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2023年北京市石景山区首都师大苹果园分校中考数学统练试卷（一）（含解析）
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这是一份2023年北京市石景山区首都师大苹果园分校中考数学统练试卷（一）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市石景山区首都师大苹果园分校中考数学统练试卷（一）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是( )
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
2. 若 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≥1 B. x≤1 C. x<1 D. x≠1
3. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|=|b|，则下列结论中错误的是( )
A. a+b>0 B. a+c>0 C. b+c>0 D. ac<0
4. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A. 45° B. 60° C. 72° D. 90°
5. 港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．其中海底隧道是由33个巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76000吨．将数76000用科学记数法表示为( )
A. 7.6×104 B. 76×103 C. 0.76×105 D. 7.6×105
6. 如果a2+3a+1=0，那么代数式(a2+9a+6)⋅2a2a+3的值为( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
7. 下面的统计图反映了我国出租车(旅游出租车和网约出租车)客运量结构变化．
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是( )
A. 2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上
B. 2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%
C. 2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化
D. 2015年至2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加
8. 如图1，一辆汽车从点M外进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度(千米/时)与行驶路程(米)之间的关系，根据图2，这辆车的行车路线最有可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若分式x2x−1的值为0，则x的值等于 ．
10. 分解因式：ma2−4mab+4mb2= ______ ．
11. 用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，这组值可以是a=______，b=______．
12. 4月23日是世界读书日.甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1本，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为______ ．
13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数(n)
“出现点数为1”的次数(频数(m)
频率mn
300
52
0.173
400
65
0.163
500
80
0.160
600
99
0.165
700
114
0.163
800
136
0.170
900
151
0.168
1000
166
0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为______.(精确到0.001)
14. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，DE⊥AC于点E，则AE=______．
15. 若关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+c=0有两个相等的实数根，则c的最小值是______．
16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
收费出口编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
通过小客车数量(量)
260
330
300
360
240
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 ．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17. 计算：|−5|+ 12−2sin60∘−(2019−π)0．
18. 解不等式组：4(2x−1)<3x+13x−85
19. (本小题5.0分)
下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：⊙O．
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．
作法：如图，
①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
④连接AB，BC，CD，DA．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA=OC．
同理OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°( )(填推理的依据)．
∴四边形ABCD是矩形．
∵AB= =BO，
∴∠AOB=60°．
∴四边形ABCD是所求作的矩形．
20. (本小题5.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当c=b−2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根．
21. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．
(1)求证：四边形DFCE是菱形；
(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当x<−3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．
23. (本小题6.0分)
如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体(看成一点)的路径是一条抛物线．
现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．
d(米)
…
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
…
h(米)
…
3.40
4.15
4.60
4.75
4.60
4.15
…
请你解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
(3)求起跳点A距离地面的高度；
(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？
24. (本小题6.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
(1)求证：AE=AF；
(2)若AE=5，AC=4，求BE的长．
25. (本小题6.0分)
