四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

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1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断．
【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们首尾相连摆成一个三角形的是（ ）
A 3cm，4cm，8cmB. 8cm，7cm，15cm
C. 5cm，5cm，11cmD. 13cm，12cm，20cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
A、，不能摆成一个三角形；
B、，不能摆成一个三角形；
C、，不能摆成一个三角形；
D、，能摆成一个三角形；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
3. 已知正边形的每一个内角都是144°，则的值是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式和已知得出144°n＝（n﹣2）×180°，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：144°n＝（n﹣2）×180°，
解得：n＝10，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出方程144°n＝（n﹣2）×180°是解此题的关键．
4. 在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣2，1）B. （2，1）C. （﹣2，﹣1）D. （2，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点P（2，1）关于y轴对称点的坐标是（﹣2，1）．
故选：A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. aa2=a2B. （ab）3=ab3C. （a2）3=a6D. a10÷a2=a5
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则判断即可．
【详解】解：A、aa2=a3，此选项错误；
B、（ab）3=a3b3，此选项错误；
C、（a2）3=a6，此选项正确；
D、a10÷a2=a10-2=a8，此选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方，熟悉运算法则是解答的关键．
6. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A.
B.
C.
D.

【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
【详解】解：根据三角形高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，
则线段是的高，
观察四个选项，所以线段是的高的图是选项C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
7. 如图，在中，为边的中点，为边的中点，连接，交于点．，则四边形的面积为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了三角形面积公式．利用三角形面积公式得到，再判断点为的重心得到，所以，然后计算即可．
【详解】解：为边的中点，为边的中点，
，
为边的中点，为边的中点，
点为的重心，
，
，
，
四边形的面积．
故选：B．
8. 下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（ ）
A. MA＝MB，NA＝NBB. MA＝MB，MN⊥AB
C. MA＝NA，MB＝NBD. MA＝MB，MN平分AB
【答案】C
【解析】
【分析】垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线垂直且平分线段．
【详解】解：A选项可知M、N点到线段AB两端点的距离相等，连接MN，可通过全等证明MN垂直且平分线段AB，所以能判定，故不符合题意；
B选项中M点到线段AB两端点的距离相等，且直线MN垂直于线段，可通过全等证明MN平分线段AB，所以能判定，故不符合题意；
C选项中M、N到A点的距离相等，M、N到B点的距离相等；但无法说明MN垂直且平分线段AB，所以不能判定，故符合题意；
D选项中M点到线段AB两端点的距离相等，且直线MN平分线段，可通过全等证明MN垂直于线段AB，所以能判定，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、判定．解题的关键在于利用三角形全等证明直线是线段的垂直平分线．
9. 如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．
在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A. ASAB. SASC. SSSD. AAS
【答案】C
【解析】
【分析】连接EC，DC，根据作图的过程证明三角形全等即可；，
【详解】
【点睛】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．
10. 设，，则A，B的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法进行解答即可．
【详解】解：∵
，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练运用作差法比较大小是解决问题的关键．
11. 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点E，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，
延长，过点E作于点F，作于点G，作于点H，根据角平分线的性质定理可得，进而可证明是的平分线，根据角平分线的定义、三角形外角的性质可得，问题得解．
【详解】解：延长，过点E作于点F，作于点G，作于点H，
∵的外角的平分线与内角的平分线交于点E，
又∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
故选：C．
12. 如图，，是的中点，平分，下列说法：
①平分，②点到的距离等于，③，④，⑤．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段加减运算，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，过点作，利用角平分线的性质可得，即可得到②正确；证，可得到，则①正确；由，，可得到，则④正确；由平分，易证，进而得到，则⑤正确；即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
如图，
作垂足为点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴点到的距离等于，
故：②正确；
∵平分，
∴，
又，，
∴；
∴，，，
又∵，
∴，
又，，
∴；
∴，，，
∴平分，
故：①正确；
,
故：④正确；
∵，，
故：③错误；
∵平分，
∴，
由①知平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故：⑤正确；
故选：A．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______．

【答案】##45度
【解析】
【分析】证明，可证∠1与∠3互余，由方格纸的特点可知∠2是直角的一半，进而可求结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，以及方格纸的特点，数形结合是解答本题的关键．
14. 如果，，为自然数），那么______．
【答案】32
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
【详解】解：，，为自然数），
．
故答案为：32．
15. 如图，已知，，请添加一个条件______，使．并且判定方法为．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加条件：，可利用定理判定．
【详解】解：添加条件：，
在和中，
，
，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，点，，当点在第四象限，且坐标为________时，为等腰直角三角形．
【答案】或
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形的性质画出图形，根据点在第四象限，分和两种情况，利用网格线确定出点的坐标即可．
【详解】解：如图，根据点在第四象限，画出图形，

