2023-2024学年北京市石景山区首都师大附属苹果园中学分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市石景山区首都师大附属苹果园中学分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共6页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．若2x＝3y（y≠0），则下列比例式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知反比例函数的图象经过点A（2，3），则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）
4．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则EC的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
5．二次函数y＝x2﹣2x，若点A（﹣1，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定
6．若要得到函数y＝（x﹣1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
7．如图，函数y1＝x+1与函数的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是 ．
10．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式： ．
11．写出一个当自变量x＞0时，y随x的增大而减小的反比例函数的表达式 ．
12．二次函数y＝x2﹣4x+5的对称轴是 ．
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么ac 0．（填“＞”，“＝”，或“＜”）
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝ ．
15．如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 ．
16．如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且AD•AB＝AE•AC，求证：△ADE∽△ACB．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果AC＝4，BC＝3，求BD的长．
19．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出二次函数图象；
（3）当y＞﹣2时，直接写出x的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝2x+8与抛物线相交于点A和点B（点A的横坐标小于点B的横坐标）．
（1）求交点A和点B的坐标；
（2）求当﹣1≤x≤3时，y2的最大值；
（3）直接写出2x+8＞x2的解集．
21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0），经过点B（1，4），C（﹣2，1）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy中，双曲线过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．
（1）k的值是 ；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，直接写出t的取值范围．
23．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m+1．
（1）此二次函数的对称轴是 （用含m的字母表示）；
（2）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围；
（3）选取一个你喜欢的m值，求此二次函数图象与x轴的交点．
24．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝15m，BP＝2m，PD＝6m，则该古城墙CD的高是？
25．抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中．如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点E到点A的距离AE＝x（单位：m），点E到桥拱顶面的竖直直距离EF＝y（单位：m）．x、y近似满足函数关系y＝ax2+bx（a＜0）．通过取点，得到x与y的几组对应值，如表：
（1）桥拱顶面离水面AB的最大高度为 m；
（2）根据上述数据，求出满足的函数关系y＝ax2+bx和水面宽度AB的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t，
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），，（3，y3）在该抛物线上．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．
（1）求证：∠FAB＝∠BCF；
（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图．
（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为 ；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线y＝x+b上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值；
（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．
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