吉林省长春市公主岭市2023-2024学年七年级下学期数学期末试题（解析版）

这是一份吉林省长春市公主岭市2023-2024学年七年级下学期数学期末试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若代数式的值为，则x等于（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列方程及解一元一次方程，读懂题意，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键．根据题意列出方程，解这个一元一次方程即可得到结论．
【详解】解：∵代数式值为，
∴，
解得，
故选D．
2. 将方程去分母后，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等式的性质方程两边都乘即可．
【详解】解：，
去分母，得，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：方程两边乘时不要漏乘．
3. 若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由可得，原式正确，不符合题意；
B、由可得，原式正确，不符合题意；
C、由可得，原式错误，符合题意；
D、由可得，原式正确，不符合题意；
故选：C．
4. 小红同学在解关于x和y的二元一次方程组时，利用就将未知数y消去了，则m和n应该满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求和后直接消去，令的系数为即可．
【详解】解：
得，
∵可直接消去未知数，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
5. 下面四个图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
6. 我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
故选：B．
7. 某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两内角之和成为解题的关键．
由平角的定义可得，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
，
∵是的外角，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出的值．本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【详解】解：正边形的一个内角，
则，
解得．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知关于x的方程的解是，则a的值为____________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题关键是将方程的解代入原方程，使原方程转化为关于的一元一次方程．将x=1代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：x=1是方程的解，
将x=1代入原方程得，
解得，
故答案为： 6．
10. 写出二元一次方程的一组整数解_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】用表示出，确定出整数解即可．
【详解】解：方程，
解得：，
当时，，
则二元一次方程的一组整数解为答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11. 关于的不等式组，不等式②的解集如图所示，则该不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、数轴．根据数轴可得a的正负情况，从而求得不等式组的解集．
【详解】解：由题意得：．
解不等式①，得；
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
12. 如图，第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，此正九边形的内角和为______度．
【答案】1260
【解析】
【分析】本题考查了求正多边形内角和问题．根据正多边形的内角和公式：，代入数据即可得出答案．
【详解】解：正九边形的内角和为，
故答案：1260．
13. 如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点逆时针旋转的最小角度为______度．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查平行线的知识．根据平行线的性质，得到，则，据此计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（只填序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断①．
【详解】解：是的中线，
，
故④正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故②正确，符合题意；
，，
∴
，
故③正确，符合题意；
过点F作于点P，
∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
故①错误，不符合题意；
故答案为：②③④
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法， 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算，先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
16. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解方程组，利用加减消元法进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
17. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为；
将不等式组的解集表示在数轴上如图：
．
18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．
（1）将向右平移3个单位长度，得到；
（2）将绕点逆时针旋转，得到；
（3）图中与的位置关系为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）垂直
【解析】
【分析】本题考查作图−旋转变换和平移变换．
（1）利用网格特点和平移性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可；
（3）根据平移的旋转的性质即可判断．
【小问1详解】
解：如图所示；
；
【小问2详解】
解：如图所示；
【小问3详解】
解：由平移的性质得，
由旋转的性质得，
∴．
故答案为：垂直．
19. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？
【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可．
【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人，
依题意，得：，
解得：，
答：最初报名时男生有12人，女生有9人．
20. 如图，在中，是角平分线，是高，与相交于点，过点作，当时，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：是高（已知），
______（三角形高的定义）．
______（直角三角形的两个锐角互余）．
______°．
是角平分线，
______°（角平分线定义）．
______°（______）．
（已知），
______（两直线平行，同位角相等）．
【答案】；；60；30；120；三角形的外角性质；
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据直角三角形的两个锐角互余的性质求得，利用角平分线定义求得，再利用三角形的外角性质结合平行线的性质即可求解．
【详解】解：是高（已知），
（三角形高定义）．
（直角三角形的两个锐角互余）．
．
是角平分线，
（角平分线定义）．
（三角形的外角性质）．
（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元
（2）该校最多可以购买甲种书40本
【解析】
【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可．
【小问1详解】
解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
【小问2详解】
解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
22. 【教材呈现】如图是华师版义务教育教科书七年级下册数学教材82页的部分内容．
对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）；
解：平分（已知），
，
同理可得______°．
（______），
（等式的性质）．
______°；
【问题推广】
（1）如图1，在中，的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数；
（2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则______°．
【答案】教材呈现：25；三角形内角和定理；115；问题推广：（1）；（2）49
【解析】
【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案；
（2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出， 得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可．
【详解】解：（1）∵平分（已知），
∴，
同理可得，
∵（三角形内角和定理），
∴（等式的性质）
．
（1）由折叠的性质可得，，
，，，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
即，
；
（3）平分，平分，
，，
，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
23. 用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板．
（1）制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张．
（2）若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
（3）如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
（4）如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个．
【答案】（1）3，4 （2）制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个
（3）12 （4）27
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可；
（1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果；
（2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可；
（3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可；
（4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可．
【小问1详解】
由题意可得，
1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型，
故答案为：3，4；
【小问2详解】
设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得，
，解得，
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个；
【小问3详解】
解：根据题意，得．
解得．
为非负整数，
的最大值为12；
【小问4详解】
设可以制作横式纸盒个．
个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，
需要张型和张型，
，解得，
在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个．
故答案为：27．
24. 如图，在中，．点为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点运动的时间为的面积为，规定线段是特殊的三角形．
（1）当______时，点运动到点；
（2）当点在上运动，且点在点右侧时，的长度为______cm（用含的代数式表示）；
（3）在点运动过程中，请用含的代数式表示；
（4）当时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
（3）；
（4）当或或时，
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，列代数式，求不等式的解集，合理分类讨论是解题的关键．
（1）根据时间等于路程除以速度求解即可；
（2）根据题意列式即可；
（3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可；
（4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解．
【小问1详解】
解：在上运动的时间为，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：当点在运动时，，
点是的中点，
，
当在的左侧时，即，；
故答案为：；
【小问3详解】
解：当在的右侧时，即，；
当点在上时，即，
根据题意，得；
当点在上时，即，
根据题意，得，
当点在上时，即，
根据题意，得，
∴；
【小问4详解】
解：当时，
根据题意，得，
解得；
当时，
根据题意，得，
解得；
当时，
根据题意，得，
解得；
答：当或或时，．如图，在中，平分平分，求的度数．