某校计划更换校服款式，为调研学生对A，B两款校服的满意度，随机抽取了20名同学试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分(满分均为20分)，并按照1：1：1的比计算综合评分．将数据(评分)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.A，B两款校服各项评分的平均数(精确到0.1)如下：
款式
舒适性评分平均数
性价比评分平均数
时尚性评分平均数
综合评分平均数
A
19.5
19.6
10.2
B
19.2
18.5
10.4
16.0
b.不同评分对应的满意度如下表：
评分
0≤x<5
5≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
满意度
不满意
基本满意
满意
非常满意
c.A，B两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图：
d.B校服时尚性评分在10≤x<15这一组的是：10 11 12 12 14
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在此次调研中，
①A校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：______(填“是”或“否”)；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为______；
(2)在此次调研中，B校服时尚性评分的中位数为______；
(3)在此次调研中，记A校服时尚性评分高于其平均数的人数为m，B校服时尚性评分高于其平均数的人数为n.比较m，n的大小，并说明理由．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)在抛物线y=x2−2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式(用含a的式子表示)；
(2)当m=0时，若y1=y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
(3)若存在大于1的实数m，使y1>y2>y3，求a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB(点B′与点B在直线AC的异侧)点D是射线CB′上一动点(不与点C重合)，点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；(用含a的式子表示)
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．
(1)已知A(3,0)．
①在点P1(1,3)，P2(2,6)，P3(−5,1)，P4(3,−6)中，是线段OA的“等幂点”的是______ ；
②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分.若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：观察图形，张开的两脚所形成的角大约是60°，
故选：B．
观察图形，直接判断结果．
本题考查了角的概念，正确的识别图形是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可知：x−1≥0，
解得x≥1．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：∵|a|=|b|，
∴原点在a，b的中间，
如图，
由图可得：|a|<|c|，a+c>0，b+c>0，ac<0，a+b=0，
故选项A错误，
故选：A．
根据|a|=|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角=360°÷5=72°．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：数据76000用科学记数法表示为7.6×104．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】D
【解析】解：(a2+9a+6)⋅2a2a+3
=a2+9+6aa⋅2a2a+3
=(a+3)2a⋅2a2a+3
=2a(a+3)
=2(a2+3a)，
∵a2+3a+1=0，
∴a2+3a=−1，
∴原式=2×(−1)=−2，
故选：D．
根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】
解：A.2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了200−157157×100％≈27.38％，增加20%以上，故选项A正确，
B.2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例超过60%，故选项B错误，
C.2015年至2018年，我国出租车客运的总量发生了变化，故选项C错误，
D.2015年至2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年减少，故选项D错误，
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：A.行车路线为直线，则速度一直不变，排除；
B.进入辅路后向右转弯，速度减小然后变大，排除；
C.向前行驶然后拐了两次弯再掉头行驶，中间速度应该有两次变大变小的波动，排除；
D.向前行驶拐了个较大的弯再进入直路行驶，满足图2的速度变化情况．
故选：D．
由图2可得，行车速度在途中迅速减小并稳定了100多米然后又迅速提升，说明应该是进行一次性的拐弯，再对4个选项进行排除选择即可．
本题考查了函数图象的应用，正确理解函数图象的自变量和函数关系并对照实际问题进行分析是解题关键．
9.【答案】0
【解析】解：根据题意，得x=0且2x−1≠0．
解得x=0．
故答案是：0．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10.【答案】m(a−2b)2
【解析】解：原式=m(a2−2ab+4b2)=m(a−2b)2．
故答案为：m(a−2b)2．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】−1 −2
【解析】解：当a=−1，b=−2时，满足a>b，但是a2
故答案为：−1、−2.(答案不唯一)
举出一个反例：a=−1，b=−2，说明命题“若a>b，则a2>b2”是错误的即可．
此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12.【答案】x+y=22x=2y+1
【解析】解：根据题意得到：x+y=22x=2y+1．
故答案是：x+y=22x=2y+1．
设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，根据“甲同学购买图书+乙同学购买图书=22、甲同学购买图书=2乙同学购买图书+1”列出方程组．
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
13.【答案】0.166
【解析】解：根据图表中数据可得出，“出现点数为1”的概率的估计值是0.166．
故答案为：0.166．
利用频率估计概率的方法得出概率的估计值．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率的区别与联系是解题关键．
14.【答案】95
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，
在Rt△ADC中，AC= 32+42=5，
∵12DE⋅AC=12AD⋅CD，
∴DE=3×45=125，
在Rt△ADE中，AE= 32−(125)2=95．
故答案为95．
利用矩形的性质得到∠ADC=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，利用勾股定理计算出AC=5，利用面积法计算出DE=125，然后利用勾股定理计算AE的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理．
15.【答案】0
【解析】解：∵方程x2+2(m+1)x+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4(m+1)2−4c=0，
