高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（五）三角函数中有关ω的范围问题学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（五）三角函数中有关ω的范围问题学案（Word版附解析），共6页。


考向一 三角函数的单调性与ω的关系
例1 (2023·广东七校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcs(ωx＋φ)(ω>0，φ∈R)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上单调递增，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,3)))
答案 D
解析 根据正弦和角与差角公式化简函数式可得f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcs(ωx＋φ)＝sin[(ωx＋φ)＋φ]－2sinφcs(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)csφ＋cs(ωx＋φ)sinφ－2sinφcs(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)csφ－cs(ωx＋φ)sinφ＝sin(ωx＋φ－φ)＝sinωx(ω>0，φ∈R)．由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z)．由f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上单调递增，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≤π，,\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≥\f(3π,2)，,\f(1,2)×\f(2π,ω)≥\f(3π,2)－π，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ω≥－\f(1,2)＋2k，,ω≤\f(1,3)＋\f(4k,3)，,ω≤2))(k∈Z)．又ω>0，当k＝0时，可得0<ω≤eq \f(1,3)；当k＝1时，可得eq \f(3,2)≤ω≤eq \f(5,3).故选D.
根据函数的单调性求ω
(1)基本策略
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
(2)常用结论
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acs(ωx＋φ))的单调区间为(a，b)，则|a－b|≤eq \f(T,2)(T为最小正周期)．
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,8)是函数f(x)的一个零点，直线x＝eq \f(π,8)是函数f(x)图象的一条对称轴，若f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(π,4)))上单调，则ω的最大值是( )
A．14 B．16
C．18 D．20
答案 A
解析 设函数f(x)的最小正周期为T，因为x＝－eq \f(π,8)是函数f(x)的一个零点，直线x＝eq \f(π,8)是函数f(x)图象的一条对称轴，则eq \f(2n＋1,4)T＝eq \f(π,8)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝eq \f(π,4)，其中n∈N，所以T＝eq \f(π,2n＋1)＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝4n＋2，因为函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(π,4)))上单调，则eq \f(π,4)－eq \f(π,5)≤eq \f(T,2)＝eq \f(π,ω)，所以ω≤20.所以ω的可能取值为2，6，10，14，18.
①当ω＝18时，f(x)＝sin(18x＋φ)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9π,4)＋φ))＝0，所以φ－eq \f(9π,4)＝kπ(k∈Z)，则φ＝kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)，因为－eq \f(π,2)≤φ≤eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(18x＋\f(π,4)))，当eq \f(π,5)②当ω＝14时，f(x)＝sin(14x＋φ)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)＋φ))＝0，所以φ－eq \f(7π,4)＝kπ(k∈Z)，则φ＝kπ＋eq \f(7π,4)(k∈Z)，因为－eq \f(π,2)≤φ≤eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(14x－\f(π,4)))，当eq \f(π,5)考向二 三角函数的对称性与ω的关系
例2 (2024·福州模拟)若定义在R上的函数f(x)＝sinωx＋csωx(ω>0)的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,4)，\f(21,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(17,4)，\f(25,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,4)，\f(25,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,4)，\f(41,4)))
答案 A
解析 由已知，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))，令ωx＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝eq \f(（4k＋1）π,4ω)，k∈Z，依题意知，有5个整数k满足0≤eq \f(（4k＋1）π,4ω)≤π，即0≤4k＋1≤4ω，所以k＝0，1，2，3，4，则4×4＋1≤4ω<4×5＋1，故eq \f(17,4)≤ω利用函数的对称性求ω
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围．
已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的一条对称轴为直线x＝eq \f(π,3)，一个对称中心为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
答案 A
解析 ∵函数的对称中心到对称轴的最短距离是eq \f(T,4)，∴对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))到对称轴x＝eq \f(π,3)的距离用周期可表示为eq \f(π,3)－eq \f(π,12)≥eq \f(T,4)，又T＝eq \f(2π,ω)，∴eq \f(\f(2π,ω),4)≤eq \f(π,4)，∴ω≥2，当ω＝2时，f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))满足题意，∴ω有最小值2.
考向三 三角函数的最值(极值)与ω的关系
例3 (2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤eq \f(π,2)，－eq \f(π,4)为f(x)的零点，且f(x)≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))))恒成立，f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,24)))上有最小值，无最大值，则ω的最大值是( )
A．11 B．13
C．15 D．17
答案 C
解析 由题意，直线x＝eq \f(π,4)是f(x)图象的一条对称轴，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝±1，即eq \f(π,4)ω＋φ＝k1π＋eq \f(π,2)，k1∈Z ①，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝0，所以－eq \f(π,4)ω＋φ＝k2π，k2∈Z ②，由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，又f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,24)))上有最小值无最大值，所以T≥eq \f(π,24)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝eq \f(π,8)，即eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,8)，解得ω≤16.综上，先检验ω＝15，当ω＝15时，由①得eq \f(π,4)×15＋φ＝k1π＋eq \f(π,2)，k1∈Z，即φ＝k1π－eq \f(13π,4)，k1∈Z，又|φ|≤eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,4)，此时f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15x－\f(π,4)))，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,24)))时，15x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,8)))，当15x－eq \f(π,4)＝－eq \f(π,2)，即x＝－eq \f(π,60)时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．故ω的最大值为15.
根据函数的最值求ω
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
(2024·南通模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,6)))(ω>0)在[0，π]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，则ω的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，\f(5,3)))
解析 依题意，f(x)＝eq \f(1,2)sinωx－eq \f(\r(3),2)csωx＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))，由x∈[0，π]，ω>0，得－eq \f(π,3)≤ωx－eq \f(π,3)≤πω－eq \f(π,3)，函数y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递增，函数值的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(4π,3)))上单调递减，函数值的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，因为函数f(x)在[0，π]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，则eq \f(π,2)≤πω－eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，解得eq \f(5,6)≤ω≤eq \f(5,3)，所以ω的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，\f(5,3))).
考向四 三角函数的零点与ω的关系
例4 (2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝csωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
答案 [2，3)
解析 因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝csωx－1＝0，则csωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cst＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cst的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.
利用函数零点求ω
三角函数相邻两个零点之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值．
(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(13,6))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(19,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(19,6)))
答案 C
解析 依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，ωπ＋\f(π,3)))，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sinx，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，3π))的图象如图所示．则eq \f(5π,2)＜ωπ＋eq \f(π,3)≤3π，解得eq \f(13,6)＜ω≤eq \f(8,3)，即ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,6)，\f(8,3))).故选C.
考点
难度
2023
Ⅰ卷T15
知零点个数求ω的取值范围
中
Ⅱ卷T16
知图象求ω，进而求函数值
难
2022
Ⅰ卷T6
知周期对称性求ω，进而求函数值
中