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湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版）
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这是一份湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
时量：120分钟 分值：150分
命题人：周福、彭婧涵 审题人：赵耀华
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A. B.
C. D.
5. 将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C D.
6. 已知函数，关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（ ）
A. B. 2C. D.
8. 在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为两个随机事件，以下命题正确是（ ）
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，，则
C. 若，，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，，则
10. 以下四个命题叙述正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距是1
B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D. 直线，若，则或2
11. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 与所成角的余弦值为D. 动点P的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对任意的实数，直线所过的定点为__________．
13. 如图，已知正方形边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____.
14. 函数的值域为______．
三、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，.
（1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
（2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
16. 记的内角的对边分别为，满足.
（1）求角；
（2）若，，是中线，求的长.
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第80百分位数；
（2）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
对应聘者能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员（4）
4
5
4
4
17
数学试题
时量：120分钟 分值：150分
命题人：周福、彭婧涵 审题人：赵耀华
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A. B.
C. D.
5. 将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C D.
6. 已知函数，关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（ ）
A. B. 2C. D.
8. 在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为两个随机事件，以下命题正确是（ ）
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，，则
C. 若，，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，，则
10. 以下四个命题叙述正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距是1
B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D. 直线，若，则或2
11. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 与所成角的余弦值为D. 动点P的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对任意的实数，直线所过的定点为__________．
13. 如图，已知正方形边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____.
14. 函数的值域为______．
三、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，.
（1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
（2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
16. 记的内角的对边分别为，满足.
（1）求角；
（2）若，，是中线，求的长.
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第80百分位数；
（2）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
对应聘者能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员（4）
4
5
4
4
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