \f(1,2)mv2，整理可得v2＝2(g－eq \f(Ff,m))·h，可知，若阻力为零，则两次实验的v2－h图像斜率相等，由题图可知，斜率不等，则阻力不可能为零，故A错误，B正确；虽然斜率不相等，但不知道两物体所受阻力的情况，则两物体的质量关系不确定，即m1可能等于m2，故C正确，D错误。
2．(2021·海南卷·15)为了验证物体沿光滑斜面下滑的过程中机械能守恒，某学习小组用如图所示的气垫导轨装置(包括导轨、气源、光电门、滑块、遮光条、数字毫秒计)进行实验。此外可使用的实验器材还有：天平、游标卡尺、刻度尺。
(1)某同学设计了如下的实验步骤，其中不必要的步骤是________；
①在导轨上选择两个适当的位置A、B安装光电门Ⅰ、Ⅱ，并连接数字毫秒计；
②用天平测量滑块和遮光条的总质量m；
③用游标卡尺测量遮光条的宽度d；
④通过导轨上的标尺测出A、B之间的距离l；
⑤调整好气垫导轨的倾斜状态；
⑥将滑块从光电门Ⅰ左侧某处，由静止开始释放，从数字毫秒计读出滑块通过光电门Ⅰ、Ⅱ的时间Δt1、Δt2；
⑦用刻度尺分别测量A、B点到水平桌面的高度h1、h2；
⑧改变气垫导轨倾斜程度，重复步骤⑤⑥⑦，完成多次测量。
(2)用游标卡尺测量遮光条的宽度d时，游标卡尺的示数如图所示，则d＝________ mm；某次实验中，测得Δt1＝11.60 ms，则滑块通过光电门Ⅰ的瞬时速度v1＝________ m/s(保留3位有效数字)；
(3)在误差允许范围内，若h1－h2＝________(用上述必要的实验步骤直接测量的物理量符号表示，已知重力加速度为g)，则认为滑块下滑过程中机械能守恒；
(4)写出两点产生误差的主要原因：________。
答案 (1)②④ (2)5.00 0.431
(3)eq \f(\f(1,2)\f(d,Δt2)2－\f(1,2)\f(d,Δt1)2,g) (4)滑块在下滑过程中受到空气阻力作用，产生误差；遮光条宽度不够窄，测量速度不准确，产生误差
解析 (1)通过光电门测量滑块运动的速度v＝eq \f(d,Δt)，滑块下滑过程中若机械能守恒，则减少的重力势能转化为动能mg(h1－h2)＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12＝eq \f(1,2)m(eq \f(d,Δt2))2－eq \f(1,2)m(eq \f(d,Δt1))2，整理化简得g(h1－h2)＝eq \f(1,2)(eq \f(d,Δt2))2－eq \f(1,2)(eq \f(d,Δt1))2，所以测量滑块和遮光条的总质量m不必要，测量A、B之间的距离l也不必要，故选②④。
(2)游标卡尺的读数为
d＝5 mm＋0×0.05 mm＝5.00 mm，
滑块通过光电门的速度
v1＝eq \f(d,Δt1)＝eq \f(5.00,11.60) m/s≈0.431 m/s。
(3)根据(1)问可知h1－h2＝eq \f(\f(1,2)\f(d,Δt2)2－\f(1,2)\f(d,Δt1)2,g)
在误差允许的范围内，满足该等式可认为滑块下滑过程中机械能守恒。
(4)滑块在下滑过程中受到空气阻力作用，产生误差；遮光条宽度不够窄，测量速度不准确，产生误差。
3．(2022·河北卷·11)某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装置如图甲所示。弹簧的劲度系数为k，原长为L0，钩码的质量为m。已知弹簧的弹性势能表达式为E＝eq \f(1,2)kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为g。
(1)在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为L。接通打点计时器电源。从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图乙所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T(在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出A点)。从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为________，钩码的动能增加量为________，钩码的重力势能增加量为________________。
(2)利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度h的关系，如图丙所示。由图丙可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是__________________________________。
答案 (1)k(L－L0)h5－eq \f(1,2)kh52 eq \f(mh6－h42,8T2) mgh5 (2)见解析
