北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题(无答案)

这是一份北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题(无答案)，共4页。

本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆与直线相切，则（ ）
A．2B．C．D．
5．在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．6D．24
6．设向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（ ）
A．4B．2C．1D．
8．已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（ ）
A．1B．C．4D．
9．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容是（单位：A·h）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert莹数。为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）（参考数值：）
A．1.25B．1.75C．2.25D．2.55
10．已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则（ ）
A．1B．C．2D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．抛物线的准线方程是______．
12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则______．
13．已知函数若，则______；若在上单调递增，则的一个值为______．
14．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），设正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则______．
15．古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数。他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类．如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，给出下列四个结论：
①数列的一个通项公式是；
②2025既是三角形数，又是正方形数；
③；
④，总存在．使得成立．
其中所有证确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
在锐角中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17．（本小题13分）
已知四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若．求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题14分）
某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：
（Ⅰ）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；
（Ⅱ）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为X．求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？
19．（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为．焦距为．过点且斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线与轴垂直，求的值．
20．（本小题15分）
已知函数，直线为曲线在点处的切线．
（Ⅰ）当时，求出直线的方程；
（Ⅱ）若，求的最小值；
（Ⅲ）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．
21．（本小题15分）
已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
（Ⅰ）若数列，求集合，并写出的值；
（Ⅱ）若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
（Ⅲ）已知数列，求证：．产品等级
一等品
二等品
三等品
样本数量（件）
50
30
20