江苏省常州市金坛第一中学2024届高三第三次模拟数学试题（解析版）

这是一份江苏省常州市金坛第一中学2024届高三第三次模拟数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

试卷满分：150分 考试时长：120分钟
命题人：陈彩平 审核人：景庆
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用并集的定义求解即得.
【详解】解不等式，得，即，
函数有意义，得，解得，则，
所以.
故选：C
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，
所以，故.
故选：C
3. 已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得的取值范围为，再根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若双曲线的离心率为，则有：
当双曲线的焦点在x轴上，则，解得，
可得，解得；
当双曲线的焦点在y轴上，则，解得，
可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
显然是的真子集，
所以“”是“双曲线的离心率为” 充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
5. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列和等差数列的性质结合基本不等式求解即可.
【详解】由为等差数列，为等比数列，，
可得.
由，当且仅当时取等，
可得，故A正确，C错误.
当时，；
当且仅当时取等，
当时，，
当且仅当时取等，故B，D都错误.
故选：A.
6. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.
【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，
则，故该球的表面积为.
故选：C
7. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】连接，则.
又，所以四边形为正方形，，
于是点在以点为圆心，为半径的圆上.
又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，
所以点到直线的距离，解得.
故选：D.
8. 在中，，为内一点，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，设，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.
【详解】在中，设，令，

则，，
在中，可得，，
由正弦定理，
得，
所以，
可得，即．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦定理得到关系式.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解.
【详解】A选项，根据正态分布的定义得，故A正确；
B选项，，，故，故B正确；
C选项，，，故，故C正确；
D选项，，故D错误.
故选：ABC．
10. 在中，已知，则以下四个结论正确的是（ ）
A. 最大值
B. 最小值1
C. 的取值范围是
D. 为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据可判断是以为直角的直角三角三角形，进而根据三角函数的性质以及恒等变换和诱导公式即可逐一求解.
【详解】由得，
因为，所以，故，
对于A;，当,所以，最大值为，故A正确，
对于B;，
因为,故，故取不到1，故B错误，
对于C;，由选项A可知，故C正确，
对于D;,故D正确，
故选：ACD
11. 如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为1．下列关于说法中正确的是（ ）

A. 过棱AC的截面中，截面面积的最小值为
B. 若为棱BD(不含端点)上的动点，则存在点P使得
C. 若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为
D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A三角形的底边一定，高最小时面积最小确定；选项B用余弦定理可得；选项C，易得M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小，即可判断；选项D分类讨论可得.
【详解】对于，设截面与棱BD的交点为，
如图，

过棱AC的截面为，则为棱BD的中点时，的面积取得最小值，
在等腰中，，可求得，故正确；
对于B，因为，所以，
所以，设，则，
在中，，
所以，故B错误；

对于C，取线段AC，BD的中点分别为M，N，因为，
所以在等腰中，MN为底边上的中线，
则，同理可证，
故MN为线段AC，BD的公垂线，
所以M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小，
此时，所以，
即M，N两点的距离最小值为，故C正确；

对于D，与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类：
（1）平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个；
（2）平行于正四面体的两条对棱，且到两条对棱距离相等，这样的截面有3个，
故与正四面体各个顶点距离都相等的截面共有7个，故D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 集合，，若，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围．
详解】由，且，
当时，，则，即，
当时，若，则m-1≥-2m>-22m+1≤5，解得，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
13. 已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两位同学从4个不同的项目中各选2项、两位同学所选的项目恰有1项相同的选法，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】甲乙两位同学从4个不同的项目中各选2项，共有种选法，
甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同，共有种选法，
所以甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同的概率为.
故答案为：.
14. 已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数进行讨论．
【详解】当时，，
令，则或；，则，
函数上单调递减，在单调递增，
函数在处取得极大值为，
在出的极小值为.
当时，，
综上所述，的取值范围为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
【答案】（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型
（2）
（3）估计2024年的企业利润为93.3亿元
【解析】
【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出即可得解；
（3）令即可得解.
【小问1详解】
由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
【小问2详解】
由题意得：，，
，
，
所以；
【小问3详解】
令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
16. 在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【小问1详解】
因为底面为正方形，
所以，又侧面底面，
侧面底面，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为，，连接，
则为正三角形，取中点，则，
由平面及平面，得，
又，所以底面，
过点作交于，
如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量，
所以
令，则，可得平面的法向量.
所以，
故直线和平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
（2）讨论的单调性与极值.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【小问1详解】
由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l:垂直，
，
解得.
【小问2详解】
由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值;
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【小问1详解】
如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
【小问2详解】
由题意得，直线斜率存在，由椭圆方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
19. 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，．
（1）证明：当时，；
（2）当时，比较与的大小；
（3）数列满足，记，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别构造，，根据导数判断函数单调性进而证明；
（2）令，根据导数结合（1）得出在单调递减，得出，即可比较大小；
（3）令，根据引理，不等式放缩及（1）的结论得出，再根据（2）的结论，累加法及不等式放缩，即可证明．
【小问1详解】
令，则，
故时，为增函数，
，故当时，，
令，则，
故时，为增函数，
，故当时，，
综上可知，当时，．
【小问2详解】
令，
则，设，
则，
故在上为减函数，
所以当时，，故在上为减函数，
时，，
所以，
故当时，．
【小问3详解】
令，则，
引理：若，则，
事实上，令，则，故，
又时，，且，
所以，即，
由引理可知，这样一直下去，有，
令，
由当时，，
则
，
故，
由及知，
所以由（2）可知，当时，，
故，
，累加可知，，且时也满足，
故，
故，
综上可知，．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．