2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区八年级上学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了计算，下列语句中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1B．2C．8D．11
3．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．计算（﹣ab）3•a2的结果是（ ）
A．a5b3B．a6b3C．﹣a5b3D．﹣a6b3
5．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，若∠2＝24°，则∠1＝（ ）
A．44°B．68°C．64°D．54°
6．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（ ）
A．95°B．140°C．50°D．40°
7．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OBB．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPDD．PC＝PD
8．下列语句中，正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．腰上的高也是中线的三角形是等边三角形
D．角可看作是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形
9．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
10．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
11．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110°B．125°C．130°D．155°
12．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长为（ ）
A．4042B．22019C．4040D．22021
二、填空题：（本题10个小题，每小题3分，共30分）
13．已知如图，已知BD平分∠ADC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝ ．
15．计算：若a3n＝3，b2n＝2，则a6nb4n＝ ．
16．若实数m、n满足|m﹣2|+＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC的周长是40cm，AB﹣BC＝8cm，则△BEC的周长是 cm．
18．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PE＝2．如果点M是OP的中点，则DM的长是 ．
19．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是 ．
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
21．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，则∠AOB的度数是 ．
22．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是
三.解答题：（共54分）
23．计算：
（1）b2•（﹣b）3•（﹣b2）4；
（2）﹣（﹣2a2b3）4+（3a4b6）2．
24．如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）．
（1）描出点A关于x轴的对称点A1的位置，写出A1的坐标 ；
（2）在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小，请描出C点的位置；
（3）用尺规在y轴上找一点P，使PA＝PB（保留作图痕迹）．
25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是BC边上的高．
（1）在图中将图形按题意补充完整；
（2）当∠B＝28°，∠C＝72°时，求∠DAE的度数．
26．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
28．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）求证：DG＝AE；
（3）猜想线段AF、BC的数量关系是 ，请说明理由．
29．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段A与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）当E不是AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC点F．请你接下来按照这种思路完成全部解答过程．
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为2，AE＝4，则CD的长为 ．
参考答案
一.选择题：（本题有12个小题，每小题3分，共36分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1B．2C．8D．11
【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
3．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
解：根据题意，得：（n﹣2）×180＝360×3，解得n＝8．
故选：D．
4．计算（﹣ab）3•a2的结果是（ ）
A．a5b3B．a6b3C．﹣a5b3D．﹣a6b3
【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式乘法法则解决此题．
解：（﹣ab）3•a2
＝﹣a3b3•a2
＝﹣a5b3．
故选：C．
5．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，若∠2＝24°，则∠1＝（ ）
A．44°B．68°C．64°D．54°
【分析】根据等腰三角形两底角相等可得∠1＝∠BAD，用∠1表示出∠B，然后根据等腰三角形的性质表示出∠BAC，再根据∠2＝∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
解：∵AB＝BD，
∴∠1＝∠BAD，
在△ABD中，∠B＝180°﹣2∠1，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝180°﹣2（180°﹣2∠1）＝4∠1﹣180°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠BAD＝4∠1﹣180°﹣∠1＝24°，
解得∠1＝68°．
故∠1的度数是68°．
故选：B．
6．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（ ）
A．95°B．140°C．50°D．40°
【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠ACB＝50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°，
∵∠BPC＝∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞∠A，
∴∠BPC＞80°，
∵∠B＝50°，
∴∠BPC＜180°﹣50°＝130°，
则50°＜∠BPC＜130°，
故∠BPC的值可能是95°．
故选：A．
7．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OBB．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPDD．PC＝PD
【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选：D．
8．下列语句中，正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．腰上的高也是中线的三角形是等边三角形
D．角可看作是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形
【分析】在三角形中，高、中线、角平分线对应的都是一条线段．垂直平分线对应的是直线、对称轴对应的同样为一条直线，据此判断判断选项A、B；
根据等边三角形的判定方法可判断选项C；
根据角的定义可判断选项D．
解：A．三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的线段，而线段的垂直平分线是直线，故A不合题意；
B．三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B不合题意；
C．腰上的高也是中线的等腰三角形是等边三角形，故C符合题意；
D．角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴，故D不合题意．
故选：C．
9．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠CBD，等量代换得到∠EBD＝∠EDB，求得BE＝DE，于是得到结论．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵△AED的周长为16，
∴AB+AD＝16，
∵AD＝6，
∴AB＝10，
故选：C．
11．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110°B．125°C．130°D．155°
【分析】由条件可证明△ACD≌△BCE，可求得∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠APB＝∠ACB，则可求得∠BPD．
解：
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD，
∴∠ACB＝∠ECD＝（∠BCD﹣∠ACE）＝×（155°﹣55°）＝50°，
∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB，
∴∠APB＝∠ACB＝50°，
∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
12．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长为（ ）
A．4042B．22019C．4040D．22021
【分析】根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，得到∠OB1A1＝∠MON，根据等腰三角形的判定定理得到A1B1＝OA1＝1，总结规律，根据规律解答．
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠MON，
∴A1B1＝OA1＝1，
同理可得，A2B2＝OA2＝2，A3B3＝OA3＝4＝22，
……
∴△A2020B2020A2021的边长＝22019，
故选：B．
二、填空题：（本题10个小题，每小题3分，共30分）
