辽宁省大连市名校联盟2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省大连市名校联盟2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件为随机事件的是（ ）
A．负数大于正数B．三角形内角和等于180°
C．明天太阳从东方升起D购买一张彩票，中奖
3．如图，内接于，，则的度数为（ ）
第3题图
A．B．C．D．
4．如图，在中，，若，则等于（ ）
第4题图
A．B．C．D．
5．判断方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
6．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．12B．24C．D．
7．二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下B．图像的对称轴为直线
C．图象的顶点坐标为D．当时，随的增大而减小
8．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是（ ）
第9题图
A．10B．12C．15D．16
10．如图，，，将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点，则为（ ）
第10题图
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则______．
12．如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是______．
第12题图
13．星海公园的东、西、北三个方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入星海公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，且轴，，，若反比例函数的图象经过线段的中点，则的值为______．
第14题图
15．如图，在矩形中，，对角线相交于点，点在射线上运动，过点作交射线于点，当时，的面积为______．
第15题图
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（每题5分，共10分）
（1）解方程：；
（2）抛物线的顶点坐标为，且经过点．求该拋物线的解析式．
17．（本小题8分）
如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶在同一直线上．已知纸板的两条边，，延长交于点，测得边离地面的高度，求树高．
第17题图
18．（本小题9分）
某校准备组织九年级同学去“发现王国”秋游，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对“发现王国”的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
第18题图
（1）九年级1班共有学生______名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为______；
（2）九年级共有学生600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？
（3）九年级1班在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游策划师”，用画树状图或列表的方法求出抽到的一男一女的概率．
19．（本小题8分）
某网店专门销售某种品牌的产品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
第19题图
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天该产品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
20．（本小题8分）
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．
（参考数据：，，，，，）

第20题图1 第20题图2
（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
21．（本小题8分）
如图，为的外接圆，的角平分线交于点，连接，作交延长线于点，使得．
第21题图
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径．
22．（本小题12分）
【发现问题）】
大连理工大学主楼前广场修建了一个圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．爱思考的小丽建立了如图所示的平面直角坐标系．
【提出问题】
怎样求从喷水头喷出的某条水柱的抛物线解析式呢？
【分析问题】
若喷出的水柱轨迹AB上某一点与水管OA的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．小丽在喷泉安装工人师傅的帮助下，测量记录了下面的表中y与x的五组数据：
【解决问题】
（1）求水柱轨迹所在拋物线的解析式；
（2）求水柱落地点与水管的水平距离；
（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：喷水头的高度不变，调整喷水头的角度，使喷出的水柱轨迹的形状不变，水柱轨迹的喷水半径（动态喷水时，点到的距离）随着音乐的节奏控制在到之间（含和），当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为；当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为，求的值．
第22题图
23．（本小题12分）
【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？
①小明说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；小强说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段的数量关系”．
②小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段的数量关系．

第23题图1 第23题图2
【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．
第23题图3
【学以致用】
（3）如图4，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．
第23题图4
九年级（上）数学期末检测
答案及评分标准
一、选择题
1．B；2．D；3．C；4．A；5．B；6．C；7．D；8．C；9．A；10．C
二、填空题
11．5 12． 13． 14．5 15．20或．
15．解析：当点在线段上时，过点作于点于点，如图1，
第15题图1
四边形为矩形，为中点，
为中点，，同理，
，
，又，
，
四边形为矩形，，
的面积为；
当点在线段的延长线上时，过点作于点于点，如图2，
第15题图2
此时，同理，
，
的面积为．
三、解答题
16．解：（1），
，
方程有两个不等的实数根，
，
即；
（2）抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为，
代入点得，解得，
该抛物线的解析式为．
17．解：，
，
，即，解得，
．
答：树高为10.5米．
18．解：（1）九年级1班共有学生为：（名），
扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为；
（2）类的人数有：（人），
估计九年级学生选择类大约有（人），
答：估计九年级学生选择类的大约有90人；
（3）画树状图如下：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即：
男男，男女，男女，男男，男女，男女，女男，女男，女女，女男，女男，女女，这些结果出现的可能性相等，
其中一男一女的结果有8种，即：
男女，男女，男女，男女，女男，女男，女男，女男，
（抽到的一男一女）．
19．解：（1）设，
将代入，得：，
解得：，则；
（2）设每天获取的利润为，
则
，
又，
，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
20．解：（1）如图，过作于，
第20题图
在中，，
米，，
米．
答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；
（2）四边形为矩形，
米，
米，米，
在中，，
米，
又在中，，
米，，
米．
米．
米，
答：水平横管的长度约为0.5米．
21．（1）证明：连接，则，
，
，
，
是的半径，为的切线；
第21题图
（2）解：设交于点，
的角平分线交于点，
垂直平分，
，
在中，，
，
，
在中，，
解得的半径长为．
22．解：（1）抛物线过点设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，；
（2）在中，令，则，
（舍），
水柱落地点与水管的水平距离为米．
（3）抛物线的形状不变，喷水头的高度不变，抛物线过，
设调整后抛物线的解析式为，
代入，解得，
代入，解得，
，
抛物线的顶点纵坐标为，
．
23．解：（1）在上截取，连接．如图1，．
是等边三角形，．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，即．
在和中，，．
．．
．

第23题图1 第23题图2
（2）证明：在上截取，连接．如图2，．
是等边三角形，．线段绕点逆时针旋转得到线段．，即
在和中，，．
又为等边三角形．
．
（3）解：连接，如图3．线段绕点逆时针旋转得到线段．
是等边三角形．，
为中点，．
在中，于．
．
又，
即，
．
在上截取，由（1）得是等边三角形．．
．
过作于．
．
．
四边形的面积．
第23题图30
2
4
10
2