高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（一）基本不等式的综合应用学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（一）基本不等式的综合应用学案（Word版附解析），共6页。

考向一 基本不等式与基本初等函数的综合
例1 (1)(2024·开封模拟)已知a>1，b>1，且lg2eq \r(a)＝lgb4，则ab的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
答案 C
解析 因为lg2eq \r(a)＝lgb4，所以lg2a·lg2b＝4，所以lg2(ab)＝lg2a＋lg2b≥2eq \r(lg2a·lg2b)＝4，当且仅当lg2a＝lg2b＝2，即a＝b＝4时取等号，所以(ab)min＝24＝16.故选C.
(2)已知角α，β均为锐角，tanβ＝eq \f(tanα,2)，则当tanα＝________时，tan(α－β)取得最大值________．
答案 eq \r(2) eq \f(\r(2),4)
解析 设tanβ＝k，则tanα＝2k，由角α，β均为锐角得k>0，tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(k,1＋2k2)＝eq \f(1,\f(1,k)＋2k)≤eq \f(1,2\r(\f(1,k)·2k))＝eq \f(\r(2),4)，当且仅当eq \f(1,k)＝2k，即k＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，此时tanα＝eq \r(2)，所以当tanα＝eq \r(2)时，tan(α－β)取得最大值eq \f(\r(2),4).
基本不等式与基本初等函数的常见衔接点
应用基本不等式求最值的关键点之一是“和或积为定值”，在基本初等函数中常见的与此有联系的点如下：
ax·ay＝ax＋y(a＞0，且a≠1)；lgax＋lgay＝lga(xy)(a＞0，且a≠1)；
sin2α＋cs2α＝1，tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)等．
(2023·日照一模)已知x>0，y>0，设p：2x＋2y≥4，q：xy≥1，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当x＝eq \f(1,3)，y＝2时，2eq \s\up7(\f(1,3))＋22≥4，满足2x＋2y≥4，但xy＝eq \f(1,3)×2＝eq \f(2,3)0，y>0时，1≤xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，即x＋y≥2，当且仅当x＝y时取等号，所以2x＋y≥22＝4，即2x·2y≥4，又4≤2x·2y≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋2y,2)))eq \s\up12(2)，当且仅当x＝y时取等号，解得2x＋2y≥4，所以p是q的必要条件．所以p是q的必要不充分条件．故选B.
考向二 基本不等式与向量、解三角形的综合
例2 (1)在△ABC中，E为AC上一点，eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))，P为BE上任一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)的最小值是( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案 D
解析 由题意可知eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋3neq \(AE,\s\up6(→))，P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,m)＋\f(1,n)))(m＋3n)＝6＋eq \f(9n,m)＋eq \f(m,n)≥6＋2eq \r(\f(9n,m)·\f(m,n))＝12，当且仅当m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,6)时，等号成立．所以eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)的最小值是12.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB＝－csC，求eq \f(a2＋b2,c2)的最小值．
解 因为sinB＝－csC>0，
所以eq \f(π,2)