重庆市育才中学2023-2024学年八年级下学期入学测试数学试题（解析版）

这是一份重庆市育才中学2023-2024学年八年级下学期入学测试数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 已知三角形的两条边长分别为2和6，则第三边的长可能是（ ）
A. 1B. 2C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边之间的关系求解即可．
本题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为x，根据三角形三边之间的关系，得
，
∴．
故选：C．
2. 小陶子们，“育才中学”这四个字中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：A、“育”不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、“才”不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、“学”不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题目主要考查二次根式加减乘除运算，根据运算法则依次判断即可，熟练掌握运算法则是解题关键
【详解】解：A、不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选：D
4. 将分式中的、的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的2倍C. 缩小为原来的2倍D. 扩大为原来的4倍
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，把x、y的扩大2倍的值代入分式，化简得结论．
【详解】解：由于中的、的值都扩大为原来的2倍，
，
分式值不变，
故选：A．
5. 如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴．
故选：B．
6. 使分式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，即分母不为零，根据分式有意义的条件可得出，即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据题意有：，
即，
故选：A．
7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A. 19B. 23C. 28D. 35
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，尺规作垂线，根据作图得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，根据的周长，求出结果即可．
【详解】解：由题意可得，垂直平分，
，
的周长，
，
，，
，
的周长是28，
故选：C．
8. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：B．
9. 如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，构造，使得，，当且仅当点A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，再利用面积计算求值即可．
【详解】如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，值最小，即边上的垂线段，
∵
∴，
∵，
∴．
∴当的值最小时，最小值为．
故选：C．
10. 若关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；…，则以下说法中：
①关于x的方程的两个解为，；
②关于x的方程的两个解为，；
③关于x的方程的两个解为，．
正确的有（ ）个．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，观察已知方程的解的特征确定出所求方程的解即可．
【详解】解：①由题意得，关于x的方程的两个解为，正确；
②关于x的方程即为，
由题意得它的两个解为或，
∴，，正确；
③关于x的方程即为，
∴，
∴，
∴它的两个解为或，
∴，，正确；
所以正确的有①②③，共3个，
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 流感是由于流行性感冒病毒引起的一种急性呼吸系统传染性疾病，流感病毒的最大直径是0.00000012米．数字0.00000012用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数字0.00000012用科学记数法表示为，
故答案为：．
12. 计算：＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．
13. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：．
故答案为：
14. 若，则的值是 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，变形代入计算即可．
【详解】，
故，
故答案为：7．
15. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据数a、b在数轴上的位置确定，，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项．
【详解】根据数轴，得，
，，
故答案为：．
16. 关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先解不等式组，根据不等式组至少有个整数解，确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定的值，从而求出符合条件的所有整数的和，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解的情况是解题的关键．
【详解】解：
解得，，
解得，，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为，
又∵不等式组至少有个整数解，
∴，
解得，
由分式方程两边都乘得，，
整理得，，
当时，方程的解为，且 ，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或或或或，
∴或或或或
∵，
∴不合，舍去，
∴符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
17. 如图，在中，，D是线段上的一点，连接．将沿折叠，使点A落在E处，与交于F，当时，若，，则线段的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先证，则，由折叠的性质可得，进而可得，则，，则．再证，则可得，即可求出的长．
本题主要考查了轴对称的性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
又，
，
．
∵沿折叠得，
，
又，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可得，，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
18. 若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同且均不为0，则称这个四位数为“对称数”，则最小的对称数为 __；若，均为“对称数”，且的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于，则的最大值为 __．
【答案】 ①. 1221 ②. 5445
【解析】
【分析】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．难点是根据的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于列出等式并进行合理整理．
求最小的对称数，那么千位数字应该最小，取数字1，个位数字也为1；那么百位数字可取比较小的数字2，十位数字也是2，可得最小的对称数1221；设的千位数字和百位数字，的千位数字和百位数字，根据的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于列出相关等式，整理后判断即可．
【详解】解：求最小的对称数，
千位数字应该最小，取数字1，个位数字也为1．
百位数字可取比较小的数字2，十位数字也是2．
最小的对称数为；
