辽宁省大连市长海县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份辽宁省大连市长海县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试卷
（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，雪花图案是一个旋转图形，可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．下列事件，为必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上B．打开电视，正在播放广告
C．通过交通路口，正好遇到绿灯D．任意一个三角形，其内角和为
5．平面直角坐标系内与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
6．如图，，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．48°B．46°C．42°D．38°
7．如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（ ）
A．B．6C．D．3
8．如图，在的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，，，分别是小正方形的顶点，则扇形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
9．某水产品公司今年10月的营业额为25万元，按计划12月的营业额要达到36万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（ ）
A．B．3C．6D．9
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．方程根的情况是 ．
12．二次函数的最小值是 ．
13．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和是3的倍数的概率为 ．
14．如图，周长为18，，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，则的周长为 ．

15．如图，含30°的三角板ABC，，，，把三角板ABC绕点A旋转，点B、C的对应点分别为、，若的一边与的一边重合（不含与一边的延长线重合的情况），连接，则的值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)解方程：
(2)二次函数经过点，，求二次函数的表达式．
17．为了节约耕地，合理利用土地资源，某村民小组准备利用一块闲置的土地修建一个矩形菜地，其中菜地的一面利用一段的墙，其余三面用长的篱笆围成，要最大限度的利用墙的长度围成一个面积为矩形菜地，矩形菜地的长应为多少？
18．如图，正方形，F为边延长线上一点，把绕点A旋转得到，延长与相交于H点．
求证：．
19．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
20．如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，一次函数经过的中点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将绕点A顺时针旋转，点D的对应点为E，判断E点是否落在双曲线上．
21．已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求的半径．
22．已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接、、，求的面积；
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．【问题初探】
在数学课上，王老师给出了如下问题：如图1，中，，，求线段与的数量关系．
小明同学通过，，两个特殊角构造直角三角形，可以求出线段与的数量关系．请你根据小明的思路解决此问题．
【类比分析】
在上面问题解决后，王老师对问题进一步变式：
如图2，中，，，，求线段的长．
【学以致用】
如图3，在五边形中，，，P为上一点，，，，求五边形的面积．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，观察可得方程左边刚好是完全平方公式的形式，直接通过变形写出平方形式，开平方求解即可，熟练掌握解一元二次方程方法是解题的关键．
【详解】解：
解得：，
故选：．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为直线计算即可得解, 熟记对称轴公式是解题的关键.
【详解】解：
∴对称轴为直线
故选：.
3．C
【分析】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等，根据图形的对称性，用除以6计算即可得解．
【详解】解：
∴旋转角是的整数倍，
∴这个角的度数可以是
故选：．
4．D
【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放广告是随机事件，不符合题意；
C、通过交通路口，正好遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
D、任意一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意；
故选：D．
5．A
【详解】试题分析：根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数可得与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．故选A．
考点：关于原点对称的点的坐标．
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
【详解】解：∵，是的两条半径，点C在上，，
∴，
故选：．
7．A
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定k的值．
【详解】解：∵的面积等于3，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＜0，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．
8．A
【分析】根据题意求出扇形的半径为，，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得扇形的半径为，，
∴扇形的面积为．
故选：A
【点睛】本题为格点问题，考查了勾股定理，扇形面积公式等知识，熟知勾股定理和扇形面积公式是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
【详解】解：根据题意可得：，
故选：．
10．D
【分析】本题考查二次函数的性质， 函数的最值问题等知识，先求得抛物线的对称轴， 根据二次函数图象上点的坐标特征，当 时，函数的最值为和即可得出 即从而求得 表示出函数的最值， 进而得到关于的等式是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数
∴该二次函数的图象的对称轴为直线
∵当时，
，
当时，
，
∴当时，函数的最值为，
和，
∵当时，有最小值7， 最大值11，
∴，即，
∴，
故选：D．
11．有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
12．
【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其顶点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．
【详解】∵二次函数y=x2-2x-3可化为y=（x-1）2-4，
∴最小值是-4．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