解析 (1)从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为ΔEp弹＝eq \f(1,2)k(L－L0)2－eq \f(1,2)k(L－L0－h5)2，整理有ΔEp弹＝k(L－L0)h5－eq \f(1,2)kh52，打F点时钩码的速度为vF＝eq \f(h6－h4,2T)，由于在误差允许的范围内，认为释放钩码的同时打出A点，则钩码动能的增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)mvF2－0＝eq \f(mh6－h42,8T2)，钩码的重力势能增加量为ΔEp重＝mgh5。
(2)钩码机械能的增加量，即钩码动能和重力势能增加量的总和，若无阻力做功，则弹簧弹性势能的减少量等于钩码机械能的增加量。现在随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，而两条曲线在纵向的间隔即阻力做的功，则产生这个问题的主要原因是钩码和纸带运动的速度逐渐增大，导致空气阻力逐渐增大，以至于空气阻力做的功也逐渐增大。
4．(2023·广东省模拟)如图甲所示的装置叫作阿特伍德机，是数学家和物理学家阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。某同学对该装置加以改进后用来验证机械能守恒定律，如图乙所示。
(1)实验时，该同学进行了如下操作：
①将质量均为M的重物A、B用绳连接后，跨放在定滑轮上，处于静止状态(挡光片质量不计)。测量出________(选填“A的上表面”“A的下表面”或“挡光片中心”)到光电门中心的竖直距离h。
②在B的下端挂上质量为m的物块C(未画出)，让系统(重物A、B以及物块C)中的物体由静止开始运动，光电门记录挡光片挡光的时间为Δt。
③用螺旋测微器测量挡光片的宽度d，示数如图丙所示，挡光片的宽度d＝________ mm。计算有关物理量，验证机械能守恒定律。
(2)如果系统(重物A、B以及物块C)的机械能守恒，应满足的关系式为____________(用物理量的符号表示，已知重力加速度为g)。
(3)引起该实验系统误差的原因有___________________________________________________
___________________________________________________________________(写一条即可)。
答案 (1)①挡光片中心 ③1.650
(2)mgh＝eq \f(1,2)(2M＋m)(eq \f(d,Δt))2
(3)绳子有一定的质量、滑轮与轴之间有摩擦、重物运动中受到空气阻力
解析 (1) 用挡光片经过光电门中心的平均速度代替重物经过光电门中心的瞬时速度，所以应测量出挡光片中心到光电门中心的竖直距离h。螺旋测微器固定刻度的示数为1.5 mm，可动刻度的示数为0.01 mm×15.0＝0.150 mm，
可得d＝1.5 mm＋0.150 mm＝1.650 mm。
(2)重物A经过光电门时的速度v＝eq \f(d,Δt)，系统动能增加量ΔEk＝eq \f(1,2)(2M＋m)v2＝eq \f(1,2)(2M＋m)(eq \f(d,Δt))2，系统重力势能的减少量为mgh，系统机械能守恒应满足的关系式为mgh＝eq \f(1,2)(2M＋m)(eq \f(d,Δt))2。
(3) 系统机械能守恒的条件是只有重力做功，但实际实验中可能存在其他力，故引起实验误差的原因可能有：绳子有一定的质量、滑轮与轴之间有摩擦、重物运动中受到空气阻力。
5．(2023·河北衡水市二模)某实验小组同学利用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。调节木板的倾角，使小车在未悬挂砝码盘时能拖着纸带沿木板向下匀速运动，之后将小车固定在靠近打点计时器处，在动滑轮上悬挂砝码盘和砝码，接通打点计时器电源并释放小车，打点计时器打出的纸带如图乙所示，已知打点计时器所接电源的频率f＝50 Hz，释放小车的瞬间打点计时器打出的点记为“0”，之后的点依次记为“1”“2”“3”…，“0”与“120”两点间的距离记为L，“119”与“121”两点间的距离记为Δx，两滑轮、细绳及纸带的质量均不计，回答下列问题：
(1)打点计时器打记为“120”的点时小车的速度大小v120＝____________。
(2)砝码盘和砝码的总质量为m，小车的质量为M，当地重力加速度大小为g，若mgL＝__________成立，则验证了系统的机械能守恒。(均用题中所给字母表示)
(3)测得Δx＝5.12 cm，L＝153.55 cm，m＝0.10 kg，M＝0.90 kg，若此过程机械能守恒，则当地的重力加速度大小g＝__________ m/s2。(结果保留两位小数)
答案 (1)eq \f(fΔx,2) (2)eq \f(mf2Δx2,16)＋eq \f(Mf2Δx2,4)
(3)9.87
解析 (1)中间时刻的瞬时速度等于此过程中的平均速度，所以v120＝eq \f(fΔx,2)
(2)若此过程机械能守恒，则有
mgeq \f(L,2)＝eq \f(1,2)m(eq \f(fΔx,4))2＋eq \f(1,2)M(eq \f(fΔx,2))2
整理得mgL＝eq \f(mf2Δx2,16)＋eq \f(Mf2Δx2,4)
(3)根据牛顿第二定律有mg－2FT＝meq \f(a,2)，
FT＝Ma，(eq \f(fΔx,2))2＝2aL
将Δx＝5.12 cm、L＝153.55 cm、m＝0.10 kg、M＝0.90 kg代入解得g≈9.87 m/s2。