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高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（二）函数性质的总和问题学案（Word版附解析）
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这是一份高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（二）函数性质的总和问题学案（Word版附解析），共8页。
例1 (1)(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为( )
A．(－2，4] B．(－3，5]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]
答案 C
解析 因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（a－2）＝0，,2b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，因为y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，所以f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等价于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq \f(5,2)(2)(2024·珠海二中阶段考试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有eq \f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)>0，记a＝f(1)，b＝eq \f(f（－2）,2)，c＝eq \f(f（3）,3)，则( )
A．c＜a＜b B．a＜b＜c
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
答案 B
解析 对任意两个不相等的正数x1，x2，不妨设x1＞x2，因为eq \f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)＞0，则x2f(x1)－x1f(x2)＞0，所以eq \f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1x2)＝eq \f(f（x1）,x1)－eq \f(f（x2）,x2)>0，即eq \f(f（x1）,x1)>eq \f(f（x2）,x2)，令g(x)＝eq \f(f（x）,x)，则函数g(x)＝eq \f(f（x）,x)是(0，＋∞)上的增函数，则g(1)＜g(2)＜g(3)，所以f(1)(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．
(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．
1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<0，,－2≤x－1≤0或x－1≥2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,0≤x－1≤2或x－1≤－2))或x＝0，解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．故选D.
2．(2023·开封模拟)f(x)为定义在R上的偶函数，对任意的x2>x1≥0，都有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，且f(2)＝4，则不等式f(x)>2|x|的解集为( )
A．(－∞，2)B．(2，＋∞)
C．(0，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 对任意的x2>x1≥0，都有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，则eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)－2＝eq \f([f（x2）－2x2]－[f（x1）－2x1],x2－x1)>0，令g(x)＝f(x)－2|x|，则g(x)＝f(x)－2|x|在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以g(－x)＝f(－x)－2|－x|＝f(x)－2|x|＝g(x)，即g(x)＝f(x)－2|x|为偶函数，又g(2)＝f(2)－2×|2|＝0，由f(x)>2|x|，可得g(x)＝f(x)－2|x|>0，即g(|x|)>g(2)，所以|x|>2，所以f(x)>2|x|的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.
例2 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 B
解析 因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B.
(2)(2024·浙江名校联盟第一次联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝0，eq \(∑,\s\up7(n),\s\d7(k＝1))f(k)＝111，则n的值为( )
A．107 B．118
C．109 D．110
答案 D
解析 对任意的x∈R，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2可得f(x＋3)＋f(x＋1)＝2，所以f(x＋3)＝f(x－1)，则f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(x＋2)为偶函数，所以f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(1)＝f(3)，因为f(1)＋f(3)＝2，则f(1)＝f(3)＝1，因为f(0)＋f(2)＝2且f(0)＝0，则f(2)＝2，所以f(1)＋f(2)＝3，因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，且111＝4×27＋3，因为eq \(∑,\s\up7(n),\s\d7(k＝1))f(k)＝27×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝111，故n＝4×27＋2＝110.故选D.
利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．
(2024·湖南名校联盟入学摸底考试)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是奇函数，f(x＋3)＝f(1－x)，f(0)＝－2，则eq \(∑,\s\up7(2023),\s\d7(k＝1))f(k)＝________．
答案 2
解析 因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，可得f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＋f(4)＝0，f(1)＋f(3)＝0，所以eq \(∑,\s\up7(2023),\s\d7(k＝1))f(k)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]－f(2024)＝－f(0)＝2.
例3 (多选)(2024·东莞第四高级中学检测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))恒成立．当x∈[2，3]时，f(x)＝x.则下列四个命题中正确的是( )
A．f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)
B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．当x∈[－3，－2]时，f(x)＝－x
D．当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|
答案 ACD
解析 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))得f(x)＝f(x＋2)，即f(x)是周期为2的周期函数，则f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)，故A正确；∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B错误；当x∈[－3，－2]时，－x∈[2，3]，则f(－x)＝－x＝f(x)，即此时f(x)＝－x，x∈[－3，－2]，故C正确；当x∈[0，1]时，x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，x∈[0，1]．∵函数f(x)是偶函数，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，此时f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，当x∈[－2，0]时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋2，x∈[－1，0]，,x＋4，x∈[－2，－1），))当x∈[－2，－1)时，f(x)＝3－|x＋1|＝3＋x＋1＝x＋4，当x∈[－1，0]时，f(x)＝3－|x＋1|＝3－x－1＝2－x，故D正确．故选ACD.
