吉林省长春博硕学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（ ）

A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由数轴可知在的左边，即，然后逐项分析即可作答．
【详解】解：由数轴可知，
观察各项，则，
只有A选项的满足条件，即
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴与有理数，难度较小，熟练掌握数轴的左边数小于在数轴的右边数是解题关键．
2. 海洋是地球上最广阔的水体的总称，海洋的中心部分称作洋，边缘部分称作海，彼此沟通组成统一的水体．地球上海洋面积约，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则对各选项进行解答即可．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、和不是同类项，不能合并；
故选：A．
4. 下列四个图形中，可以看做一个长方体包装盒的表面展开图的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方体的表面展开图的特点，有4个长方形的侧面和上下两个底面组成．
【详解】根据长方体的表面展开图的特点，相对的面是完全相同的，结合选项可得，A选项可以看做一个长方体包装盒的表面展开图，B、C、D选项均不符合，
故选：A．
【点睛】本题考查长方体的展开图，关键是掌握长方体的表面展开图的特点，相对的面是完全相同的．
5. 如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（ ）
A. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出ab．
【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b
∴ab（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
故答案为B．
【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键．
6. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高的长为（ ）
A. 厘米B. 厘米C. 厘米D. 厘米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
先根据等腰三角形的三线合一性质得到的长，再利用正切定义求解即可．
【详解】解：，，
，
在中，，
，
故选：A．
7. 如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）
A. △CDFB. △CDKC. △CDED. △DEF
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程和等腰三角形定义进行分析即可.
【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.
故选：A
【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.
8. 如图，点、点均在反比例函数的图象上，分别连结、，若，则点的坐标为（ ）
A. 2,1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．
把点代入反比例函数的解析式，求出的值，再由点在反比例函数的图象上设，过作轴，过作于，则，，，用表示出及的长，判定，由相似三角形的对应边成比例即可得出的值，进而得出点坐标．
【详解】解：点在反比例函数，
，
，
反比例函数的解析式为，
设，
过作轴，过作于，，
，
，
，
，
，即，
解得，（舍去），
故选：C．
二、填空题（每小题3分共18分）
9. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式与公式法综合运用分银因式，熟练掌握用提公因式与公式法分解因式是解题的关键，注意分解因式要彻底．
10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键．
11. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2x＋2＜0，得：x＜−1，
解不等式−x＋13，得：x-2，
故不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得 ，进行计算即可得，理解题意，将实际问题转化为数学问题，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x，
由相似三角形的性质得，，
，
解得，
故答案为：4．
13. 如图，的周长为8，对角线，交于点，延长到点，使，连结，过点作于点，连结，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理及其应用．
根据平行四边形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为8，
，
，
∴是等腰三角形，
，
，
∴是的中位线，
，
故答案为：2．
14. 如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）距离水池面米，且与的水平距离为米．小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
先由题意可知抛物线过点，顶点为点，用待定系数法可求得解析式；再根据两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且经过点0,2，设的解析式为，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；设无人机的横坐标为，根据题意列出不等式：和，求解即可．
【详解】解：由已知可得：抛物线过点，，
设其解析式，
把代入得：，
解得，
，
抛物线的解析式为：，
令时，，，
∴，
由两条抛物线的形状相同，设的解析式为，
已知经过点，
∴的解析式为，
两条抛物线顶点的纵坐标相同，
，
解得，
的解析式为①或②，
当时，
①，解得，，；
②，解得，，；
由图可知的顶点的横坐标小于，故舍去①，
的解析式为，
∴，
由题意可得：，
解得：，
又，
解得：，
，
故答案为：．
三、解答题
15. 先化简，再求值：（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x=3，y=﹣2．
【答案】，36
【解析】
【分析】根据平方差公式及完全平方公式化简，再将x，y的值代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
当x=3，y=﹣2时，原式=．
【点睛】本题考查了平方差公式以及完全平方公式的计算，解题的关键是掌握平方差公式及完全平方公式．
16. 嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”．2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来!小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为 ；
（2）小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．