∴(m+1)2=c，
∵(m+1)2≥0，
∴c的最小值是0．
故答案为：0．
由方程有两个相等的实数根可得出Δ=4(m+1)2−4c=0，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：∵330−260=70，330−300=30，360−300=60，360−240=120，260−240=20，
∴C>A，B>D，E>C，D>A，B>E，
由B>D和D>A得B>A，
由E>C和B>E得B>C，
∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，
故答案为：B．
根据表中数据两两相比较即可得到结论，
本题考查了不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键．
17.【答案】解：原式=5+2 3−2× 32−1
=5+2 3− 3−1
=4+ 3．
【解析】先分别计算绝对值、二次根式、锐角三角函数值、零指数幂，然后算加减法．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、二次根式、锐角三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
18.【答案】解：4(2x−1)<3x+1①3x−85
解不等式②得：x>−4，
所以不等式组的解集为：−4
此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19.【答案】直径所对的圆周角等于90° AO
【解析】解：(1)如下图：矩形ABCD即为所求；
(2)证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA=OC．
同理OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°(直径所对的圆周角等于90°)，
∴四边形ABCD是矩形．
∵AB=AO=BO，
∴∠AOB=60°．
∴四边形ABCD是所求作的矩形，
故答案为：直径所对的圆周角等于90°，OA．
(1)根据题中的作法步骤画图；
(2)先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形“证明平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，最后再根据“等边三角形的内角为60°”进行证明．
本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理和矩形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵c=b−2，
∴△=b2−4c=b2−4(b−2)=(b−2)2+4，
∵(b−2)2≥0，
∴△=(b−2)2+4>0．
∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2−4c=0，
若b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=−1．
【解析】(1)计算判别式的值得到△=(b−2)2+4，则可判断△>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
(2)利用方程有两个相等的实数根得到△=b2−4c=0，设b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可(答案不唯一)．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
21.【答案】(1)证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE//CF，DE=12BC，DF//CE，DF=12AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴四边形DFCE是菱形；
(2)过E作EG⊥BC于G，
∵AC=BC，∠A=75°，
∴∠B=∠A=75°，
∴∠C=30°，
∴EG=12CE=14AC=1，
∴菱形DFCE的面积=2×1=2．
【解析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
(1)根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
(2)过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．
22.【答案】解：(1)对于y=k(x−1)+6，当x=1时，y=6，
则一次函数y=k(x−1)+6的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点坐标为(1,6)，
∴m=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x；
(2)解方程组y=k(x−1)+6y=6x，得x1=1y1=6，x2=−6ky2=−k，
由题意得：−6k≥−3，
解得：k≥2，
则k的取值范围是k≥2．
【解析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
(2)解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
23.【答案】解：(1)建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接，如图：
(2)结合表中所给的数据或所画的图象可知：
当d=2.50时，h取得最大值4.75，
即演员身体距离地面的最大高度为4.75米；
(3)结合表中所给的数据或所画的图象可知：
此抛物线的对称轴是d=2.50，顶点坐标为(2.50,4.75)，
∴设此抛物线为
h=a(d−2.50)2+4.75(a≠0)，
把(1.00,3.40)代入，得：
3.40=a(1.00−2.50)2+4.75，
解得：a=−0.60，
∴此抛物线为h=−0.60(d−2.50)2+4.75，
当d=0时，h=−0.60×(0−2.50)2+4.75=1.00，
即起跳点A距离地面的高度为1.00米；
(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米，
由已知表格中的对应数据可知：d=3.00时，h=4.60≠3.40，
∴此次表演不成功，
当h=3.40时，
3.40=−0.60(d−2.50)2+4.75，
解得：d1=1.00，d2=4.00，
∴要调节人梯到起跳点A的水平距离为1.00米或4.00米才能成功．
【解析】本题考查二次函数的应用，关键是根据数据求出函数解析式．
(1)建立适当坐标系，用描点、连线做出函数图象；
(2)结合表中数据和函数图象直接得出结论；
(3)先用待定系数法求出函数解析式，再令d=0，即可得出结论；
(4)先把d=3时代入函数解析式求出h=4.60≠3.40，得出此次表演不成功；再把h=3.4代入函数解析式求出d的值即可．
24.【答案】 (1)证明：连接OD，
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD//AC，
∴∠ODE=∠F，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED=∠F，
∴AE=AF；
(2)解：∵OD//AC
∴△BOD∽△BAC，
∴OBAB=ODAC，
∵AE=5，AC=4，
∴OE=OA=OD=2.5，
∴BE+2.5BE+5=2.54，
∴BE=53．
【解析】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD//AC，根据平行线的性质得出∠ODE=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，等量代换得到∠OED=∠F，于是得到结论；
(2)根据OD//AC得△BOD∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
25.【答案】解：(1)①A校服综合评分平均数为：19.5+19.6+10.23≈16.4，
∵“非常满意”是15≤x≤20，
∴达到“非常满意”，