函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．
(多选)(2024·长沙模拟)已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且满足f(x＋3)＝f(1－x)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x＋1)是奇函数
B．函数f(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)是最小正周期为2的周期函数
D．若函数g(x)满足g(x)＋f(x＋3)＝2，则eq \(∑,\s\up7(2024),\s\d7(k＝1))g(k)＝4048
答案 ABD
解析 因为函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，所以函数f(x＋1)是奇函数，故A正确；因为f(x＋1)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故B正确；因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故C错误；因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(1)＋f(3)＝0，f(0)＋f(2)＝0，因为g(x)＋f(x＋3)＝2，所以g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝2－f(3)＋2－f(4)＋2－f(5)＋2－f(6)＝8－[f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝8－[f(3)＋f(0)＋f(1)＋f(2)]＝8，所以eq \(∑,\s\up7(2024),\s\d7(k＝1))g(k)＝506×[g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)]＝4048，故D正确．故选ABD.
例4 (多选)德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，))其中R为实数集，Q为有理数集．关于函数f(x)有如下四个命题，其中正确的是( )
A．函数f(x)是偶函数
B．∀x1，x2∈∁RQ，f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)恒成立
C．任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立
D．不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形
答案 ACD
解析 对于A，若x∈Q，则－x∈Q，满足f(x)＝f(－x)；若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，满足f(x)＝f(－x)，故函数f(x)为偶函数，A正确．对于B，取x1＝π∈∁RQ，x2＝－π∈∁RQ，则f(x1＋x2)＝f(0)＝1，f(x1)＋f(x2)＝0，故B错误．对于C，若x∈Q，则x＋T∈Q，满足f(x)＝f(x＋T)；若eq \a\vs4\al(x∈∁RQ)，则x＋T∈∁RQ，满足f(x)＝f(x＋T)，故C正确．对于D，△ABC要为等腰直角三角形，只可能有如下四种情况：①如图1，直角顶点A在直线y＝1上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，由等腰直角三角形的性质可知|x1－x2|＝1，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②如图2，直角顶点A在直线y＝1上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③如图3，直角顶点A在x轴上，斜边在直线y＝1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④如图4，直角顶点A在x轴上，斜边不在直线y＝1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形，故D正确．故选ACD.
解决与函数有关的新定义问题的策略
(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．
(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．
(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．
(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．
(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2.定义函数f(x)＝x－[x]，则( )
A．f(3)＝1
B．函数f(x)是周期函数
C．方程f(x)＝eq \f(1,2)在x∈[0，1)上仅有一个解
D．函数f(x)是增函数
答案 BC
解析 由题意知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(…,x＋1，－1≤x<0，,x，0≤x<1，,x－1，1≤x<2，,…))画出分段函数的图象，如图所示．
对于A，由定义可得f(3)＝3－[3]＝3－3＝0，故A不正确；对于B，由图象可知函数f(x)为周期函数，故B正确；对于C，函数y＝f(x)与y＝eq \f(1,2)的图象在x∈[0，1)上有一个交点，即方程f(x)＝eq \f(1,2)在x∈[0，1)上仅有一个解，故C正确；对于D，由图象可知f(0)＝f(1)，所以函数f(x)不是增函数，故D不正确．故选BC.考点
难度
2023
Ⅰ卷T4
单调性
易
Ⅱ卷T4
奇偶性
易
2022
Ⅰ卷T12
奇偶性、对称性
难
Ⅱ卷T8
奇偶性、周期性
难
2021
Ⅰ卷T13
奇偶性
易
Ⅱ卷T8
奇偶性、周期性
难
考向一 函数的奇偶性与单调性
考向二 函数的奇偶性与周期性
考向三 函数的周期性与对称性
考向四 与函数性质有关的新定义问题
例1 (1)(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为( )
A．(－2，4] B．(－3，5]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]
答案 C
解析 因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（a－2）＝0，,2b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，因为y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，所以f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等价于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq \f(5,2)
A．c＜a＜b B．a＜b＜c
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
答案 B
解析 对任意两个不相等的正数x1，x2，不妨设x1＞x2，因为eq \f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)＞0，则x2f(x1)－x1f(x2)＞0，所以eq \f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1x2)＝eq \f(f（x1）,x1)－eq \f(f（x2）,x2)>0，即eq \f(f（x1）,x1)>eq \f(f（x2）,x2)，令g(x)＝eq \f(f（x）,x)，则函数g(x)＝eq \f(f（x）,x)是(0，＋∞)上的增函数，则g(1)＜g(2)＜g(3)，所以f(1)
(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．
1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<0，,－2≤x－1≤0或x－1≥2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,0≤x－1≤2或x－1≤－2))或x＝0，解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．故选D.