13．已知如图，已知BD平分∠ADC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C（答案不唯一） ．（只需写一个，不添加辅助线）
【分析】由已知BD平分∠ADC，得出∠ABD＝∠CBD，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②ASA．③AAS，所以可添AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C．
解：答案不唯一．
①添加AB＝CB．利用SAS得出△ABD≌△CBD（SAS）；
②添加∠ADB＝∠CDB．利用ASA得出△ABD≌△CBD（ASA）；
③添加∠A＝∠C．利用AAS得出△ABD≌△CBD（AAS）；
故答案为：AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C（答案不唯一）．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝ 38° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据翻折变换的性质求出∠CED的度数，根据三角形内角和定理求出∠∠BDE．
解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，
∴∠CED＝∠A，
∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∴∠CED＝64°，
∴∠BDE＝64°﹣26°＝38°．
故答案为：38°．
15．计算：若a3n＝3，b2n＝2，则a6nb4n＝ 36 ．
【分析】先利用幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应值运算即可．
解：∵a3n＝3，b2n＝2，
∴a6nb4n
＝（a3n）2×（b2n）2
＝32×22
＝9×4
＝36．
故答案为：36．
16．若实数m、n满足|m﹣2|+＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 10 ．
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
解：∵|m﹣2|+＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．
故答案为：10．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC的周长是40cm，AB﹣BC＝8cm，则△BEC的周长是 24 cm．
【分析】根据题意求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，计算即可．
解：∵AB＝AC，△ABC的周长是40cm，
∴AB+AC+BC＝2AB+BC＝40cm，
∵AB﹣BC＝8cm，
∴AB＝16cm，BC＝8cm，
∴AC＝16cm，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝24cm．
故答案为：24．
18．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PE＝2．如果点M是OP的中点，则DM的长是 2 ．
【分析】根据角平分线的性质得到PD＝PE＝2，根据直角三角形中，30°的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DM＝DP，得到答案．
解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝2，
∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠POD＝30°，
∵PD⊥OA，
∴PD＝OP，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM＝OP，
∴DM＝DP＝2，
故答案为：2．
19．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 120°或75°或30° ．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是 ①②③ ．
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故答案为：①②③．
21．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，则∠AOB的度数是 30° ．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD＝60°，即可得出结果．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵PN+PM+MN的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝8cm，
∴DM+CN+MN＝8cm，
即CD＝8＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°．
故答案为：30°．
22．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是 10
【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线的性质得到DM＝DN，根据三角形的面积公式得到BD：DC＝2：3，根据题意列式计算得到答案．
解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM＝DN，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝•AB•DN：•AC•DM＝AB：AC＝2：3，
设△ABC的面积为S，则S△ADC＝S，S△BEC＝S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴S﹣S＝1，
∴S＝10，
故答案为：10．
三.解答题：（共54分）
23．计算：
（1）b2•（﹣b）3•（﹣b2）4；
（2）﹣（﹣2a2b3）4+（3a4b6）2．
【分析】（1）先算幂的乘方，再进行同底数幂的乘法运算即可；
（2）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可．
解：（1）b2•（﹣b）3•（﹣b2）4
＝b2•（﹣b3）•b8
＝﹣b2+3+8
＝﹣b13；
（2）﹣（﹣2a2b3）4+（3a4b6）2．
＝﹣16a8b12+9a8b12
＝﹣7a8b12．
24．如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）．
（1）描出点A关于x轴的对称点A1的位置，写出A1的坐标 （1，﹣3） ；
（2）在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小，请描出C点的位置；
（3）用尺规在y轴上找一点P，使PA＝PB（保留作图痕迹）．
【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线作法得出答案；
（3）利用线段AB的垂直平分线作法解答即可．
解：（1）如图所示：A1的坐标（1，﹣3）；
故答案为：（1，﹣3）；
（2）如图所示：点C即为所求；
（3）如图所示：点P即为所求．
25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是BC边上的高．
（1）在图中将图形按题意补充完整；
（2）当∠B＝28°，∠C＝72°时，求∠DAE的度数．
【分析】（1）直接作出BC边上的高线AD；
（2）利用三角形的内角和先求出∠BAC、∠CAD，再利用角平分线的性质求出∠CAE，最后利用角的和差关系求出∠DAE的度数．
解：（1）
（2）∵∠B＝28°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣28°﹣72°
＝80°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝18°．
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC
＝40°﹣18°
＝22°．
26．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
解：（1）∠ABE＝∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
28．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）求证：DG＝AE；
（3）猜想线段AF、BC的数量关系是 BC＝2AF ，请说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质可得出结论；
（2）证明△ADG≌△BAC（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝AC；AG＝BC，则可得出结论；
（3）证明△AEF≌△GDF（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝GF＝AG＝BC，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DAB＝90°，AE∥BC，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠B＝∠BAE，
∴∠DAC＝90°﹣∠BAC＝∠BAE，
∴∠DAC＝∠B；
（2）证明：∵AG⊥DG，
∴∠AGD＝∠ACB＝90°，
在△ADG和△BAC中，
，
∴△ADG≌△BAC（AAS），
∴DG＝AC，AG＝BC，
∵AC＝AE，
∴DG＝AE；
（3）解：BC＝2AF．
理由：
在△AEF和△GDF中，
，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴AF＝GF＝AG＝BC，
∴BC＝2AF．
故答案为：BC＝2AF．
29．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段A与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）当E不是AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC点F．请你接下来按照这种思路完成全部解答过程．
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为2，AE＝4，则CD的长为 6 ．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
解：（1）AE＝DB，理由如下：
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD＝∠ACB＝30°，
∴∠EDC＝30°，
∴∠D＝∠DEB＝30°，
∴DB＝BE，
∵AE＝BE，
∴AE＝DB；
故答案为：＝；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
故答案为：＝；
（3）点E在AB延长线上时，如图3所示，AE＝EF＝4，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝4，BC＝2，
则CD＝BC+DB＝6．
故答案为：6．