2023-2024学年重庆市k12九年级（上）第一次段考数学试卷

这是一份2023-2024学年重庆市k12九年级（上）第一次段考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列属于一元二次方程的是（ ）
A．3x2+2xB．x2﹣2x＝6C．D．2x2+y＝6
2．（4分）抛物线的开口方向是（ ）
A．向上B．向右C．向下D．向左
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣kx+6＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．3B．2C．1D．0
4．（4分）抛物线可由抛物线平移得到（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
5．（4分）两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝99B．x（x+2）＝99C．x（x﹣1）＝99D．x（x﹣2）＝99
6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个根是x1、x2，若x1+x2＝4，则代数式的值是（ ）
A．2B．4C．8D．16
7．（4分）用点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个点，第②个图案有5个点，第④个图案有14个点，…，按此规律排列下去（ ）
A．36B．46C．55D．65
8．（4分）点M（﹣2，y1）、P（﹣1，y2）、Q（3，y3）在抛物线上，则M、P、Q三点的位置从高到低排列正确的是（ ）
A．P、Q、MB．M、Q、PC．P、M、QD．Q、P、M
9．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点E，连接BF，若BF＝DF，则∠BFA的度数是（ ）
A．4αB．3αC．2αD．180°﹣α
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点（1，0），交y轴于点（0，m）（﹣2＜m＜﹣1）；②9a﹣3b+c＝0；③；④a﹣3b﹣4c＜0（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 ．
12．（4分）二次函数y＝﹣2x2+4x﹣6的最大值是 ．
13．（4分）某校8年级举行班级篮球赛，每两个班只赛一次．结束比赛后，发现共赛了190场 个班．
14．（4分）若关于x的抛物线的顶点是最低点，与x轴交于A、B两点，则△ABC的形状是 三角形．
15．（4分）关于x的一元二次方程方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有实数解，则k的最大整数值是 ．
16．（4分）如图，以边长为的菱形ABCD的对角线AC为直径作圆（AC＞BD），则图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）关于x的方程的解为非负数，且关于x的二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个不同的交点，则所有符合条件的整数k有 个．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
20．（10分）学习了全等三角形后，小苗进行了拓展研究．他发现，全等三角形对应角的角平分线相等．他的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等．请根据他的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，作∠EDF的角平分线交EF于点N．（只保留作图痕迹）
（2）如图，△ABC≌△DEF，AM平分∠BAC，求证：AM＝DN．
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，AB＝DE，∠BAC＝① ．
∵AM平分∠BAC，DN平分∠EDF，
∴，② ．
∴③ ．
∴△ABM≌△DEN
∴AM＝DN．
小苗继续深入研究发现了全等三角形对应边上的高及其中线也存在一定的数量关系．你认为全等三角形对应边上的高和中线有何数量关系？④ （语言叙述要完整，不完整不得分）
21．（10分）根据下列条件分别求出抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式（最后结果要化成一般式）．
（1）抛物线过点（1，0），（0，﹣3），（﹣2，﹣3）三点；
（2）抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），且过点（0，0）．
22．（10分）某商场在2023年国庆期间进行促销活动，A商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元．
（1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率是多少？
（2）国庆节过后，该商场A商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，每天可以多卖出2件．商场某天销售A商品共获利500元，则这天该商场A商品在每件150元的基础上降价多少元？
23．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F是线段CD的中点．动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PBQ的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
（2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出△PBQ的面积为1时x的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．​
24．（10分）某湿地公园修建了一条四边形ABCD的道路，为了满足市民的需要，把AC之间也修成道路．测得∠ABC＝90°，△ABC周长是1200m．
（1）求道路AB和BC（AB＜BC）的长分别是多少？
（2）通过测量，道路AD与道路AC的夹角∠DAC＝30°，道路CD与道路AC的夹角∠DCA＝60°．小张从A处出发沿道路AB→BC以每秒7m的速度跑步到C处，问小张和小刘谁先到达C处？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
25．（10分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），连结AC、BC．
（1）求△ABC的周长；
（2）点P为二次函数的图象上一点，且位于直线AC下方．过点P作直线PQ⊥x轴交直线AC于点Q．求线段PQ长度的最大值及此时点P的坐标；