2．(2023·开封模拟)f(x)为定义在R上的偶函数，对任意的x2>x1≥0，都有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，且f(2)＝4，则不等式f(x)>2|x|的解集为( )
A．(－∞，2)B．(2，＋∞)
C．(0，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 对任意的x2>x1≥0，都有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，则eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)－2＝eq \f([f（x2）－2x2]－[f（x1）－2x1],x2－x1)>0，令g(x)＝f(x)－2|x|，则g(x)＝f(x)－2|x|在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以g(－x)＝f(－x)－2|－x|＝f(x)－2|x|＝g(x)，即g(x)＝f(x)－2|x|为偶函数，又g(2)＝f(2)－2×|2|＝0，由f(x)>2|x|，可得g(x)＝f(x)－2|x|>0，即g(|x|)>g(2)，所以|x|>2，所以f(x)>2|x|的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.
例2 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 B
解析 因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B.
(2)(2024·浙江名校联盟第一次联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝0，eq \(∑,\s\up7(n),\s\d7(k＝1))f(k)＝111，则n的值为( )
A．107 B．118
C．109 D．110
答案 D
解析 对任意的x∈R，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2可得f(x＋3)＋f(x＋1)＝2，所以f(x＋3)＝f(x－1)，则f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(x＋2)为偶函数，所以f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(1)＝f(3)，因为f(1)＋f(3)＝2，则f(1)＝f(3)＝1，因为f(0)＋f(2)＝2且f(0)＝0，则f(2)＝2，所以f(1)＋f(2)＝3，因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，且111＝4×27＋3，因为eq \(∑,\s\up7(n),\s\d7(k＝1))f(k)＝27×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝111，故n＝4×27＋2＝110.故选D.
利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．
(2024·湖南名校联盟入学摸底考试)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是奇函数，f(x＋3)＝f(1－x)，f(0)＝－2，则eq \(∑,\s\up7(2023),\s\d7(k＝1))f(k)＝________．
答案 2
解析 因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，可得f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＋f(4)＝0，f(1)＋f(3)＝0，所以eq \(∑,\s\up7(2023),\s\d7(k＝1))f(k)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]－f(2024)＝－f(0)＝2.
例3 (多选)(2024·东莞第四高级中学检测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))恒成立．当x∈[2，3]时，f(x)＝x.则下列四个命题中正确的是( )
A．f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)
B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．当x∈[－3，－2]时，f(x)＝－x
D．当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|
答案 ACD
解析 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))得f(x)＝f(x＋2)，即f(x)是周期为2的周期函数，则f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)，故A正确；∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B错误；当x∈[－3，－2]时，－x∈[2，3]，则f(－x)＝－x＝f(x)，即此时f(x)＝－x，x∈[－3，－2]，故C正确；当x∈[0，1]时，x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，x∈[0，1]．∵函数f(x)是偶函数，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，此时f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，当x∈[－2，0]时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋2，x∈[－1，0]，,x＋4，x∈[－2，－1），))当x∈[－2，－1)时，f(x)＝3－|x＋1|＝3＋x＋1＝x＋4，当x∈[－1，0]时，f(x)＝3－|x＋1|＝3－x－1＝2－x，故D正确．故选ACD.