【答案】（1）；（2）抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率为．
【解析】
【分析】（1）根据概率公式及题意可直接进行求解；
（2）画出树状图可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为；
故答案为；
（2）由题意可得如下树状图：
∴抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
17. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【解析】
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的根．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点E作于点G，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用和，使用证明，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质可知，，再由求出，采用勾股定理求出的长，即的长，再用等面积法求出的长．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
过点E作于点G
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用等面积法求高是本题的解题技巧，掌握平行四边的判定与性质是解题的关键．
19. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：）如下表：
两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：
根据图表信息回答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）这两名同学中，______的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择______同学参赛，理由是：__________________________；
（4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择______同学参赛，理由是：__________________________．
【答案】（1）
（2）甲 （3）甲，成绩在或以上的次数甲多
（4）乙，成绩在或以上的次数乙多
【解析】
【分析】本题考查平均数和方差的意义．平均数表示数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得、、的值即可；
（2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立；
（3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在或以上的次数多，就选哪位运动员参赛；
（4）若预测跳高方可获得冠军，则看哪位运动员的成绩在以上的多即可．
【小问1详解】
解：；
，
∵出现了3次，最多，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定，
故答案为：甲；
【小问3详解】
解：应选择甲，理由如下：
若跳高就获得冠军，那么成绩在或以上的次数甲多，则选择甲，
故答案为：甲，成绩在或以上的次数甲多；
【小问4详解】
解：应该选择乙，理由如下：
若才能获得冠军，那么成绩在或以上的次数乙多，则选择乙．
故答案为：乙，成绩在或以上的次数乙多．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，在边上找一点，使．
（2）在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且．
（3）在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关键．
（1）只需将线段分成的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接即可；
（2）只需找到和靠近点的三等分点，根据相似三角形的性质，找到的三等分点，连接即可；
（3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图.
【小问1详解】
解：点即为所求；
【小问2详解】
解：点、即为所求；
【小问3详解】
解：的面积为：，
、、的面积相等，
、、的面积都为：，
的高为：，的高为：，
∵，
∴，且相似比为，
，
点即为所求.
21. 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为______km，______h；
（2）求与的函数关系式；
（3）在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？
【答案】（1）85，1.7；（2）；；（3）0.6h
【解析】
【分析】（1）把A到B、B到C间的距离相加即可得到A、C两个港口间的距离，再求出海巡船的速度，然后根据时间=路程÷速度，计算即可求出a值；
（2）分0＜x≤0.5和0.5＜x≤1.7两段，利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（3）根据函数解析式求出距离为15km时的时间，然后相减即可得解．
【详解】解：（1）由图可知，A、B港口间的距离为25，B、C港口间的距离为60，
所以，A、C港口间的距离为：25+60=85(km)，
海巡船的速度为：25÷0.5=50(km/h)，
∴a=85÷50=1.7(h)．
故答案为：85，1.7；
（2）当0＜x≤0.5时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0），
∴，
解得，
所以，y=-50x+25；
当0.5＜x≤1.7时，设y与x的函数关系式为：y=mx+n，
∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60），
∴，
解得，
所以，y=50x-25；
故y=；
（3）由-50x+25=15，
解得x=0.2，
由50x-25=15，
解得x=0.8．
所以，该海巡船能接受到该信号的时间为0.6h．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量，比较简单，理解题目信息是解题的关键．
22. 已知矩形纸片，，．将矩形纸片折叠，点的对应点为点，折痕为．
操作一：如图①，如果折痕分别与、交于点、，且点E落在CD上，，则___________．
操作二：如图②，如果折痕分别与、交于点、，连结，设交于点，点的对应点为点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）连结，若点到直线的距离与的长相等，则___________．
【答案】操作一：；操作二：（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，梯形的中位线定理，灵活运用这些知识是解题的关键．
操作一：利用折叠的性质和勾股定理求解即可；
操作二：（1）利用折叠的性质，矩形的性质和菱形的判定定理解答即可；
（2）利用折叠性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理和梯形的中位线定理解答即可.