（3）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移，使得△ADE是以线段AD为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求点E的坐标的其中一种情况的过程．
26．（10分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°
（1）如图1，若AD⊥BC于点D，AB＝8；
（2）如图2，已知，AB＝AC，以线段BE和线段BC为边作▱BCFE，连结DE、AF；
（3）如图3，已知，AB＝AC＝2，使点A落点M处．在线段BC上求一点P，使得PA+PB+PM的值最小．直接写出PA+PB+PM的最小值．（参考公式：）
2023-2024学年重庆市K12九年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．【分析】根据一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）的方程是一元二次方程，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3x2+4x不是方程，故A不符合题意；
B、x2﹣2x＝4是一元二次方程，故B符合题意；
C、x2﹣＝3不是一元二次方程；
D、2x2+y＝5是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．【分析】依据题意，根据抛物线解析式中a＜0即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线＜0，
∴抛物线开口向下．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
3．【分析】根据两根之积＝6求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+6＝5的两根之积＝6，
又∵一个根为2，
∴另一个根为6．
故选：A．
【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型．
4．【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣2），由此确定平移的步骤．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）7﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），
∵抛物线y＝x2的顶点坐标是（6，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝2x4向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
5．【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为x+2，由此列得方程．
【解答】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为x+2，
则x（x+2）＝99．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
6．【分析】利用根与系数的关系求出m的值，即可解决问题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝6的两个根是x1、x2，若x5+x2＝4，
∴﹣＝4，
∴m＝4，
∴＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．【分析】仔细观察图案，找到图形的变化规律，写出通项公式，然后代入n＝10即可．
【解答】解：观察发现：
第①个图案有1+1＝4个点，
第②个图案有1+2+7＝5个点，
第③个图案有1+2+3+3＝4个点，
第④个图案有1+2+6+4+4＝14个点，
…，
第n个图案有3+2+3+•••+n+n＝个点，
当n＝10时，＝65个点，
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有个正方形是解题的关键．
8．【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：抛物线开口向下，对称轴x＝﹣，
∵Q（6，y3）关于对称轴x＝﹣对称的点（﹣4，y3），
∵﹣7＜﹣2＜﹣1，
∴y4＞y1＞y3，
∴M、P、Q三点的位置从高到低排列P、M、Q，
故选：C．
【点评】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
9．【分析】连接BD，由线段垂直平分线的性质得出BD＝BC，证出∠CBE＝∠DBE＝α，证出AD∥BC，则∠FDB＝∠CBD＝2α，由三角形外角的性质可得出答案．
【解答】解：连接BD，
∵线段BE垂直平分边CD于点E，
∴BD＝BC，
∴∠CBE＝∠DBE＝α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠CBD＝2α，
∵FB＝FD，
∴∠FBD＝2α，
∴∠AFB＝∠FBD+∠FDB＝4α，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程x＝﹣1，求出抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），代入即可判断；
③依据题意，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），从而a+b+c＝0，结合题意，用b的代数式表示m，又﹣2＜m＜﹣1，即可判断；
④根据a+b+c＝0，b＝2a，a＞0，从而c＝﹣3a，故a﹣3b﹣4c＝a﹣6a+12a＝7a，进而可以判断．
【解答】解：①观察图象可知：
a＞0，c＜0．
又对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞7．
∴abc＜0，
∴①错误；
②由题意，抛物线与x轴交于一点（1
又对称轴为直线x＝﹣7，
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0）．
∴2a﹣3b+c＝0．
∴②正确；
③∵抛物线y＝ax7+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝4．
又a＝，
∴c＝﹣b．
又c＝m，﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣7＜﹣b＜﹣8．
∴．
∴③正确；
∵a+b+c＝0，b＝8a，
∴c＝﹣3a．
∴a﹣3b﹣4c＝a﹣6a+12a＝7a＞2．
∴④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．【分析】x2﹣3x有公因式x可以提取，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：原式为x2﹣3x＝2，x（x﹣3）＝0，x6＝0，x2＝4．