函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．
(多选)(2024·长沙模拟)已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且满足f(x＋3)＝f(1－x)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x＋1)是奇函数
B．函数f(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)是最小正周期为2的周期函数
D．若函数g(x)满足g(x)＋f(x＋3)＝2，则eq \(∑,\s\up7(2024),\s\d7(k＝1))g(k)＝4048
答案 ABD
解析 因为函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，所以函数f(x＋1)是奇函数，故A正确；因为f(x＋1)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故B正确；因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故C错误；因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(1)＋f(3)＝0，f(0)＋f(2)＝0，因为g(x)＋f(x＋3)＝2，所以g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝2－f(3)＋2－f(4)＋2－f(5)＋2－f(6)＝8－[f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝8－[f(3)＋f(0)＋f(1)＋f(2)]＝8，所以eq \(∑,\s\up7(2024),\s\d7(k＝1))g(k)＝506×[g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)]＝4048，故D正确．故选ABD.
例4 (多选)德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，))其中R为实数集，Q为有理数集．关于函数f(x)有如下四个命题，其中正确的是( )
A．函数f(x)是偶函数
B．∀x1，x2∈∁RQ，f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)恒成立
C．任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立
D．不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形
答案 ACD
解析 对于A，若x∈Q，则－x∈Q，满足f(x)＝f(－x)；若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，满足f(x)＝f(－x)，故函数f(x)为偶函数，A正确．对于B，取x1＝π∈∁RQ，x2＝－π∈∁RQ，则f(x1＋x2)＝f(0)＝1，f(x1)＋f(x2)＝0，故B错误．对于C，若x∈Q，则x＋T∈Q，满足f(x)＝f(x＋T)；若eq \a\vs4\al(x∈∁RQ)，则x＋T∈∁RQ，满足f(x)＝f(x＋T)，故C正确．对于D，△ABC要为等腰直角三角形，只可能有如下四种情况：①如图1，直角顶点A在直线y＝1上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，由等腰直角三角形的性质可知|x1－x2|＝1，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②如图2，直角顶点A在直线y＝1上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③如图3，直角顶点A在x轴上，斜边在直线y＝1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④如图4，直角顶点A在x轴上，斜边不在直线y＝1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形，故D正确．故选ACD.
解决与函数有关的新定义问题的策略
(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．
(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．
(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．
(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．
(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2.定义函数f(x)＝x－[x]，则( )
A．f(3)＝1
B．函数f(x)是周期函数
C．方程f(x)＝eq \f(1,2)在x∈[0，1)上仅有一个解
D．函数f(x)是增函数
答案 BC
解析 由题意知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(…,x＋1，－1≤x<0，,x，0≤x<1，,x－1，1≤x<2，,…))画出分段函数的图象，如图所示．
对于A，由定义可得f(3)＝3－[3]＝3－3＝0，故A不正确；对于B，由图象可知函数f(x)为周期函数，故B正确；对于C，函数y＝f(x)与y＝eq \f(1,2)的图象在x∈[0，1)上有一个交点，即方程f(x)＝eq \f(1,2)在x∈[0，1)上仅有一个解，故C正确；对于D，由图象可知f(0)＝f(1)，所以函数f(x)不是增函数，故D不正确．故选BC.考点
难度
2023
Ⅰ卷T4
单调性
易
Ⅱ卷T4
奇偶性
易
2022
Ⅰ卷T12
奇偶性、对称性
难
Ⅱ卷T8
奇偶性、周期性
难
2021
Ⅰ卷T13
奇偶性
易
Ⅱ卷T8
奇偶性、周期性
难
考向一 函数的奇偶性与单调性
考向二 函数的奇偶性与周期性
考向三 函数的周期性与对称性
考向四 与函数性质有关的新定义问题
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