13．
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，和是3的倍数的有4种情况，
∴和是3的倍数的概率，
故答案为：．
14．
【分析】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，根据切线长定理得到 ，然后利用三角形的周长和的长求得和的长，从而求得的周长，解题的关键是利用切线长定理求得和的长．
【详解】解：∵圆是的内切圆，圆的切线与相交于点
∴，，，， ，
∵周长为，，
∴，
∴的周长为：
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了图形的旋转，含角的直角三角形，线段的垂直平分线的性质，由旋转可得出, ，再得出即可求解，解题的关键是掌握旋转的定义．
【详解】解: 如图:与重合，
由旋转可知，, ，
在中，,
∴，
∴
又∵，
∴ ，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数表达式，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤是解题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）把，代入，求出m和n的值，即可得出二次函数表达式．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
17．矩形菜地的长应为40米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该矩形菜地平行于墙面的一边长为，则垂直于墙面的一边长为，根据矩形的面积公式，列出方程求解即可．
【详解】解：设该矩形菜地平行于墙面的一边长为，则垂直于墙面的一边长为，
，
解得：，
∵要最大限度的利用墙的长度，
∴，
答：矩形菜地的长应为40米．
18．证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由旋转可得：，结合，从而可得，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵旋转一定角度后得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)，
(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个
(3)个
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有（个），则黑颜色的球有（个）；
（3）设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为，
故答案为：，；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个），
黑颜色的球有（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个；
（3）解：设需要往盒子里再放入个白球，
依题意得，，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入个白球．
20．(1)；
(2)E点在双曲线上，理由见解析．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式质以及旋转的性质等知识，确定点坐标是解题的关键．
（1）设点,点，再根据正方形的性质易求得的值，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据正方形的边长和旋转可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可判断．
【详解】（1）解: 四边形是正方形,
∴，
设点,
∵点是的中点，
∴点，
∴，即，
，即，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函数的表达式，
（2）解：如图：是绕点A顺时针旋转所得，
∴，，
∴点的坐标是，
当时，，
∴点在双曲线上．
21．（1）见解析；（2）的半径为
【分析】（1）证明：连接、，证明△AOD≌△EOD，证得，即可得到结论；
（2）利用△AOD≌△EOD推出∠AOD=∠EOD，由∠B=∠OEB推出∠BEO=∠EOD，得到OD∥BC，求出，再利用勾股定理求出半径.
【详解】（1）证明：连接、，
在和中，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
=∠AOD+∠DOE，
，
，
又，
，
由勾股定理得，，
则的半径为.
【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，切线的判定定理，三角形全等的判定及性质，平行线的判定及性质，勾股定理.
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把、代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式；
（2）先求出点D和点B的坐标，根据两点之间的距离公式，求出，再根据勾股定理逆定理，得出为直角三角形，即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时．
【详解】（1）解：把、代入得：
，
解得：，
∴此二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，此二次函数对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴为直角三角形，
∴；
（3）解：①当时，
∵，此二次函数对称轴为直线，
∴；
②当时，设，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∵在抛物线上，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
③当时，
∵点P在对称轴右边，
∴此情况不存在，
综上：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理逆定理，以及等腰三角形的性质．
23．（1）；（2）;（3）
【分析】（1）过点A作于点D，则,,根据勾股定理可得：,整理为,即可得出结论；
（2）延长,过点C作延长线的垂线，垂足为点E，推出,,设，则，根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）由（2）中结论可得,,构造如图所示矩形,得出,,即可求出,进而得出矩形的长和宽，同理求出,最后根据五边形的面积面积即可求解。
【详解】（1）解：过点A作于点D，
∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
根据勾股定理可得：,
则，
∴,
∴,
整理得：;
（2）解：延长,过点C作延长线的垂线，垂足为点E，
∵，，
∴,
∵,
∴,
∵，
∴,
设，则，
根据勾股定理可得：,
即，
解得：，
∴;
（3）解：如图：中，，，，
过点A作于点F,在上截取,
由（2）可知，，
∵，,
∴,,
∵，，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴，
∴,,
构造如图所示矩形,
∵,,
∴,
由（1）可得:,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴,则，
解得：,
∴，
∴,
∵，,
∴,
则,
∴,,
∴,,
同理可得：,
即，
解得：,
∴五边形的面积面积
.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的特征，等腰直角三角形的特征，矩形的性质，熟练掌握相关性质，正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键。
第一次
第二次
1
2
3
4
1
3
4
5
2
3
右
5
6
3
4
5
右
7
4
5
6
7
右