∴方程x2﹣3x＝6的解是x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．
12．【分析】依据题意，将二次函数的解析式转化为顶点式即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵y＝﹣2x2+2x﹣6＝﹣2（x﹣8）2﹣4，
又a＝﹣8＜0，
∴当x＝1时，二次函数的最大值y＝﹣7．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解顶点式是关键．
13．【分析】设该年级共有x个班，利用比赛的总场数＝该年级的班级数×（该年级的班级数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该年级共有x个班，
根据题意得：x（x﹣3）＝190，
整理得：x2﹣x﹣380＝0，
解得：x5＝20，x2＝﹣19（不符合题意，舍去），
∴该年级共有20个班．
故答案为：20．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．【分析】先根据抛物线有最低点求出m值，再通过解方程求出ABC的坐标，根据两点之间的距离公式及勾股定理的逆定理判断．
【解答】解：由题意得：m﹣1＞0，且m2﹣2＝2，
解得：m＝6，
∴抛物线为：y＝x2﹣2，
当x＝4时，y＝﹣2，
当y＝0时，x5＝﹣，x2＝，
∴A（﹣，0），0），﹣2），
∴OC垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解二次函数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键．
15．【分析】根据不等式组求解即可．
【解答】解：由题意，
解得k≤﹣且k≠﹣1，
∴k的最大整数值是﹣3．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．【分析】根据菱形的性质以及勾股定理可求出AC＝4，BD＝2，再根据面积之间的关系得出S阴影部分＝S圆﹣S菱形，由圆面积、菱形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OA2+OB2＝AB2＝5，即（）2+（）8＝5，
∴AC2+BD2＝20，
∵AC+BD＝6，
∴AC＝4，BD＝4，
∴S阴影部分＝S圆﹣S菱形
＝π×（）2﹣AC•BD
＝4π﹣3．
故答案为：4π﹣4．
【点评】本题考查扇形面积的计算，勾股定理以及菱形的性质，掌握菱形的性质，勾股定理以及圆面积、扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
17．【分析】现根据分式方程份解求出k的一个范围，再根据二次函数与x轴的交点个数求出另一个范围，再求整数解．
【解答】解：在分式方程的两边同乘以（x﹣1）得：k+2＝x﹣8，
∴x＝k+3，
由题意得：k+3≥2且k+3≠1，
∴k≥﹣5且k≠﹣2，
∵关于x的二次函数y＝（k﹣1）x5﹣2x+1的图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣3）＝﹣4k+8＞2，且k≠1，
∴k＜2且k≠4，
∴﹣3≤k＜2且k≠5且k≠﹣2，
∴k的整数解为：﹣3、﹣7、0，
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）
19．【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，
∴Δ＝（﹣3）2﹣3×1×1＝6﹣4＝5，
∴x＝
∴x5＝，x2＝；
（2）∵3x（x﹣4）＝2（x﹣1），
∴2x（x﹣1）﹣2（x﹣6）＝0，
则（x﹣1）（4x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣5＝0，
解得x1＝8，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△ABM≌△DEN（ASA），可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，AB＝DE．
∵AM平分∠BAC，DN平分∠EDF，
∴，②∠EDN＝．
∴③∠BAM＝∠EDN．
∴△ABM≌△DEN（ASA），
∴AM＝DN．
故答案为：∠EDF，∠EDN＝，∠BAM＝∠EDN，对应边上的中线相等．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21．【分析】（1）利用二次函数的一般式求解；
（2）利用二次函数的交点式求解．
【解答】解（1）∵抛物线过点（1，0），﹣5），﹣3）三点，
，
解得：，
所求抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣8；
（2）∵抛物线的顶点坐标是 （﹣1，2），
∴设所求抛物线的解析式为：y＝a（x+5）2+2，
∵设所求抛物线过点（2，0），
∴a（0+8）2+2＝8，
解得：a＝﹣2，
所求抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2）2+2，
化成一般式为：y＝﹣3x2﹣4x．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
22．【分析】（1）设国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率为x，利用国庆期间A商品的售价＝国庆前A商品的售价×（1﹣国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设这天该商场A商品在每件150元的基础上降价y元，则每件的销售利润为（150﹣y﹣120）元，日销售量为（10+2y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x8＝0.1＝10%，x8＝2.1（不符合题意，舍去）．
答：国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率是10%；
（2）设这天该商场A商品在每件150元的基础上降价y元，则每件的销售利润为（150﹣y﹣120）元，
根据题意得：（150﹣y﹣120）（10+4y）＝500，
整理得：y2﹣25y+100＝0，
解得：y2＝5，y2＝20，
又∵要尽快销售完这批商品，
∴y＝20．
答：这天该商场A商品在每件150元的基础上降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．【分析】（1）分两种情况，根据三角形面积公式即可写出y与x的函数关系式；
（2）结合（1）画出图象即可；
（3）观察图象可得答案．
【解答】解：（1）P从A到B所需时间为4÷2＝8（秒），Q从B到C所需时间为2÷1＝6（秒）；
当0＜x＜2时，y＝2+5x；
当2＜x≤4时，y＝；
∴y＝；
（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣6）2+1，抛物线对称轴为直线x＝7，1），0）和（6，
