重庆市第七中学校2023-2024学年八年级下学期入学数学试题（解析版）

这是一份重庆市第七中学校2023-2024学年八年级下学期入学数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 4的算术平方根是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：4的算术平方根是，
故选：A．
2. 在实数0，，，中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的判断，无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
B. 是有理数，不合题意；
C. 是有理数，不合题意；
D. 0是有理数，不合题意．
故选：A
3. 估计的值（ ）
A. 1到之间B. 到3之间C. 3到之间D. 到5之间
【答案】B
【解析】
【分析】直接得出2的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵2=，
∴3＜＜4，
∴2-1值应在2和3之间．
故选B．
【点睛】此题考查估算无理数的大小，正确得出2的取值范围是解题关键．
4. 如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别用面积公式表示出阴影部分图形的面积和梯形面积即可得出答案.
【详解】∵左边阴影面积为
右边梯形面积为
∴
故答案选择A.
【点睛】本题考查的是平方差公式的几何意义：.
5. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 如果，那么a=bB. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C. 相等的两个角是对顶角D. 平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断即可确定正确的选项．
【详解】A．如果，那么，故原命题为假命题，该选项不符合题意；
B．两直线平行，同位角才相等，故原命题为假命题，该选项不符合题意；
C．相等的两个角不一定是对顶角，故原命题为假命题，该选项不符合题意；
D．平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故为真命题，该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系等知识，难度不大．
7. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，，的周长为9，则的周长为（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，由三角形周长公式得到，进而得到，则的周长．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于，两点，
∴，
∵的周长为9，
∴，
∴，
∴，
∴周长，
故选：C．
8. 已知：，则p，q的值分别为（ ）
A. 5，3B. 5，−3C. −5，3D. −5， −3
【答案】D
【解析】
【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
【详解】由于=2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3=，
则p=-5,q=-3,
故答案选D.
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．
9. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）
A. 36°B. 77°C. 64°D. 38.5°
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠ADB，根据等边对等角可得∠C＝∠CAD，然后利用三角形内角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】∵AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B=（180°－∠BAD）＝（180°－26°）＝77°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠CAD，
在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
即26°＋∠C＋∠C＋77°＝180°，
解得：∠C＝38.5°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等、等边对等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10. 对于五个整式，A：；B：；C：；D：；E：有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在实数x，y，使得的值为；③若关于x的多项式（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定不小于；④若，则．上述结论中，正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解．
【详解】解：①，
当时，．故①错误；
②当，
即，
∴，
当，时满足要求．故②正确．
③∵
，
∵不含x的一次项，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
整理：，
即2x=y或，故④错误，
综上，只有②③是正确的，即有2个正确．
故选：B．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
11. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式即可．
详解】解：．
故答案为：．
13. 分式的值为0，则x的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的值等于0的条件，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了若分式的值为零，解题的关键是：掌握分式值为零的条件，需同时具备两个条件：一是分子为0，分母不为0，二者缺一不可．
14. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为___．
【答案】3．
【解析】
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E；首先运用角平分线的性质证明CD=DE；其次求出DE的长度，即可解决问题．
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于点E；
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE；
∵，且AB＝10，
∴DE＝3，CD＝DE＝3．
故答案为3．
【点睛】该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线．
15. 若，，则的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据完全平方公式，将变形为是解题的关键．
先将变形为，再将变形为，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
∵
∵
∴
故答案为：5．
16. 如图，在等边中，，分别在边、上，满足，连接、交于点，则的度数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，先根据证得，得到，再利用外角的性质即可求解，证明得到是解题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 若关于的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解和完全平方式，根据题意是一个完全平方式，得，求出的所有可能值；再根据分式方程的解为整数，确定的值即可．
【详解】是一个完全平方式，
，
或．
分式方程的解是，是整数，
是2的倍数，
又是原分式方程的增根，
，
，
故答案为：4．
18. 如果一个自然数M的各位数字均不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“吉祥数”．如，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，所以572是“吉祥数”．根据以上信息，最小的“吉祥数”是______；设，，若能被9整除，则M的最大值为______．
【答案】 ①. 187 ②. 2915
【解析】
【分析】本题考查了自定义的运算，根据能被9整除求出的可能的值是解题的关键．
（1）由题意可知，最小的“吉祥数”十位数字是1，个位数字分别为1和7，即，求解即可．
（2）设的十位数为，个位数为，则为，根据能被9整除求出的可能的值，再由的值求出的值即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，最小的“吉祥数”十位数字是1，个位数字分别为1和7，
∴最小的“吉祥数”是；
设，则，
∴，
∵能被9整除，
∴为整数，
∴，
∴是9的倍数，
∴，
当时，有，
∴是6的因数，
∴或3，
当时，，
当时，，
∴的最大值为2915．
故答案为：187；2915．
三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
（1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简合并即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则、运算顺序是解决本题的关键．
（1）利用积的乘方、同底数幂的乘除法法则计算即可；
（2）利用单项式乘多项式法则、乘法的平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：