故答案为：是；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：20×15%=3(人)，
故答案为：3人；
(2)由题意得，B校服时尚性评分中，不满意人数：20×35%=7(人)，基本满意人数：20×10%=2(人)，满意人数：20×25%=5(人)，非常满意人数：20×30%=6(人)，
中位数是10和11位的中位数，是10≤x<15中的前两位，即10+112=10.5，
故答案为：10.5；
(3)m
由扇形图可知，20人中对A校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是20×45%=9(人)，
∴m≤9，
B校服时尚性评分时尚性评分平均数为10.4，小于中位数10.5，
∴n=10，
∴m
(1)①求出A校服综合评分平均数，根据题意比较大小，得出结论；
②根据扇形图计算；
(2)根据中位数的概念解答即可；
(3)根据A校服时尚性评分的平均数为10.2，B校服时尚性评分时尚性评分平均数为10.4，分别求出m、n，证明结论．
26.【答案】解：(1)∵y=x2−2ax+1，
∴抛物线对称轴为直线x=−−2a2=a．
(2)∵m=0，y1=y3，
∴(−2,y1)，(2,y3)关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线关于y轴对称，即a=0，
∴y=x2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(0,1)，
∴y2=1为函数最小值，
∴y1>y2；
(3)将(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)代入y=x2−2ax+1，
得y1=m2−4m−2am+4a+5，
y2=m2−2am+1，
y3=m2−4m+2am−4a+5，
∵y1>y2>y3，
∴m2−4m−2am+4a+5>m2−2am+1>m2−4m+2am−4a+5，
解得m−1
∴0
(1)由对称轴为直线x=−b2a求解．
(2)由抛物线的对称性及m=0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．
(3)分别将(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)，解不等式组．
27.【答案】解：(1)互相垂直；12a；
(2)①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC=2∠DAE，
证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，如图：
则∠AMC=∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACB′=90°，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
即∠DAE+∠ACB′=90°，
∴∠DAE=∠CAN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
∠ANC=∠AMC ∠ACN=∠ACM AC=AC ，
∴△ACN≌△ACM(AAS)，
∴∠CAN=∠CAM，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠CAN=2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE=CD+DE，
证明如下：
在BC上截取BF=CD，连接AF，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB′=∠ACB，
∴∠B=∠ACB′=∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
AB=AC ∠B=∠ACD BF=CD ，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE=∠CAD+∠CAE=∠DAE，
由①知：∠BAC=2∠DAE，
即∠DAE=12∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE=12∠BAC，
∴∠FAE=∠BAC−(∠BAF+∠CAE)=12∠BAC，
∴∠FAE=∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
AF=AD ∠FAE=∠DAE AE=AE ，
∴△FAE≌△DAE (SAS)，
∴FE=DE，
∴BE=FE+BF=CD+DE．
【解析】
解：(1)当点E与点C重合时，∠DAE=∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′，
即AD与CB′的位置关系是互相垂直，
若BC=a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：
则∠AMC=90°=∠ADC，
∵AB=AC，
∴CM=BM=12BC=12a，
在△ACD与△ACM中，
∠ADC=∠AMC ∠ACD=∠ACM AC=AC ，
∴△ACD≌△ACM(AAS)，
∴CD=CM=12a，
即CD的长为12a，
故答案为：互相垂直；12a；
(2)见答案；
【分析】
(1)根据三角形内角和定理可得AD与CB′的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM=BM=12BC=12a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD=CM=12a；
(2)当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，利用AAS证明△ACN≌△ACM(AAS)，根据全等三角形性质即可得到∠BAC=2∠DAE；
②在BC上截取BF=CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF=AD，∠BAF=∠CAD，根据角的和差得到∠FAE=∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE=CD+DE．
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)①P2，P4；
②若OB=AB，△OAB为OA的等幂三角形，则yB=±6，
∴B(1.5,6)或B(1.5,−6)；
若OA=OB=3，△OAB为OA的等幂三角形，则yB=±6，即OB=6，显然不成立；
若OA=AB=3，△OAB为OA的等幂三角形，则yB=±6，显然不成立；
∴B(1.5,6)或B(1.5,−6)；
(2)3− 22
∵P1(1,3)，P2(2,6)，P3(−5,1)，P4(3,−6)，
∴S△OAP1=12×3×3=92，S△OAP2=12×3×6=9，
S△OAP3=12×3×1=32，S△OAP4=12×3×6=9，
∴是线段OA的“等幂点”的是P2，P4；
②见答案；
(2)如图，第一个临界点，当点E1和E2在⊙T上，等幂三角形刚好是直角三角形，E1(1,2)，E2(−1,0)，E1E2平行于直线y=x−3，过点E1，E2作直线的垂线D1，D2，设CD1=a，D1E1=2a，在Rt△E1D1C中，CD12+D1E12=CE12，
即a2+(2a)2=( 10)2，解得a= 2，则CD1= 2，根据对称性可知CD2= 2．
作CM//x轴，D1M//y轴，则∠D1CM=45°，
易求得CM= 22CD1=1，从而求得xD1=xM=3，同理可得，xD2=1．
如图2，第一个临界点，E3E4平行于直线y=x−3，与相切于点E5，等幂三角形刚好是直角三角形，CE5=2+ 2，
则E3E5=12CE5=2+ 22，所以CD3=E3E5=2+ 22，则xD3=xC+ 22CD3=5+ 22，同理可得xD4=3− 22，
结合图象可知，3− 22
(1)①分别计算出对应三角形的面积，和OA2进行比较，若相等即为线段OA的等幂点；
②若△OAB既是线段OA的“等幂三角形”，又是等腰三角形，需要分类讨论，当若OB=AB，OA=OB=3，OA=AB=3时，分别求点B的坐标；
(2)先找到使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形的点E，再根据题目中的条件求出点D的横坐标的取值范围即可．