∵点，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
当时，，
∴，
∴此时点坐标为；
当时，，
∴，
∴此时点坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了图形与坐标、等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，算术平方根，先化简各式，然后再进行计算即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：
．
18. a3a4a+（a2）4+（﹣2a4）2．
【答案】6a8
【解析】
【详解】试题分析：首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算a3•a4•a，再根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算（a2）4，再根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算（﹣2a4）2．最后算加减即可．
解：原式=a3+4+1+a2×4+4a8，
=a8+a8+4a8，
=6a8．
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
19. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2
即,
在和中，
四、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20. 先化简再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
21. 在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级同学们的阅读爱好，随机抽取了一部分进行调查．要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：

（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值及B扇形的圆心角；
（3）已知该校九年级有480名学生，通过调查可以估计该校九年级喜欢军事类学生有多少人？
【答案】（1）40人；见解析
（2）
（3）通过调查可以估计该校九年级喜欢军事类学生有48人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
（1）从两个统计图可知，样本中喜欢类图书的有12人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；求出喜欢类图书的人数即可补全条形统计图；
（2）求出所占的百分比，即可得出的值，的扇形圆心角度数占的即可‘
（3）用480乘以喜欢军事类所占的百分比即可．
【小问1详解】
九年级（1）班的人数为（人，
喜欢军事类学生有（人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
，
，
扇形的圆心角为；
【小问3详解】
（人，
答：通过调查可以估计该校九年级喜欢军事类学生有48人．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22. 如图，已知为的角平分线．
（1）按要求补充完图形．用尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质，
（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得，进而可得，即可得出答案．
熟练掌握线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
为边的垂直平分线，
，
，
为的平分线，
，
，
在中，
，
，
即，
．
23. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山并创收，计划种植苹果树和梨树，经调查，购买2棵苹果树和3棵梨树共需要850元；购买3棵苹果树和2棵梨树共需900元．
（1）求苹果树和梨树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买两种树共80棵，且苹果树的棵数不少于梨树的2倍，为了完成绿化任务，村里打算用不超过14800元去购树．
①有几种具体的购买方案；
②若一棵苹果树结的果可卖280元，一棵梨树结的果可卖190元，若果子可全部卖出，哪一种方案挣钱最多？
【答案】（1）苹果树的单价是200元，梨树的单价是150元；（2）①共有3种购买方案：购买苹果树54棵，梨树26棵；购买苹果树55棵，梨树25棵；购买苹果树56棵，梨树24棵；②购买苹果树56棵，梨树24棵挣钱最多
【解析】
【分析】（1）设苹果树的单价是x元，梨树的单价是y元，根据“购买2棵苹果树和3棵梨树共需要850元；购买3棵苹果树和2棵梨树共需900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买苹果树m棵，则购买梨树（80﹣m）棵，根据“苹果树的棵数不少于梨树的2倍，且购树资金不超过14800元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
②利用总收入＝每棵苹果树的收入×植树棵树+每棵梨树的收入×植树棵树，可分别求出选择各方案可获得的总收入，再比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设苹果树的单价是x元，梨树的单价是y元，
依题意得：
解得：
答：苹果树的单价是200元，梨树的单价是150元．
（2）①设购买苹果树m棵，则购买梨树（80﹣m）棵，
依题意得：
解得：
又∵m为正整数，
∴m可以为54，55，56，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买苹果树54棵，梨树26棵；
方案2：购买苹果树55棵，梨树25棵；
方案3：购买苹果树56棵，梨树24棵．
②选择方案1可获得的利润为280×54+190×26＝15120+4940＝20060（元）；
选择方案2可获得利润为280×55+190×25＝15400+4750＝20150（元）；
选择方案3可获得的利润为280×56+190×24＝15680+4560＝20240（元）．
∵20060＜20150＜20240，
∴方案3挣钱最多．
答：购买苹果树56棵，梨树24棵挣钱最多．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
六、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24. 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为．
（1）求证：．
（2）若．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）BE＝
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
（1）由角平分线的性质得到，根据证明，得到；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质得到，根据证明，得到，根据以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可．
【小问1详解】
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接，

∵垂直平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
25. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
（1）如图①，当P在
上，
___________时，
的面积等于
面积一半；
（2）如图②，在
中，
．在
的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边
运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好
与
全等，求点Q的运动速度．
【答案】（1）
（2）或或或
【解析】
【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答；
（2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【小问1详解】
解：∵当P在上，的面积等于面积的一半，
∴
∴当时，的面积等于面积的一半．
【小问2详解】
解：设点Q的运动速度为，
①当点P在上，点Q在上，时，，
∴4÷3=5÷x 解得
②当点P在上，点Q在上，时，，

∴，解得
③当点P在上，点Q在上，时，，

∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
④当点P在上，点Q在上，时，，

∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
∴Q运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质、全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，中午分类讨论思想是解答本题的关键．