如图：
当P在AB上时，△PBQ的面积最大为1，△PBQ的面积随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）由图象可得，x＝1或x＝7.5时．
【点评】本题考查函数图象，涉及三角形面积，函数与方程的关系等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用．
24．【分析】（1）由AC＝500m，△ABC 周长是1200m，可得AB+BC＝700m，设AB的长为xm，可得：x2+（700﹣x）2＝5002，即可解得道路AB的长是300m，道路BC的长是400m；
（2）根据∠DAC＝30°，∠DCA＝60°，知∠ADC＝90°，求出DC＝250m，AD＝250m，知小刘所用的时间是：（250+250）÷6.8≈100.37（秒），而小张所用的时间是：700÷7＝100（秒），比较可得答案．
【解答】解：（1）∵AC＝500m，△ABC 周长是1200m，
∴AB+BC＝700m，
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC8，
设AB的长为xm，
由题意得：x2+（700﹣x）2＝5007，
解得：x1＝300，x2＝400 （因AB＜BC，故舍去），
∴700﹣x＝700﹣300＝400，
∴道路AB的长是300m，道路BC的长是400m；
（2）∵∠DAC＝30°，∠DCA＝60°，
∴∠ADC＝90°．
∴DC＝AC2+DC7＝AC2，
∵AC＝500m，
∴DC＝250m，AD＝250m，
∴AD+DC＝（250+250）m，
∴小刘所用的时间是：（250+250）÷6.5≈100.37（秒），
∵AB+BC＝700m，
∴小张所用的时间是：700÷7＝100（秒），
∵100＜100.37，
∴小张先到达C处．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理的应用和含特殊角的直角三角形三边关系．
25．【分析】（1）先求得：A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣），再运用两点间距离公式或勾股定理即可求得答案；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x﹣，设P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，t﹣），所以PQ＝x﹣﹣（t2﹣t﹣）＝﹣t2+t，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先求得抛物线y＝x2﹣x﹣的顶点坐标为（1，﹣），根据平移可得平移得到新的二次函数y'的顶点是D（0，﹣），设E（0，m），根据△ADE是以线段AD为腰的等腰三角形，分两种情况：当AD＝AE时，点E与点D关于x轴对称，可得E（0，）；当AD＝DE时，利用勾股定理可得AD＝＝＝，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣x﹣，
解得：x4＝3，x2＝﹣2，
∴A（3，0），8），
令x＝0，得y＝﹣，
∴C（5，﹣），
∴AB＝3﹣（﹣8）＝4，
在Rt△BOC中，BC＝＝，
在Rt△AOC中，AC＝＝，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝7+2+2＝6+2；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（3，C（0，﹣，得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣，
设P（t，t5﹣t﹣），t﹣），
∴PQ＝x﹣t2﹣t﹣t2+t，
∵﹣＜6，
∴当t＝﹣＝时，PQ有最大值，
PQ的最大值＝﹣×（）2+×＝，
点P的纵坐标为t2﹣t﹣＝）2﹣×﹣＝﹣，
∴线段PQ长度的最大值是，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣＝2﹣，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣，﹣），
∵向左平移1个单位长度，再向下平移，
∴平移得到新的二次函数y'的顶点是D（0，﹣），
设E（0，m），如图，
当AD＝AE时，点E与点D关于x轴对称，
∴E（7，）；
当AD＝DE时，
∵AD＝＝＝，
∴|m﹣（﹣）|＝，
解得：m＝或﹣，
∴E（5，）或（0，﹣）；
综上所述，点E的坐标为（0，，）或（8，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，勾股定理，等腰三角形性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，分类讨论是解题的关键．
26．【分析】（1）由勾股定理求出BC＝10，由面积法可求出答案；
（2）在线段AF上取一点M，使AM＝AD，证明△ABD≌△ACM（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CM，∠B＝∠ACM，证明△EBD≌△FCM（SAS），由全等三角形的性质得出DE＝FM，则可得出结论；
（3）将△ABP逆时方向旋转60度到△NBH，则△BPH为等边三角形，当N，H，P，M共线时，PA+PB+PM有最小值，连接MN，过点N作NG⊥BM，交BM的延长线于点G，求出MN的长，则可得出答案．
【解答】（1）解：∵∠BAC﹣90°，AB＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴，
∴AD＝＝4.8；
（2）证明：在线段AF上取一点M，使AM＝AD，
∵AD⊥AF于点A，
∴∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM，∠B＝∠ACM，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∴∠ACM＝45°，
∵四边形BCFE是平行四边形，
∴BE＝CF，BE∥CF，
∴∠ACF＝∠BAC＝90°，
∴∠FCM＝45°，
∴∠B＝∠FCM，
∴△EBD≌△FCM（SAS），
∴DE＝FM，
∵AF＝AM+FM，
∴AF＝AD+ED；
（3）解：∵AB＝AC＝2，将△ABC沿直线BC翻折，
∴∠CBM＝∠ABC＝45°，AB＝BM＝2，
将△ABP逆时方向旋转60度到△NBH，则△BPH为等边三角形，
∴AB＝BN＝2，BP＝BH，
∴PA+PB+PM＝NH+PH+PM，
∴当N，H，P，M共线时，
连接MN，过点N作NG⊥BM，
∵∠NBH＝∠ABP＝45°，∠MBP＝45°，
∴∠GBN＝30°，
∴GN＝BN＝1，
∴GB＝，
∴GM＝6+，
∴MN＝＝＝+，
∴PA+PB+PM的最小值为+．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，平四边形的性质以及勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键．