2025高考数学一轮复习-8.2.4.2-超几何分布的综合问题【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2.4.2-超几何分布的综合问题【课件】，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，超几何分布的均值，内容索引，所以X的概率分布为，∴X的概率分布为，∴X的均值为，∴Y的概率分布为，所以ξ的概率分布为，随堂练习，对点练习等内容，欢迎下载使用。
1.掌握超几何分布的均值的计算.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系.
上节课学习了超几何分布模型，这节课我们重点研究超几何分布模型的应用.
二、二项分布与超几何分布的区别与联系
三、超几何分布的综合应用
问题　服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
实际上，由随机变量均值的定义，令m＝max(0，n－N＋M)，r＝min(n，M)，有
例1　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布及均值.
解　依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
跟踪训练1　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为_____，E(X)＝_____.
解析　依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为
例2　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
解　质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的概率分布，并求其均值；
解　质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的可能取值为0,1,2，X服从超几何分布.
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的概率分布.
跟踪训练2　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
解　方法一　由题意知X的可能取值为0,1,2.
∴随机变量X的概率分布为
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
例3　某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为 .
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求m，n的值；
解　设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
解得m＝3.因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
解　设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的概率分布、均值及方差.
解　由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0,1,2,3.
跟踪训练3　目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如表所示：
解　记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A.由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的概率分布及均值.
解　因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区.X的所有可能取值为0,1,2.
A.没有白球B.至少有一个白球C.至少有一个红球D.至多有一个白球
2.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是
3.盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝_____.
4.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n＝_____，现由成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是____.
解析　由(0.012＋0.016＋0.018＋0.024＋x)×10＝1，解得x＝0.03.依题意得0.016×10n＝8，则n＝50.成绩在[50,60)的人数为0.012×10×50＝6，其中4个为女生，2个为男生.ξ的可能取值为0,1,2.
1.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
解析　由题意知10件产品中有2件次品，
解得x＝5.X服从超几何分布，
3.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则E(X)为
解析　由题意可知，随机变量X的可能取值有0,1,2,3，
5.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于
解析　方法一　(公式法)由题意得随机变量X服从超几何分布n＝2，M＝4，N＝10，
方法二　由题意知，X的可能取值为0,1,2，
6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是
7.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为 ，则口袋中白球的个数ξ为____.
8.某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿者活动，若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的安排方案，则该支教队女老师的人数为____；记X为选出的2位老师中女老师的人数，则X的均值为______.
解析　不妨设男老师总共有x人，则女老师共有8－x人(1≤x≤8，x∈N*)，
即有x(x－1)＝20，解得x＝5,8－x＝3，所以该支教队共有女老师3人.所以X可取值为0,1,2，X＝0表示选派2位男老师，
X＝1表示选派1位男老师与1位女老师，
X＝2表示选派2位女老师，
9.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布.
解　ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，
10.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值；
解　X的所有可能取值为0,1,2，
(2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)
解　新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，
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