【详解】操作一：在矩形中，．
根据轴对称的性质，得．
∴．
在中，
，
故答案为：；
操作二：（1）四边形是菱形．理由是：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）连接，过点作于点，如图，
则，
由（1）知，
∴是梯形的中位线，
∴，
设，则，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：
23. 如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点C运动，到达点C停止．过点D作于点H，作点A关于的对称点E，连结．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，设点D的运动的时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示的长；
（2）点F落在内部时，求t的取值范围：
（3）当F到直线的距离为1时，求t的值；
（4）取的中点M，当点M落在的中位线所在直线上时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）或或
【解析】
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，根据题意，画出图形，熟练利用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由对称的性质可知，进而得出结论；
（2）找到临界点，当点正好落在上时，画出图形，过点作于点，再根据相似和全等得出的长，建立方程即可得出结论；
（3）分两种情况：当点在内部时，当点在外部时，作出图形，求解即可；
（4）分三种情况，画出图形，分别求解即可得出结论．
小问1详解】
解：由点的运动可知，
点关于的对称点，
；
【小问2详解】
解：在中，，，，
，
当点正好落在上时，过点作于点，
，
由旋转可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
，解得；
点落在内部时，的取值范围；
【小问3详解】
解：分两种情况：
①当点在内部时，如图2，过点F作于点Q，交于点，
，，
，即，
解得，
，
解得；
当点在外部时，如图3，过点F作于点Q，交于点，
，，
，即，
解得，
，
解得；
综上，当到直线的距离为1时，t的值为或；
【小问4详解】
解：点是的中点，过点作于点，
则，，，
；
分三种情况：
①取的中点O，取的中点，连接，过点E作于点K，交于点P，过点F作于点Q，如图，
由题意可知，点是的中点，
∵，
∴，
∵
∴
∴，，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
②取的中点L，取的中点，连接，过点E作于点K，过点F作于点Q，交于点N，如图，
则四边形是矩形，
∴，
由①可知，，，
∴，，
∴，
解得；
③取的中点L，的中点J，作直线，过点作于点N，过点M作于点Q，如图，
则四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴；
综上，当点落在的中位线所在直线上时t的值为或或．
24. 已知二次函数的图象经过点，．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）当抛物线上、两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求的值；
（4）点在抛物线上，其横坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，分别连接，，，当与的面积相等时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法将、两点代入解析式求出，即可得解；
（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由可以判断得解；
（3）依据题意，将m分情况讨论计算即可解得；
（4）分别写出、、、的坐标，与的面积相等，所以到的距离等于到的距离，可得的值．
【小问1详解】
解：由题意，将，代入得，
，，
，，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由题意，抛物线，
抛物线开口向上，当时，，
当时，，
∵，
∴当时，；
【小问3详解】
由题意得，，
①当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为，
，
解得：，（舍去），
②当时，、两点之间部分的最大值为或，
显然最小值是时不合题意，
最小值为，
，
解得：或，
时，、两点之间部分的最小值为，
③当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为，
，
解得：，，
，．
综上，满足题意得的值为：或；
【小问4详解】
由题意得，，，，
设，
，
解得：，，
，
与的面积相等，
到的距离与到的距离相等，
到的距离，
到的距离，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上，满足题意得的值为：或．
【点睛】本题主要考查待定系数法、二次函数的性质、解一元二次方程、化简绝对值以及分类讨论思想，应用分类讨论是解题的关键．
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
169
165
168
169
172
173
169
167
乙
161
174
172
162
163
172
172
176
学生/成绩/名称
平均数（单位：）
中位数（单位：）
众数（单位：）
方差（单位：）
甲
169

乙
169
172