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浙江省金华市第五中学2023-2024学年八年级下学期 开学考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份浙江省金华市第五中学2023-2024学年八年级下学期 开学考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含浙江省金华市第五中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题原卷版docx、浙江省金华市第五中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1. 下列各式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、不能与合并，本选项不符合题意；
B、能与合并，本选项符合题意；
C、不能与合并，本选项不符合题意；
D、不能与合并，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2. 下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据定义作答即可.
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B．不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
3. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ）
A. 5，6，11B. 5，12，16C. 2，4，8D. 3，3，7
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．此题主要考查了三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边这一关系是解答本题的关键.
【详解】A、，不能组成三角形，故此选项错误；
B、，能组成三角形，故此选项正确；
C、，不能组成三角形，故此选项错误；
D、，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先根据根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，然后作答即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得，
∵是一元二次方程，
∴，
即，
故m的值可以是2，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
5. 若点位于第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据第四象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集是：，
所以m的取值范围是：．
故选：D．
6. 若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A. ﹣2a﹣bB. 2a﹣bC. ﹣bD. ﹣2a+b
【答案】C
【解析】
【分析】由一次函数图象经过的象限，即可判定a<0，b>0，从而可判定b-a>0，再化简二次根式即可．
【详解】∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴b-a>0，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，化简二次根式．根据一次函数图象经过的象限，判断出a、b的符号是解题关键．
7. 在中，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【详解】解：A、由作图可知，是等腰三角形，本选项不符合题意．
B、由线段垂直平分线的性质可知，是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由直角三角形斜边中线的性质可知，是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知是的角平分线，推不出是等腰三角形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和直角三角形的性质．
8. 对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 ( )
A. -8≤m<-5B. -8【答案】B
【解析】
【分析】利用题中的新定义得到不等式组，然后解不等式组，根据不等式组有3个整数解，确定出m的范围即可．
【详解】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为﹣1，0，1，
∴﹣2＜≤﹣1，
解得：﹣8＜m≤﹣5．
故选：B．
【点睛】此题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解等知识，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9. 如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则,此时取得最小值，求出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，
∵点分别是点关于的对称点，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为上一点，
∴当取得最小值时，则,此时取得最小值，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A
【点睛】此题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
10. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（ ）
A. 线段BFB. 线段DGC. 线段CGD. 线段GF
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据方程x2+x-1=0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG=m，则GC=1-m，从而可以用m表示等式．
【详解】解：设DG=m，则GC=1-m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG=GH=m，FC=0.5．
∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+SAGF，
∴1×1=×1×+×1×m+××（1-m）+××m，
∴m=．
∵x2+x-1=0的解为：x=，
∴取正值为x=．
∴这条线段是线段DG．
故选：B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若式子有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：若式子有意义，则，
∴，
故答案为：．
12. 一元二次方程一次项系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项为，一次项系数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．掌握上述知识是解题的关键．
13. 如图，大坝横截面迎水坡的坡比为，若坝高为，则迎水坡的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡比的定义得出，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵大坝横截面迎水坡的坡比为，坝高为，
∴
∴迎水坡的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坡比的定义，勾股定理，熟练掌握坡比的定义是解题的关键．
14. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查函数与不等式的关系，解题的关键是熟知函数图像交点的几何含义．令可求出直线与轴的交点坐标，根据两函数图象与轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式的解，找出其内的整数即可．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴直线与轴的交点坐标为．
观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方，且两直线均在轴上方，
∴不关于的不等式的解为，
∴不等式的整数解为．
故答案为：．
15. 如图2，小靓用边长为16的七巧板（如图1）拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，拼成一个“木马”形状（如图2），图中的三角形顶点E在边CD上，三角形的边AM，GF分别在边AD，BC上，则AB长是_______．
【答案】12+12
【解析】
【分析】如图，由七巧板的边长为16，根据勾股定理分别求出MN、NO、OP、QG的长即可求出AB的长.
【详解】∵七巧板的边长为16，
∴NO=8，MN=4，OP=4，QG=8，
∴AB=MN+NO+OP+QG=8+4+4+8=12+12.
故答案为12+12
【点睛】本题考查勾股定理的应用，了解七巧板的各边的关系并熟练运用勾股定理是解题关键.
