2023-2024学年北京师大实验华夏女子中学八年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京师大实验华夏女子中学八年级（下）期中数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 2 5B. 16C. 17D. n2
2.下列各式中，从左向右变形正确的是( )
A. 4=±2B. (−3)2=3
C. 6= −2× −3D. 8+ 2= 10
3.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 2, 3,2C. 5，12，13D. 1, 2, 5
4.如图，在▱ABCD中，AB=AC，∠CAB=40°，则∠D的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
5.如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是(4,−2)，(1,2)，点B在x轴上，则点B的横坐标是( )
A. 4
B. 2 5
C. 5
D. 4 2
6.在平面直角坐标系xOy中，将直线y=2x+1向下平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为( )
A. y=2x−1B. y=2x+2C. y=2x+3D. y=2x−2
7.如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.若定义一种新运算：a⊗b=2a−b(a≥b)2a+b−12(aA. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数y= x−2的自变量x的取值范围是______．
10.平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k>0且b<0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y=kx+b图象上的点为 ．
11.如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为______．
12.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=4，∠BAD=60°，则EF的最小值为 ．
13.若直线y=kx+2与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为______．
14.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为7，正方形IJKL的边长为1，且IJ//AB，则正方形EFGH的边长为______．
15.如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB=3，BC=6，则DE的长为 ．
16.如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)，EO，MO的延长线分别与▱ABCD的另一边交于点F，N，连接EN，MF，下面四个推断：
①EF=MN；
②EN//MF；
③若▱ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；
④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形；
其中，所有正确的有______.(填写序号)
三、解答题：本题共11小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)( 3+1)( 3−1)+ 18；
(2)已知x= 5+1，求代数式x2−2x+1的值．
18.(本小题5分)
已知：如图1，△ABC为锐角三角形，AB=AC．
求作：菱形ABDC．
作法：如图2．
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；
③以点O为圆心，以OA长为半径作弧，与射线AE交于点D，点D和点A分别位于BC的两侧，连接CD，BD；
则四边形ABDC就是所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：由作法可知，AE平分∠CAB．
∵AB=AC，
∴CO=______．
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形(______)(填推理的依据)．
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形(______)(填推理的依据)．
19.(本小题5分)
在本学期小组PK活动中，在平行四边形中添加线段，得到相应的基本图形，其中有一个小组画出的图形如图：
▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE=DF，连结AF，CE．
求证：AF=CE．
20.(本小题6分)
平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x+b与直线l2：y=12x交于点P(2,m)．
(1)求m，b的值；
(2)直线x=n(n>0)与直线l1，l2分别交于M，N两点，当MN=6时，若以M、N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
21.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)连接CF，若CE=1，CF=2，AB= 5，求菱形ABEF的面积．
22.(本小题6分)
有这样一个问题：探究函数y=2x+1x2的图象，并利用图象解决问题．小泽根据学习函数的经验，对函数y=2x+1x2的图象进行了探究．下面是小泽的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=2x+1x2的自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．
其中m的值为______；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)结合函数图象，解决问题：当2x+1x2=4时，x的值约为______．
23.(本小题6分)
下表是一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中x与y的两组对应值．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)已知直线y=ax+1，当x<3时，对于x的每一个值，都有ax+1>kx+b，直接写出a的取值范围．
24.(本小题8分)
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，
M=a+b2称为a，b这两个数的算术平均数，
N= ab称为a，b这两个数的几何平均数，
P= a2+b22称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若a=−1，b=−3，则M= ______，N= ______，P= ______；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系.结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示P2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，N2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：______(把M，N，P从小到大排列，并用“<”或“≤”号连接)．
③当a+b=4时，N的最大值是______．
25.(本小题8分)
点E在正方形ABCD的AD边上(不与点A，D重合)，点D关于直线CE的对称点为F，作射线DF交CE交于点M，连接BF．
(1)求证：∠ADF=∠DCE；
(2)过点A作AH//BF交射线DF于点H．
①求∠HFB的度数；
②用等式表示线段AH与DF之间的数量关系，并证明．
26.(本小题5分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=(m+n 2)2，(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2mn 2，∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+b 5=(m+n 5)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ______，b= ______．