．
21. 尺规作图并完成证明．如图，点，、点在外，连接、、，且，，．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明：∵平分，
∴______．
∵，
∴______，
∴．
∴______．
在和中，
∵
∴（ ）
∴．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据基本作图作已知角平分线的作法作出，再连接即可；
（2）先由角平分线定义与平行线的性质证得，从而得到，然后利用证，则全等三角形的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解： 如图所示，
小问2详解】
证明：平分，
．
．
．
．
．
在和中，
．
．
【点睛】本是考查尺规基本作图--作已知角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键．
22. 先化简，然后从中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的运算进行化简，再根据分母不为零代入一个数求解．
【详解】解：
∵，且x为整数
∴，，0，1，2
∵，，
∴，
当时，原式．
【点睛】此题主要考查分式的混合运算以及化简求值，解题的关键是熟知分式运算法则．
23. 为更好的引导学生，促进学生身心健康和全面发展，某校对全体学生进行了心理健康评估．为了解学生的成绩分布情况，随机抽取了部分学生，对他们的成绩进行调查，并分为了四组：分（表示大于等于60同时小于70，后续同样）为A组，分为B组，分为C组，分为D组．张老师根据调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中随机抽取的学生总人数为________；
（2）请通过计算补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中组所在扇形心角的度数．
【答案】（1）60 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图和扇形统计图有关知识，从图表得到数据和数据之间的数量关系是解决问题的关键．
（1）根据A组扇形统计图所占的百分比，结合频数分布直方图中A组的人数可求出调查的总人数．
（2）根据B组圆心角的度数求出B组所占的百分比，依据（1）的总人数，算出B组频数和D组频数，然后补全频数分布直方图即可解题．
（3）根据组的频数占比与对应的圆心角占圆周角的占比相等，即可求出圆心角．
【小问1详解】
解：由题意可知：（人），
故答案为：60．
【小问2详解】
解：组的人数为（人），
组的人数为（人），
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：扇形统计图中组所在扇形圆心角的度数为：．
24. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个元，足球售价为每个元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？
【答案】（1）足球单价为元，篮球单价为元；
（2）获利超过元，篮球最少要卖个．
【解析】
【分析】（）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价；
（）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列不等式即可；
本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找准等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式．
【小问1详解】
解：设足球单价为元，则篮球单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则，
答：足球单价为元，篮球单价为元；
【小问2详解】
解：设购买篮球个，则购买足球个，
由题意得：，
解得，
∵为整数，
∴篮球最少要卖个，
答：获利超过元，篮球最少要卖个．
25. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉的距离AB的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路的最短距离．
【答案】（1）350 m
（2）150 m
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理及其逆定理、垂线段最短解答．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短解答即可．
【小问1详解】
解：如图，过M作于N，
在中，，
∴，
在中，，
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长是；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴喷泉B到小路的最短距离是．
26. 如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接．

（1）若，求点D到边的距离；
（2）如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：；
（3）如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）延长，过点作于点E，根据等边三角形性质求出，，根据等腰直角三角形性质求出，，求出，根据，根据含角的直角三角形性质求出；
（2）在上截取，连接，，证明，得出，根据即可证明结论；
（3）过点A作，截取，连接，过点C作于点E，证明，得出，得出，求出当、M、P三点共线时，最小，然后求出此时的面积即可．
【小问1详解】
解：延长，过点作于点E，如图所示：

∵为等边三角形，
∴，，
∵等腰三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点D到边的距离为．
【小问2详解】
解：在上截取，连接，，如图所示：

∵为等边三角形，
∴，，
∵为等腰三角形三角形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：过点A作，截取，连接，过点C作于点E，如图所示：

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当、M、P三点共线时，最小，
根据（2）可知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形面积的计算，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．