16. 如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是_________________．
【答案】或或．
【解析】
【分析】过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，根据△PDE是等腰三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，
∵AB=8，∠A=60°，D是的中点，
∴AG= ，，
同理，CF=2，，
设BP为 x，同理可得，BE=2x，PE=，
PG=6-x，EF=6-2x，
当DP=PE时，
，
解得，（舍去），；
当DP=DE时，
，
解得，（舍去），；
当DE=PE时，
，
解得，（舍去），；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是熟练对等腰三角形分类讨论，利用勾股定理列出方程．
三、解答题（共66分）
17. （1）解不等式组：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤以及二次根式的运算法则和性质，是解题的关键．
（1）分别求出各个不等式的解，再取他们的公共部分，即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则和性质，即可求解．
【详解】解：（1），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：；
（2）
．
18. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：，
∴Δ=b2-4ac=-62-4×4×-3=84>0，
∴
∴；
小问2详解】
解：，
∴，
∴，
即，
∴或，
解得：．
19. 如图，每个小正方形的边长都为，的位置如图所示．
（1）在图中确定点，请你连接，使；
（2）在完成（1）后，在图中确定点，请你连接，使，直接写出的长_________．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理以及逆定理的应用，格点作图，利用勾股定理确定C点位置，由勾股定理确定D点的位置是解题的关键．
（1）利用网格即可确定点位置；
（2）先确定点D的位置，再由勾股定理在中，可求BD的长．
【小问1详解】
解：如图，
∵
∴
∴，；
故点为所求作的图形；
【小问2详解】
解：∵，，可确定点位置如图，
∴在中，，
故答案为：．
20. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点 F上，连接BF，并延长交DC的延长线于点G．
（1）求证：．
（2）当DG=3，BC=时，求 CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）CG=1．
【解析】
【分析】（1）由轴对称的性质，矩形的性质，中点的含义证明： 再利用斜边直角边公理证明：，即可得到结论；
（2）设CG=x，利用的性质，矩形的性质，用含的代数式表示 再利用勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：（1）由折叠知AE=FE，∠BFE=∠A，
∵E是边AD的中点，
∴DE=AE ，
∴DE=FE，
又∵ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠BFE=90°，
∴∠D=∠EFG=90°，
又∵EG=EG
∴．
（2）∵，
∴FG=DG=3，
设CG=x，
则BF=AB=DC=3－x，
BG=6－x
在中
解得： x=1
即CG=1．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21. 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：
（1）利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
（2）利用②中的结论，计算：
【答案】（1）3； （2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可；
（2）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：
．
22. 定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据定义得到“逆反函数”为，把代入即可求得；
（2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得或．
【小问1详解】
解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，
解得：
∴；
【小问3详解】
∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57
【解析】
【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量求解即可；
任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润求解即可；
任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可．
【详解】（1）网上毛利润为：元
实体店毛利润为：元
（2）设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为：
根据题意得，
解得，；
∴或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元
（3）
∵
∴
∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大
此时销售价为：（元）
故答案为：57
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及完全平方公式的变形求值，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键．
24. 如图1，直线分别与轴，轴交于点两点，为线段上的动点，点关于直线成轴对称，连结．
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标．
（3）如图3，点是的中点，连结，当与中的一条边平行时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）设直线的解析式为，将代入，利用待定系数法求解；
（2）过点E作，垂足为点E．根据轴对称的性质可得，推出，进而证明，可得，结合（1）中所求解析式即可求解；
（3）分，，三种情况，当，时，通过添加辅助线构造矩形、直角三角形，根据勾股定理列方程，即可求解；当时，延长交x轴于点K，设，通过轴对称可得，通过导角证明，进而证明，再根据平行线分线段成比例定理的推论证明，可得，由此列关于x的方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
将两点的坐标代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图，过点E作，垂足为点E．
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即D点的纵坐标为5，
将代入直线方程中，得：，
解得，
∴点D的坐标是；
【小问3详解】
解：，点是的中点，
，，．
分三种情况：
当时，如图，延长交y轴于点M，过点C作轴于点N，
∵，，轴，
，
四边形是矩形，
∵，轴，，
，
设，则，
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，即；
当时，如图，延长交x轴于点H，过点P作于点G，易证四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，即；
当时，如图，延长交x轴于点K，
设，则，
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
∵在中，点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或或．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例定理的推论等，涉及知识点较多，特别是第3问，有一定难度，解题的关键是正确添加辅助线，注意分类讨论．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1
某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2
该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3
据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1
计算所获利润
当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2
拟定价格方案
公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3
探究最大利润
该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大．
1. 下列各式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、不能与合并，本选项不符合题意；
B、能与合并，本选项符合题意；
C、不能与合并，本选项不符合题意；
D、不能与合并，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2. 下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据定义作答即可.