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：______+ ______ 5=(______+ ______ 5)2．
(3)若a+6 5=(m+n 5)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
27.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P与▱ABCD，给出如下的定义：
将过点P的直线记为lP，若直线lP与▱ABCD有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线lP与▱ABCD的“穿越距离”，记作d(lP，▱ABCD)．
例如，已知过点O的直线lO：y=x与▱HIJK，其中H(−2,−1)，I(1,−1)，J(2,1)，K(−1,1)，如图1所示，则d(lO，▱HIJK)=2 2．
请解决下面的问题：
已知▱ABCD，其中A(1,1)，B(4,1)，C(t,4)，D(t−3,4)．
(1)当t=4时，已知M(2,3)，lM为过点M的直线y=kx+b．
①当k=0时，d(lM，▱ABCD)= ______；
当k=1时，d(lM，▱ABCD)= ______；
②若d(lM,▱ABCD)= 10，结合图象，求k的值；
(2)已知N(2,0)，lN为过点N的直线，若d(lN，▱ABCD)有最大值，且最大值为3 5，直接写出t的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.C
6.A
7.D
8.A
9.x⩾2
10.D
11.2
12. 3
13.±1
14.5
15.154
16.②、④
17.解：(1)原式=( 3)2−12+3 2
=3−1+3 2
=2+3 2；
(2)原式=(x−1)2，
当x= 5+1时，原式=( 5+1−1)2=5．
18.(1)解：如图，四边形ABDC即为所求．
(2)证明：由作法可知，AE平分∠CAB．
∵AB=AC，
∴CO=OB，．
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)(填推理的依据)．
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)．
19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，
在△ADF和△CBE中，
AD=BC∠D=∠BBE=DF，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AF=CE．
20.解：(1)将P(2,m)代入y=12x得m=1，
∴点P坐标为(2,1)，
再将(2,1)代入y=2x+b得1=4+b，
解得b=−3，
∴m=1，b=−3；
(2)由(1)知：直线l1为y=2x−3，
∴x=n时，MN=|2n−3−12n|，
∴|2n−3−12n|=6，
解得n=6或n=−2(由已知n>0，舍去)，
∴M(6,9)，N(6,3)，
以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，如图：

当MN为对角线时，将线段PN相上平移2个单位，再向右平移4个单位，可得Q1(10,11)，
当MN、PN为边时，将线段MN向左平移4个单位，再向下平移2个单位，可得Q2(2,7)，
当MN为边，PN为对角线时，将MN向左移动4，向下平移6个单位，再向下平移2个单位，可得Q3(2,−5)；
综上所述，以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则Q的坐标为：(10,11)或(2,7)或(2,−5)．
21.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAF=∠EAB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=∠FBE，∠AFB=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
(2)连接CF，
CE=1，CF=2，AB= 5，
∵AB=EF= 5，
CE2+CF2=EF2，
∴∠FCE=90°，FC⊥CE，
∴菱形ABEF的面积= 5×2=2 5．
22.解：(1)x≠0；
(2)414；
(3)该函数的图象如图所示；
(4)−0.45或0.6或1.8．
23.解：(1)由题知，
−k+b=−4b=−2，
解得k=2b=−2，
所以一次函数的表达式为y=2x−2．
(2)如图所示，

因为当x<3时，对于x的每一个值，都有ax+1>kx+b，
所以在直线x=3的左侧，函数y=ax+1的图象在函数y=2x−2图象的上方，
所以3a+1≥4，
解得a≥1，
所以a的取值范围是a≥1．
24.(1)−2； 3； 5；
(2)①M2=(a+b2)2=14(a+b)2=14(a−b)2+ab，
则用阴影标出一个面积为M2的图形如图1所示：
N2=( ab)2=ab，
用阴影标出一个面积为N2的图形如图2所示：
②N≤M≤P；理由如下：
N2≤M2≤P2，当且仅当a−b=0，即a=b时，等号成立，
∵a，b都是正数，
∴M，N，P都是正数，
∴N≤M≤P，
通过图象同样可得到：N≤M≤P，
③由②知，N≤M，
又∵M=12(a+b)=2，
∴N的最大值为2，
故答案为：2．
25.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵D，F关于CE对称，
∴CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDM=90°，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠ADF=∠DCE；
(2)解：①如图，连接CF．
∵D，F关于CE对称，
∴CD=CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCB=90°，
∴CB=CF=CD，
∴∠CBF=∠CFB，∠CDF=∠CFD，
∵∠CBF+∠BFD+∠CDF+∠BCD=360°，
∴2∠CFB+2∠CFD=270°，
∴∠CFB+∠CFD=135°，
∴∠BFD=135°，
∴∠HFB=180°−∠BFD=45°；
②结论：DF= 2AH．
理由：如图，过点A作AT⊥DH于点T．
∵AH/​/BF，
∴∠AHT=∠HFB=45°，
∵AT⊥TH，
∴AT= 22AH，
在△CMD和△DTA中，
∠CMD=∠DTA=90°∠DCM=∠ADTDC=AD,
∴△CMD≌△DTA(AAS)，
∴DM=AT，
∵D，F关于CE对称，
∴DM=FM，
∴DF=2DM=2AT= 2AH．
26.(1)m2+5n2；2mn；
(2)6；2；1；1(答案不唯一)；
(3)a+6 5=(m+n 5)2=m2+5n2+2 5mn
a=m2+5n2，b=2mn=6，
mn=3，
而a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或者m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=m2+5n2=1+5×32=46；
当m=3，n=1时，a=m2+5n2=32+5×1=14．
综上，a=46或者a=14．
27.(1)① 3，2 2，
②由①知，直线lM为y=kx+3−2k，
如图2，设直线lM与AD交于点F，与BC交于点G，
∴F(1,−k+3)，G(4,2k+3)，
过F作FH⊥BC于H，则FH=3，
∵FG= 10，
∴GH= FG2−FH2=1，
∴2k+3−(−k+3)=1，
∴k=13，
由正方形的对称性可知，k=−13也符合题意，
故k的值为±13；
如图3，设直线lM与CD交于点P，与AB交于点Q，
∴P(1+2kk,4)，Q(2k−2k,1)，
过Q作QN⊥CD于N，则QN=3，
∵PQ= 10，
∴PN= PQ2−QN2=1，
∴1+2kk−2k−2k=1，
解得k=3，
由正方形的对称性可知，k=−3也符合题意，
故k的值为±3；
综上所述，k的值为±13或±3；
(2)如图4，
设直线lN与CD边的交点为P，
作PH⊥AB交AB延长线于H，
由题知PB=3 5，PH=3，
∴BH= PB2−PH2=6，
即P点坐标为(10,4)，
由题知P点在CD上，且不能与C点重合，
∴C点需在P点的右边，即C点的横坐标需大于P点的横坐标，即t>10，D点需在P点的左边或和P点重合，即D点的横坐标需小于等于P点的横坐标，
∴t−3≤10，解得：t≤13，综上所述，t的取值范围是10x
…
−2
−32
−1
−34
−12
12
34
1
32
2
52
…
y
…
−154
−239
−1
518
3
5
5918
3
319
m
12925
…
x
−1
0
y
−4
−2