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河北省承德市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（原卷版）
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这是一份河北省承德市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（原卷版），共5页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4，本试卷主要考试内容：计数原理，随机变量及其分布，成对数据的统计分析，集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数与导数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知集合，且，则（ ）
A. 8或20B. 8或-20C. 或20D. 或
3. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知变量和的统计数据如下表：
若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ）
A. 5.75B. 7.5C. 7.55D. 8
5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A. 300种B. 210种C. 120种D. 60种
8. 已知函数则方程的实数个数为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 恰有一个极值点
B 有最小值但没有最大值
C. 直线与曲线的公共点个数最多为4
D. 经过点只可作的一条切线
11. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为2
C. 若，则
D. 若，则的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______．
13. 已知函数满足，若，则______.
14. 已知，若不等式恒成立，则a取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足.
（1）求函数和解析式；
（2）对任意实数，恒成立，求的取值范围.
16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
17. 已知函数.
（1）若，求的图象在点处的切线方程；
（2）若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围.
18. 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．
19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．
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2.4
3.1
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合计
男
45
5
50
女
35
15
50
合计
80
20
100
0.05
0.025
0.01
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4，本试卷主要考试内容：计数原理，随机变量及其分布，成对数据的统计分析，集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数与导数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知集合，且，则（ ）
A. 8或20B. 8或-20C. 或20D. 或
3. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知变量和的统计数据如下表：
若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ）
A. 5.75B. 7.5C. 7.55D. 8
5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A. 300种B. 210种C. 120种D. 60种
8. 已知函数则方程的实数个数为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 恰有一个极值点
B 有最小值但没有最大值
C. 直线与曲线的公共点个数最多为4
D. 经过点只可作的一条切线
11. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为2
C. 若，则
D. 若，则的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______．
13. 已知函数满足，若，则______.
14. 已知，若不等式恒成立，则a取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足.
（1）求函数和解析式；
（2）对任意实数，恒成立，求的取值范围.
16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
17. 已知函数.
（1）若，求的图象在点处的切线方程；
（2）若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围.
18. 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．
19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．
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