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B．不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
3. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ）
A. 5，6，11B. 5，12，16C. 2，4，8D. 3，3，7
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．此题主要考查了三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边这一关系是解答本题的关键.
【详解】A、，不能组成三角形，故此选项错误；
B、，能组成三角形，故此选项正确；
C、，不能组成三角形，故此选项错误；
D、，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先根据根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，然后作答即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得，
∵是一元二次方程，
∴，
即，
故m的值可以是2，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
5. 若点位于第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据第四象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集是：，
所以m的取值范围是：．
故选：D．
6. 若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A. ﹣2a﹣bB. 2a﹣bC. ﹣bD. ﹣2a+b
【答案】C
【解析】
【分析】由一次函数图象经过的象限，即可判定a<0，b>0，从而可判定b-a>0，再化简二次根式即可．
【详解】∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴b-a>0，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，化简二次根式．根据一次函数图象经过的象限，判断出a、b的符号是解题关键．
7. 在中，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【详解】解：A、由作图可知，是等腰三角形，本选项不符合题意．
B、由线段垂直平分线的性质可知，是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由直角三角形斜边中线的性质可知，是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知是的角平分线，推不出是等腰三角形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和直角三角形的性质．
8. 对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 ( )
A. -8≤m<-5B. -8
【解析】
【分析】利用题中的新定义得到不等式组，然后解不等式组，根据不等式组有3个整数解，确定出m的范围即可．
【详解】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为﹣1，0，1，
∴﹣2＜≤﹣1，
解得：﹣8＜m≤﹣5．
故选：B．
【点睛】此题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解等知识，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9. 如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则,此时取得最小值，求出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，
∵点分别是点关于的对称点，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为上一点，
∴当取得最小值时，则,此时取得最小值，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A
【点睛】此题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
10. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（ ）
A. 线段BFB. 线段DGC. 线段CGD. 线段GF
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据方程x2+x-1=0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG=m，则GC=1-m，从而可以用m表示等式．
【详解】解：设DG=m，则GC=1-m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG=GH=m，FC=0.5．
∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+SAGF，
∴1×1=×1×+×1×m+××（1-m）+××m，
∴m=．
∵x2+x-1=0的解为：x=，
∴取正值为x=．
∴这条线段是线段DG．
故选：B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若式子有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：若式子有意义，则，
∴，
故答案为：．
12. 一元二次方程一次项系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项为，一次项系数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．掌握上述知识是解题的关键．
13. 如图，大坝横截面迎水坡的坡比为，若坝高为，则迎水坡的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡比的定义得出，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵大坝横截面迎水坡的坡比为，坝高为，
∴
∴迎水坡的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坡比的定义，勾股定理，熟练掌握坡比的定义是解题的关键．
14. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查函数与不等式的关系，解题的关键是熟知函数图像交点的几何含义．令可求出直线与轴的交点坐标，根据两函数图象与轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式的解，找出其内的整数即可．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴直线与轴的交点坐标为．
观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方，且两直线均在轴上方，
∴不关于的不等式的解为，
∴不等式的整数解为．
故答案为：．
15. 如图2，小靓用边长为16的七巧板（如图1）拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，拼成一个“木马”形状（如图2），图中的三角形顶点E在边CD上，三角形的边AM，GF分别在边AD，BC上，则AB长是_______．
【答案】12+12
【解析】
【分析】如图，由七巧板的边长为16，根据勾股定理分别求出MN、NO、OP、QG的长即可求出AB的长.
【详解】∵七巧板的边长为16，
∴NO=8，MN=4，OP=4，QG=8，
∴AB=MN+NO+OP+QG=8+4+4+8=12+12.
故答案为12+12
【点睛】本题考查勾股定理的应用，了解七巧板的各边的关系并熟练运用勾股定理是解题关键.