设的千位数字和百位数字分别为和，的千位数字和百位数字分别是和．
的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于，
．
．
．
．
．
和均为整数，
为9的倍数．
求的最大值，四个数字不全相同且均不为0，
①取8，那么．
．
，
．
解得：．不合题意，舍去．
②取7，那么．
．
不能继续分解，
不合题意，舍去．
③取6，那么．
．
．
．
解得：．
，
不合题意，舍去．
④取5，那么．
．
．
．
解得：．
．
故答案为：1221，5445．
三、解答题：（本大题8个小题，共78分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 如图，在中，，，点为边的中点，交的延长线于点，连接．
（1）用直尺和圆规作的平分线交于点（不写作图过程，保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明：
证明：∵，，
∴ ① 与，
∵是的平分线，∴，
∵
∴ ② ，
∴
∴ ③
∵点为的中点，∴ ④ ，
在和中，
∴
∴
【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质．熟悉基本几何图形与掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到与，再根据角平分线的定义得到，接着利用得到，从而证明，即可得到．
【小问1详解】
如图，为所作．
【小问2详解】
∵，，
∴与，
∵是的平分线，∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵点为的中点，∴，
在和中，，
∴
∴．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值；先对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，再进行加减运算，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
22. 苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元．
（1）求第一次所购进苹果每千克多少元？
（2）店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值．
【答案】（1）第一次所购进的苹果每千克5元
（2）y的最大值为15
【解析】
【分析】（1）设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据“第二次购进数量是第一次购进数量的3倍”列方程求解即可；
（2）由题意得第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据“该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元”列不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出关于y的一元一次不等式．
【小问1详解】
解：设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据题意，得
，
解得，
经检验：是所列方程的解．
答：第一次所购进的苹果每千克5元．
【小问2详解】
解：知第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据题意，得
，
解得，
∴y的最大值为15．
23. 在中，，，直线l经过点A．
（1）如图1，过点B作于点D，过点C作于点E．求证：；
（2）如图2，过点B作于点F，连接，已知，，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）72
【解析】
【分析】（1）根据证明，即可得，，进而可得；
（1）过点C作于点E．根据证明，即可得．在中，根据勾股定理求出的长，则可得的长，进而可求出的面积．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定和性质以及勾股定理时解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
，
，
又，
，
．
在和中
，
，
，，
，
．
【小问2详解】
解：如图，过点C作于点E．
∵，，
，
，
又，
，
，
在和中
，
，
，
∵，
，
，
．
24. （1）如图1，从边长为a正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后剩余部分刚好拼成一个长方形（图2），上述操作所能验证的公式是_______．
（2）已知,，，求的值；
（3）如图3，长方形由三个正方形，两个长方形组成（两个正方形X，和两个长方形Z分别全等）．若正方形X的边长为5，长方形Z的面积为12，求长方形的面积．
【答案】（1）；（2）（3）87
【解析】
【分析】（1）根据面积法可得；
（2）根据已知条件求出的值，进而可得的值；
（3）由“长方形Z的面积为12”可得 ，再根据正方形Y的边长可以表示为，也可以表示为，可得，进而可得．最后根据，展开之后，将，整体代入求值即可．
本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，掌握数形结合法，利用面积相等或边长相等得出和是解题的关键．
【详解】解：（1）图1中，
图2中，
∴上述操作所能验证的公式是，
故答案为：．
（2）∵，，
，
，
，
．
（3）∵长方形Z的面积为12，
，
∵正方形Y的边长，
，
．
25. 数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．
（1）勾股定理的证明方法有很多种，如图1是“总统法”（半弦图）——将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而证明出勾股定理；
（2）若线段上有一点C，，，，求的最小值．
【答案】（1）见详解 （2）41
【解析】
【分析】（1）两种不同的方法表示出梯形的面积，即可证明出勾股定理；
（2）在线段的同侧构造和，，使且， ，则，．从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，即可解答．
本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键．
【小问1详解】
解：方法一：，
方法二：
，
∴，
，
即，
∴．
【小问2详解】
解：如图，在线段的同侧构造和，，使且， ，则
，．
延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，作，交延长线于点F．
∵，，
∴，
∴（当、C、E三点共线时，取“=”号）
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
∴，
∴，
∴最小值为41，即最小值为41．
26. 已知为等边三角形．
（1）如图1，E为上一点，连接，F为上一点，连接并延长交于点D．若，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，在直线右侧取一点G，使得为等边三角形，过点G作，垂足为H，写出、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，M为直线右侧一点，，连接，以为斜边，构造等腰直角三角形，过点C作于P，过点N作于O，其中，，请直接写出的面积．
【答案】（1）见详解 （2），理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）先证，该根据证明，即可得．
（2）将绕点C顺时针旋转至，则可得时等边三角形，则，，，，则可得F、、G三点共线，则．在中，由勾股定理可得，则可得
．
（3）将绕点C顺时针旋转至，连接，则可得是等边三角形，且，则可得，，由
可求得，进而可得．在中可求得
，，则可得，进而可求出的面积
【小问1详解】
证明：∵为等边三角形，
，，
，
又，
，
，
．
【小问2详解】
解：∵为等边三角形，
∴，．
如图，将绕点C顺时针旋转至，
则，，，，
时等边三角形，
，，
又，
，
∴F、、G三点共线，
．
中，，，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：∵为等边三角形，
∴，．
如图，将绕点C顺时针旋转至，连接，
则，，，
是等边三角形，
，，
，
，
．
∵是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得，
．
中，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．