2024年内蒙古兴安盟、呼伦贝尔中考数学试题

这是一份2024年内蒙古兴安盟、呼伦贝尔中考数学试题，共32页。试卷主要包含了 下列说法正确的是， 如图，，若，则的度数是等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷共6页，满分120分．考试时间共120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.请将姓名、准考证号填写在本试卷相应位置上．
4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题，每小题3分，共36分）
1. 绝对值是( )
A. B. 10C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ）
A. B. C. D.
4. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查．
C. 一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
6. 如图，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A. 2B. C. D. -2
8. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A. 8B. 16C. 12D. 24
10. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）
A. 60，30B. 90，120C. 60，90D. 90，60
11. 如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）

A. B. C. D.
12. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13. 分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ______．
14. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_____．
15. 为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是____米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
16. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是____．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18. 计算：．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
21. 从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6．
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
四、解答题（本题7分）
22. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
五、解答题（本题7分）
23. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
六、解答题（本题8分）
24. 如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求扇形的面积．
七、解答题（本题10分）
25. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
（1）求的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
八、解答题（本题13分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由
2024年兴安盟、呼伦贝尔市初中毕业生学业考试数学
注意事项：
1.本试卷共6页，满分120分．考试时间共120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.请将姓名、准考证号填写在本试卷相应位置上．
4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题，每小题3分，共36分）
1. 的绝对值是( )
A. B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”求解即可．
【详解】解：因为为负数，
所以的绝对值为，
故选A．
【点睛】本题主要考查求绝对值，掌握“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方体的结构，按照三视图的要求判断选项中是否是三视图．
【详解】A项为左视图，B项为俯视图，C项不属于三视图，D项为主视图，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图问题，主要训练学生的空间想象力．
4. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是，是正整数”是解题的关键．
【详解】解：，
故选C．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查．
C. 一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，方差的意义，抽样调查与普查，中位数，根据必然事件，中位数，方差的意义，抽样调查与普查逐项分析判断即可．
【详解】A．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故原说法错误；
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查．故原说法错误；
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故原说法错误
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，故正确，
故选：D．
6. 如图，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可．
【详解】解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶C．
7. 实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A. 2B. C. D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．
【详解】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
，
故选：A．
8. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
详解】解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A. 8B. 16C. 12D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，含直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
由作图知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故选B．
10. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）
A. 60，30B. 90，120C. 60，90D. 90，60
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
11. 如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质可求出，根据轴对称的性质可得，则，再求出，，即可求出答案．
【详解】解：正方形的边长为2，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故选：A．
12. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故选：C．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13. 分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ______．
【答案】a（1＋b）2
【解析】
【分析】先提公因式，再用完全平方公式．
【详解】原式＝，
故填：．
【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式和完全平方是关键．
14. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解．
【详解】如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
15. 为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是____米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出，进而得出，然后解方程并按要求取近似数即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴，
∴，即
解得，
故答案为：．
16. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，作轴于，作轴于，则，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为，代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答案．
【详解】解：
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
【答案】楼的高度为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过作于，过作于，则四边形是矩形，则，，由题意知，，根据求的值，根据求的值即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，
∴，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴楼的高度为米．
21. 从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6．
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为：；
小问2详解】
解：画树状图，如下，
共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种，
所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为．
四、解答题（本题7分）
22. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ：
（1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形：
（2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
五、解答题（本题7分）
23. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
【答案】（1）200，画图见解析
（2）
（3）360人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体等，解题的关键是：
（1）利用“整理卫生”的人数除以所占百分比求出调查的总人数，然后总人数减去其余各组人数，求出“文明宣传”的人数，然后补图即可；
（2）用乘以“敬老服务”所占百分比即可；
（3）用乘以“文明宣传”所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有人，
“文明宣传”的人数有人，
补图如下：
故答案为：200；
【小问2详解】
解：，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是，
【小问3详解】
解：，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
六、解答题（本题8分）
24. 如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求扇形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用等边对等角，圆周角定理等可得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即，然后根据切线的判定即可得证；
（2）先利用含的直角三角形的性质求出，同时求出，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出，，证明是等边三角形，得出，，进而求出，在中，利用余弦定义可求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
七、解答题（本题10分）
25. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
（1）求的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【答案】（1），
（2），购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可；
（2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
解得；
【小问2详解】
解：当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．
八、解答题（本题13分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似
【解析】
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【小问1详解】
解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式，
当时，，
∴；
【小问2详解】
解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
22
乙
25
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
22
乙
25