16. 如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是_________________．
【答案】或或．
【解析】
【分析】过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，根据△PDE是等腰三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，
∵AB=8，∠A=60°，D是的中点，
∴AG= ，，
同理，CF=2，，
设BP为 x，同理可得，BE=2x，PE=，
PG=6-x，EF=6-2x，
当DP=PE时，
，
解得，（舍去），；
当DP=DE时，
，
解得，（舍去），；
当DE=PE时，
，
解得，（舍去），；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是熟练对等腰三角形分类讨论，利用勾股定理列出方程．
三、解答题（共66分）
17. （1）解不等式组：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤以及二次根式的运算法则和性质，是解题的关键．
（1）分别求出各个不等式的解，再取他们的公共部分，即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则和性质，即可求解．
【详解】解：（1），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：；
（2）
．
18. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：，
∴Δ=b2-4ac=-62-4×4×-3=84>0，
∴
∴；
小问2详解】
解：，
∴，
∴，
即，
∴或，
解得：．
19. 如图，每个小正方形的边长都为，的位置如图所示．
（1）在图中确定点，请你连接，使；
（2）在完成（1）后，在图中确定点，请你连接，使，直接写出的长_________．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理以及逆定理的应用，格点作图，利用勾股定理确定C点位置，由勾股定理确定D点的位置是解题的关键．
（1）利用网格即可确定点位置；
（2）先确定点D的位置，再由勾股定理在中，可求BD的长．
【小问1详解】
解：如图，
∵
∴
∴，；
故点为所求作的图形；
【小问2详解】
解：∵，，可确定点位置如图，
∴在中，，
故答案为：．
20. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点 F上，连接BF，并延长交DC的延长线于点G．
（1）求证：．
（2）当DG=3，BC=时，求 CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）CG=1．
【解析】
【分析】（1）由轴对称的性质，矩形的性质，中点的含义证明： 再利用斜边直角边公理证明：，即可得到结论；
（2）设CG=x，利用的性质，矩形的性质，用含的代数式表示 再利用勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：（1）由折叠知AE=FE，∠BFE=∠A，
∵E是边AD的中点，
∴DE=AE ，
∴DE=FE，
又∵ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠BFE=90°，
∴∠D=∠EFG=90°，
又∵EG=EG
∴．
（2）∵，
∴FG=DG=3，
设CG=x，
则BF=AB=DC=3－x，
BG=6－x
在中
解得： x=1
即CG=1．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21. 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：
（1）利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
（2）利用②中的结论，计算：
【答案】（1）3； （2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可；
（2）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：
．
22. 定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据定义得到“逆反函数”为，把代入即可求得；
（2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得或．
【小问1详解】
解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，
解得：
∴；
【小问3详解】
∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57
【解析】
【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量求解即可；
任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润求解即可；
任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可．
【详解】（1）网上毛利润为：元
实体店毛利润为：元
（2）设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为：
根据题意得，
解得，；
∴或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元
（3）
∵
∴
∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大
此时销售价为：（元）
故答案为：57
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及完全平方公式的变形求值，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键．
24. 如图1，直线分别与轴，轴交于点两点，为线段上的动点，点关于直线成轴对称，连结．
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标．
（3）如图3，点是的中点，连结，当与中的一条边平行时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）设直线的解析式为，将代入，利用待定系数法求解；
（2）过点E作，垂足为点E．根据轴对称的性质可得，推出，进而证明，可得，结合（1）中所求解析式即可求解；
（3）分，，三种情况，当，时，通过添加辅助线构造矩形、直角三角形，根据勾股定理列方程，即可求解；当时，延长交x轴于点K，设，通过轴对称可得，通过导角证明，进而证明，再根据平行线分线段成比例定理的推论证明，可得，由此列关于x的方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
将两点的坐标代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图，过点E作，垂足为点E．
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即D点的纵坐标为5，
将代入直线方程中，得：，
解得，
∴点D的坐标是；
【小问3详解】
解：，点是的中点，
，，．
分三种情况：
当时，如图，延长交y轴于点M，过点C作轴于点N，
∵，，轴，
，
四边形是矩形，
∵，轴，，
，
设，则，
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，即；
当时，如图，延长交x轴于点H，过点P作于点G，易证四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，即；
当时，如图，延长交x轴于点K，
设，则，
∵点C，O关于直线成轴对称，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
∵在中，点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或或．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例定理的推论等，涉及知识点较多，特别是第3问，有一定难度，解题的关键是正确添加辅助线，注意分类讨论．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1
某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2
该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3
据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1
计算所获利润
当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2
拟定价格方案
公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3
探究最大利润
该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大．
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