本题属于新定义类问题，并在平面直角坐标系的背景下考查三角形的面积问题；理解给出的定义“等幂三角形”是解题关键．
2023年北京市石景山区首都师大苹果园分校中考数学统练试卷（一）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是( )
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
2. 若 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≥1 B. x≤1 C. x<1 D. x≠1
3. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|=|b|，则下列结论中错误的是( )
A. a+b>0 B. a+c>0 C. b+c>0 D. ac<0
4. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A. 45° B. 60° C. 72° D. 90°
5. 港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．其中海底隧道是由33个巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76000吨．将数76000用科学记数法表示为( )
A. 7.6×104 B. 76×103 C. 0.76×105 D. 7.6×105
6. 如果a2+3a+1=0，那么代数式(a2+9a+6)⋅2a2a+3的值为( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
7. 下面的统计图反映了我国出租车(旅游出租车和网约出租车)客运量结构变化．
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是( )
A. 2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上
B. 2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%
C. 2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化
D. 2015年至2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加
8. 如图1，一辆汽车从点M外进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度(千米/时)与行驶路程(米)之间的关系，根据图2，这辆车的行车路线最有可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若分式x2x−1的值为0，则x的值等于 ．
10. 分解因式：ma2−4mab+4mb2= ______ ．
11. 用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，这组值可以是a=______，b=______．
12. 4月23日是世界读书日.甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1本，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为______ ．
13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数(n)
“出现点数为1”的次数(频数(m)
频率mn
300
52
0.173
400
65
0.163
500
80
0.160
600
99
0.165
700
114
0.163
800
136
0.170
900
151
0.168
1000
166
0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为______.(精确到0.001)
14. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，DE⊥AC于点E，则AE=______．
15. 若关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+c=0有两个相等的实数根，则c的最小值是______．
16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
收费出口编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
通过小客车数量(量)
260
330
300
360
240
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 ．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17. 计算：|−5|+ 12−2sin60∘−(2019−π)0．
18. 解不等式组：4(2x−1)<3x+13x−85
19. (本小题5.0分)
下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：⊙O．
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．
作法：如图，
①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
④连接AB，BC，CD，DA．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA=OC．
同理OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°( )(填推理的依据)．
∴四边形ABCD是矩形．
∵AB= =BO，
∴∠AOB=60°．
∴四边形ABCD是所求作的矩形．
20. (本小题5.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当c=b−2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根．
21. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．
(1)求证：四边形DFCE是菱形；
(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当x<−3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．
23. (本小题6.0分)
如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体(看成一点)的路径是一条抛物线．
现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．
d(米)
…
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
…
h(米)
…
3.40
4.15
4.60
4.75
4.60
4.15
…
请你解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
(3)求起跳点A距离地面的高度；
(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？
24. (本小题6.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
(1)求证：AE=AF；
(2)若AE=5，AC=4，求BE的长．
25. (本小题6.0分)
某校计划更换校服款式，为调研学生对A，B两款校服的满意度，随机抽取了20名同学试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分(满分均为20分)，并按照1：1：1的比计算综合评分．将数据(评分)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.A，B两款校服各项评分的平均数(精确到0.1)如下：
