北京市房山区2024届高三上学期期末数学试题

这是一份北京市房山区2024届高三上学期期末数学试题，共18页。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出集合后由交集定义运算可得.
【详解】，故.
故选：C.
2. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的几何意义可得出复数，再利用复数的乘法可求得的值.
【详解】在复平面内，若复数对应的点为，由复数的几何意义可得，
因此，.
故选：A.
3. 已知向量，，且与的夹角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先表示出，然后根据求解出的值.
【详解】因为，，
所以，所以，
解得或（舍去），
故选：B.
4. 的展开式中的常数项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出二项式展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，
因此，展开式中的常数项为.
故选：B.
5. 已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.
【详解】对A：若，则，故错误；
对B：若，则，故错误；
对C：若，则，，左右同除，有，故错误；
对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.
故选：D.
6. 已知直线与圆相切，则实数（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数的值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，则，即，解得或.
故选：D.
7. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.
【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减，
因此，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.
【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．
故选：A.
9. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定最小时，点的位置，进而求出的关系即得.
【详解】双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限，
由双曲线定义得，当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号，
因此的最小值为的最小值与的和，显然当与渐近线垂直时，
取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即，
则双曲线的渐近线方程为，显然选项ABD不满足，C满足，
所以双曲线C的方程可能是.
故选：C
10. 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意不断计算即可解出．
【详解】因为为强率，由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即强率；
由可得，，即为弱率，所以，
故选：B.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.
【详解】由题意可得、，故且，
故该函数定义域为.
故答案为：.
12. 记为等差数列的前项和，已知，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得.
【详解】设，则，
即，故.
故答案为：.
13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
则，整理得，而，
因此，又，所以.
故答案为：
14. 已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______.
【答案】或
【解析】
【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得.
【详解】设点，依题意，，即，整理得，
所以轨迹方程是或.
故答案为：或
15. 如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论：
①；
②平面；
③直线与直线所成角的范围是；
④点到平面的距离是.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.
【详解】
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、、、
、，
则、、、、
、、，
设，，则，
，故，故①正确；
设平面的法向量为，
则有，即，取，则，
有，故，又平面，则平面，故②正确；
当时，有，此时，即，
即此时直线与直线所成角为，故③错误；
由，，
则，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，，，底面是正方形，，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；
（2）选①，由题意及去推导得到、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及结合勾股定理的逆定理去推导得到、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.
【小问1详解】
连接点与中点、连接，又，分别为棱，的中点，
故、，又底面是正方形，
故、，故且，
故四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面；
【小问2详解】
选条件①：，
由且为等腰三角形，故，又，
故，有，
由，，、平面，，
故平面，又平面，故，
故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则、、，
令平面的法向量为，
则有，即，令，则，
则，
故与平面所成角的正弦值为.
条件②：，
由且为等腰三角形，故，又，
故，有，
由，则，故，又，
故，又，、平面，，
故平面，又平面，故，
故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则、、，
令平面的法向量为，
则有，即，令，则，
则，
故与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.
（1）求的值；
（2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出，由可得，结合题意可得出关于的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得到函数，
由题意可知，函数为奇函数，则，
可得，又因为，则.
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
则，
因为，则，
由，可得，
因为在区间上有且只有一个零点，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.
（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量概率；
（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望；
（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）.
【答案】（1）
（2）的分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；
（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.
（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.
【小问1详解】
由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，
所以该天乙获得流量大于丙获得流量概率为；
【小问2详解】
由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，
因此，
，，，
所以的分布列如下图所示：
；
【小问3详解】
根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，
所以， .
19. 设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点是椭圆上的一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）由题意计算即可得；
（2）设出直线，联立曲线，得到、两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.
【小问1详解】
由，，解得，，故，
即椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由椭圆的标准方程为，则、、，
由题意可得直线斜率存在且不为，设，
令，则，故，
联立，消去得，
即，故或，
由，故，
则，
又，即，
即，
若，则，即，
即，即，则，
若，则，即，不符，故舍去，
即，故，
即直线的方程为.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）、
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；
（3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，则，所以，，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：当时，，该函数的定义域为，
，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、.
【小问3详解】
解：因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个异号零点，
当时，对任意的，，不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，合乎题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，不合乎题意，舍去.
综上所述，实数取值范围是.
21. 若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
（1）若具有性质“”，且，，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.
【答案】（1）
（2）不具有性质“”，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由具有性质“”，可得当时，，结合题意计算即可得；
（2）由题意计算出通项公式后，检验是否恒等于即可得；
（3）借助既具有性质“”，又具有性质“”，则当时，有，，则有，，通过运算得到，从而可验证对任意的时，是否有即可得.
【小问1详解】
由具有性质“”，则当时，，
故，，，又，，
故，
即；
【小问2详解】
不具有性质“”，理由如下：
设，，由，，
即有，解得，故，，
则，有，
则，不恒等于，故不具有性质“”；
【小问3详解】
由既具有性质“”，又具有性质“”，
即当时，有，，
则有，，
由，故，
故，即，由，，则，
当，即时，有，
即对任意的时，有，即具有性质“”.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到，，并由此得到，，从而得出.0
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