河北省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章1.1-1.3．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在中，角的对应边分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内．现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图．若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
5. 已知点为坐标原点，且，则（ ）
A. 36B. C. 6D.
6. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（ ）
A. B. C. D.
7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，并记下每次抛掷后正面朝上的点数．若第一次抛掷正面朝上的数字大于4，则再抛掷一次，若第一次抛掷正面朝上的数字不大于4，则停止抛掷，则抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（ ）
A 3B. 4C. 6D. 7
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知甲组数据为，乙组数据为，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ）
A. 丙组数据的中位数为5
B. 甲组数据的分位数是2
C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差
D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
10. 在中，角的对应边分别为．已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 外接圆的半径为
C. 面积的最大值为
D. 若为的中线，则的最小值为
11. 若三棱锥体积是三棱锥体积的，且，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数满足．若为纯虚数，则__________，的虚部__________．
13. 已知，，，则__________．
14. 如图，在正三棱锥中，．正三棱柱的顶点分别为的中点，在底面内，则正三棱柱外接球的表面积为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知向量与的夹角为，且．
（1）求；
（2）求在方向上的投影向量（用表示）．
16. 在长方体中，为与的交点．
（1）用向量表示；
（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，请写出，四点的坐标及向量的坐标；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
17. 如图，在四棱锥中，平面为中点，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．
（1）求的长；
（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．
（1）已知．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．