款式
舒适性评分平均数
性价比评分平均数
时尚性评分平均数
综合评分平均数
A
19.5
19.6
10.2
B
19.2
18.5
10.4
16.0
b.不同评分对应的满意度如下表：
评分
0≤x<5
5≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
满意度
不满意
基本满意
满意
非常满意
c.A，B两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图：
d.B校服时尚性评分在10≤x<15这一组的是：10 11 12 12 14
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在此次调研中，
①A校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：______(填“是”或“否”)；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为______；
(2)在此次调研中，B校服时尚性评分的中位数为______；
(3)在此次调研中，记A校服时尚性评分高于其平均数的人数为m，B校服时尚性评分高于其平均数的人数为n.比较m，n的大小，并说明理由．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)在抛物线y=x2−2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式(用含a的式子表示)；
(2)当m=0时，若y1=y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
(3)若存在大于1的实数m，使y1>y2>y3，求a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB(点B′与点B在直线AC的异侧)点D是射线CB′上一动点(不与点C重合)，点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；(用含a的式子表示)
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．
(1)已知A(3,0)．
①在点P1(1,3)，P2(2,6)，P3(−5,1)，P4(3,−6)中，是线段OA的“等幂点”的是______ ；
②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分.若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：观察图形，张开的两脚所形成的角大约是60°，
故选：B．
观察图形，直接判断结果．
本题考查了角的概念，正确的识别图形是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可知：x−1≥0，
解得x≥1．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：∵|a|=|b|，
∴原点在a，b的中间，
如图，
由图可得：|a|<|c|，a+c>0，b+c>0，ac<0，a+b=0，
故选项A错误，
故选：A．
根据|a|=|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角=360°÷5=72°．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：数据76000用科学记数法表示为7.6×104．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】D
【解析】解：(a2+9a+6)⋅2a2a+3
=a2+9+6aa⋅2a2a+3
=(a+3)2a⋅2a2a+3
=2a(a+3)
=2(a2+3a)，
∵a2+3a+1=0，
∴a2+3a=−1，
∴原式=2×(−1)=−2，
故选：D．
根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】
解：A.2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了200−157157×100％≈27.38％，增加20%以上，故选项A正确，
B.2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例超过60%，故选项B错误，
C.2015年至2018年，我国出租车客运的总量发生了变化，故选项C错误，
D.2015年至2018年，我国旅游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年减少，故选项D错误，
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：A.行车路线为直线，则速度一直不变，排除；
B.进入辅路后向右转弯，速度减小然后变大，排除；
C.向前行驶然后拐了两次弯再掉头行驶，中间速度应该有两次变大变小的波动，排除；
D.向前行驶拐了个较大的弯再进入直路行驶，满足图2的速度变化情况．
故选：D．
由图2可得，行车速度在途中迅速减小并稳定了100多米然后又迅速提升，说明应该是进行一次性的拐弯，再对4个选项进行排除选择即可．
本题考查了函数图象的应用，正确理解函数图象的自变量和函数关系并对照实际问题进行分析是解题关键．
9.【答案】0
【解析】解：根据题意，得x=0且2x−1≠0．
解得x=0．
故答案是：0．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10.【答案】m(a−2b)2
【解析】解：原式=m(a2−2ab+4b2)=m(a−2b)2．
故答案为：m(a−2b)2．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】−1 −2
【解析】解：当a=−1，b=−2时，满足a>b，但是a2
故答案为：−1、−2.(答案不唯一)
举出一个反例：a=−1，b=−2，说明命题“若a>b，则a2>b2”是错误的即可．
此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12.【答案】x+y=22x=2y+1
【解析】解：根据题意得到：x+y=22x=2y+1．
故答案是：x+y=22x=2y+1．
设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，根据“甲同学购买图书+乙同学购买图书=22、甲同学购买图书=2乙同学购买图书+1”列出方程组．
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
13.【答案】0.166
【解析】解：根据图表中数据可得出，“出现点数为1”的概率的估计值是0.166．
故答案为：0.166．
利用频率估计概率的方法得出概率的估计值．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率的区别与联系是解题关键．
14.【答案】95
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，
在Rt△ADC中，AC= 32+42=5，
∵12DE⋅AC=12AD⋅CD，
∴DE=3×45=125，
在Rt△ADE中，AE= 32−(125)2=95．
故答案为95．
利用矩形的性质得到∠ADC=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，利用勾股定理计算出AC=5，利用面积法计算出DE=125，然后利用勾股定理计算AE的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理．
15.【答案】0
【解析】解：∵方程x2+2(m+1)x+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4(m+1)2−4c=0，
∴(m+1)2=c，
∵(m+1)2≥0，
∴c的最小值是0．
故答案为：0．
由方程有两个相等的实数根可得出Δ=4(m+1)2−4c=0，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：∵330−260=70，330−300=30，360−300=60，360−240=120，260−240=20，
∴C>A，B>D，E>C，D>A，B>E，
由B>D和D>A得B>A，
由E>C和B>E得B>C，
∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，
故答案为：B．
根据表中数据两两相比较即可得到结论，
本题考查了不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键．
17.【答案】解：原式=5+2 3−2× 32−1
=5+2 3− 3−1
=4+ 3．
【解析】先分别计算绝对值、二次根式、锐角三角函数值、零指数幂，然后算加减法．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、二次根式、锐角三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
18.【答案】解：4(2x−1)<3x+1①3x−85
解不等式②得：x>−4，
所以不等式组的解集为：−4
此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19.【答案】直径所对的圆周角等于90° AO
【解析】解：(1)如下图：矩形ABCD即为所求；
(2)证明：∵点A，C都在⊙O上，
∴OA=OC．
同理OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°(直径所对的圆周角等于90°)，
∴四边形ABCD是矩形．
∵AB=AO=BO，
∴∠AOB=60°．
∴四边形ABCD是所求作的矩形，
故答案为：直径所对的圆周角等于90°，OA．
(1)根据题中的作法步骤画图；
(2)先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形“证明平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，最后再根据“等边三角形的内角为60°”进行证明．
本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理和矩形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵c=b−2，
∴△=b2−4c=b2−4(b−2)=(b−2)2+4，
∵(b−2)2≥0，
∴△=(b−2)2+4>0．
∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2−4c=0，
若b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=−1．
【解析】(1)计算判别式的值得到△=(b−2)2+4，则可判断△>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
(2)利用方程有两个相等的实数根得到△=b2−4c=0，设b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可(答案不唯一)．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
21.【答案】(1)证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE//CF，DE=12BC，DF//CE，DF=12AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴四边形DFCE是菱形；
(2)过E作EG⊥BC于G，
∵AC=BC，∠A=75°，
∴∠B=∠A=75°，
∴∠C=30°，
∴EG=12CE=14AC=1，
∴菱形DFCE的面积=2×1=2．
【解析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
(1)根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
(2)过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．
22.【答案】解：(1)对于y=k(x−1)+6，当x=1时，y=6，
则一次函数y=k(x−1)+6的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点坐标为(1,6)，
∴m=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x；
(2)解方程组y=k(x−1)+6y=6x，得x1=1y1=6，x2=−6ky2=−k，
由题意得：−6k≥−3，
解得：k≥2，
则k的取值范围是k≥2．
【解析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
(2)解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
23.【答案】解：(1)建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接，如图：
(2)结合表中所给的数据或所画的图象可知：
当d=2.50时，h取得最大值4.75，
即演员身体距离地面的最大高度为4.75米；
(3)结合表中所给的数据或所画的图象可知：
此抛物线的对称轴是d=2.50，顶点坐标为(2.50,4.75)，
∴设此抛物线为
h=a(d−2.50)2+4.75(a≠0)，
把(1.00,3.40)代入，得：
3.40=a(1.00−2.50)2+4.75，
解得：a=−0.60，
∴此抛物线为h=−0.60(d−2.50)2+4.75，
当d=0时，h=−0.60×(0−2.50)2+4.75=1.00，
即起跳点A距离地面的高度为1.00米；
(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米，
由已知表格中的对应数据可知：d=3.00时，h=4.60≠3.40，
∴此次表演不成功，
当h=3.40时，
3.40=−0.60(d−2.50)2+4.75，
解得：d1=1.00，d2=4.00，
∴要调节人梯到起跳点A的水平距离为1.00米或4.00米才能成功．
【解析】本题考查二次函数的应用，关键是根据数据求出函数解析式．
(1)建立适当坐标系，用描点、连线做出函数图象；
(2)结合表中数据和函数图象直接得出结论；
(3)先用待定系数法求出函数解析式，再令d=0，即可得出结论；
(4)先把d=3时代入函数解析式求出h=4.60≠3.40，得出此次表演不成功；再把h=3.4代入函数解析式求出d的值即可．
24.【答案】 (1)证明：连接OD，
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD//AC，
∴∠ODE=∠F，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED=∠F，
∴AE=AF；
(2)解：∵OD//AC
∴△BOD∽△BAC，
∴OBAB=ODAC，
∵AE=5，AC=4，
∴OE=OA=OD=2.5，
∴BE+2.5BE+5=2.54，
∴BE=53．
【解析】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD//AC，根据平行线的性质得出∠ODE=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，等量代换得到∠OED=∠F，于是得到结论；
(2)根据OD//AC得△BOD∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
25.【答案】解：(1)①A校服综合评分平均数为：19.5+19.6+10.23≈16.4，
∵“非常满意”是15≤x≤20，
∴达到“非常满意”，
故答案为：是；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：20×15%=3(人)，
故答案为：3人；
(2)由题意得，B校服时尚性评分中，不满意人数：20×35%=7(人)，基本满意人数：20×10%=2(人)，满意人数：20×25%=5(人)，非常满意人数：20×30%=6(人)，
中位数是10和11位的中位数，是10≤x<15中的前两位，即10+112=10.5，
故答案为：10.5；
(3)m
由扇形图可知，20人中对A校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是20×45%=9(人)，
∴m≤9，
B校服时尚性评分时尚性评分平均数为10.4，小于中位数10.5，
∴n=10，
∴m
(1)①求出A校服综合评分平均数，根据题意比较大小，得出结论；
②根据扇形图计算；
(2)根据中位数的概念解答即可；
(3)根据A校服时尚性评分的平均数为10.2，B校服时尚性评分时尚性评分平均数为10.4，分别求出m、n，证明结论．
26.【答案】解：(1)∵y=x2−2ax+1，
∴抛物线对称轴为直线x=−−2a2=a．
(2)∵m=0，y1=y3，
∴(−2,y1)，(2,y3)关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线关于y轴对称，即a=0，
∴y=x2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(0,1)，
∴y2=1为函数最小值，
∴y1>y2；
(3)将(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)代入y=x2−2ax+1，
得y1=m2−4m−2am+4a+5，
y2=m2−2am+1，
y3=m2−4m+2am−4a+5，
∵y1>y2>y3，
∴m2−4m−2am+4a+5>m2−2am+1>m2−4m+2am−4a+5，
解得m−1
∴0
(1)由对称轴为直线x=−b2a求解．
(2)由抛物线的对称性及m=0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．
(3)分别将(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)，解不等式组．
27.【答案】解：(1)互相垂直；12a；
(2)①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC=2∠DAE，
证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，如图：
则∠AMC=∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACB′=90°，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
即∠DAE+∠ACB′=90°，
∴∠DAE=∠CAN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
∠ANC=∠AMC ∠ACN=∠ACM AC=AC ，
∴△ACN≌△ACM(AAS)，
∴∠CAN=∠CAM，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠CAN=2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE=CD+DE，
证明如下：
在BC上截取BF=CD，连接AF，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB′=∠ACB，
∴∠B=∠ACB′=∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
AB=AC ∠B=∠ACD BF=CD ，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE=∠CAD+∠CAE=∠DAE，
由①知：∠BAC=2∠DAE，
即∠DAE=12∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE=12∠BAC，
∴∠FAE=∠BAC−(∠BAF+∠CAE)=12∠BAC，
∴∠FAE=∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
AF=AD ∠FAE=∠DAE AE=AE ，
∴△FAE≌△DAE (SAS)，
∴FE=DE，
∴BE=FE+BF=CD+DE．
【解析】
解：(1)当点E与点C重合时，∠DAE=∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′，
即AD与CB′的位置关系是互相垂直，
若BC=a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：
则∠AMC=90°=∠ADC，
∵AB=AC，
∴CM=BM=12BC=12a，
在△ACD与△ACM中，
∠ADC=∠AMC ∠ACD=∠ACM AC=AC ，
∴△ACD≌△ACM(AAS)，
∴CD=CM=12a，
即CD的长为12a，
故答案为：互相垂直；12a；
(2)见答案；
【分析】
(1)根据三角形内角和定理可得AD与CB′的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM=BM=12BC=12a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD=CM=12a；
(2)当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，利用AAS证明△ACN≌△ACM(AAS)，根据全等三角形性质即可得到∠BAC=2∠DAE；
②在BC上截取BF=CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF=AD，∠BAF=∠CAD，根据角的和差得到∠FAE=∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE=CD+DE．
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)①P2，P4；
②若OB=AB，△OAB为OA的等幂三角形，则yB=±6，
∴B(1.5,6)或B(1.5,−6)；
若OA=OB=3，△OAB为OA的等幂三角形，则yB=±6，即OB=6，显然不成立；
若OA=AB=3，△OAB为OA的等幂三角形，则yB=±6，显然不成立；
∴B(1.5,6)或B(1.5,−6)；
(2)3− 22
∵P1(1,3)，P2(2,6)，P3(−5,1)，P4(3,−6)，
∴S△OAP1=12×3×3=92，S△OAP2=12×3×6=9，
S△OAP3=12×3×1=32，S△OAP4=12×3×6=9，
∴是线段OA的“等幂点”的是P2，P4；
②见答案；
(2)如图，第一个临界点，当点E1和E2在⊙T上，等幂三角形刚好是直角三角形，E1(1,2)，E2(−1,0)，E1E2平行于直线y=x−3，过点E1，E2作直线的垂线D1，D2，设CD1=a，D1E1=2a，在Rt△E1D1C中，CD12+D1E12=CE12，
即a2+(2a)2=( 10)2，解得a= 2，则CD1= 2，根据对称性可知CD2= 2．
作CM//x轴，D1M//y轴，则∠D1CM=45°，
易求得CM= 22CD1=1，从而求得xD1=xM=3，同理可得，xD2=1．
如图2，第一个临界点，E3E4平行于直线y=x−3，与相切于点E5，等幂三角形刚好是直角三角形，CE5=2+ 2，
则E3E5=12CE5=2+ 22，所以CD3=E3E5=2+ 22，则xD3=xC+ 22CD3=5+ 22，同理可得xD4=3− 22，
结合图象可知，3− 22
(1)①分别计算出对应三角形的面积，和OA2进行比较，若相等即为线段OA的等幂点；
②若△OAB既是线段OA的“等幂三角形”，又是等腰三角形，需要分类讨论，当若OB=AB，OA=OB=3，OA=AB=3时，分别求点B的坐标；
(2)先找到使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形的点E，再根据题目中的条件求出点D的横坐标的取值范围即可．
本题属于新定义类问题，并在平面直角坐标系的背景下考查三角形的面积问题；理解给出的定义“等幂三角形”是解题关键．
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