浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

这是一份浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版），共32页。试卷主要包含了全卷共三大题，24小题，考试时不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
数学试题卷
1．全卷共三大题，24小题．满分120分，考试时间120分钟．
2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．
3．考试时不能使用计算器．
第I卷（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1. 二次函数的图象经过点，则a的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
将代入解析式求解．
【详解】解：将代入得，
∴，
故选：A．
2. 一个不透明的盒子内装有1个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及出现相同颜色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中出现相同颜色的结果有3种，
∴出现相同颜色的概率为．
故选：C．
3. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为（ ）
A. ，B. ， C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算．连接，根据正六边形的性质求出是等边三角形，根据弧长公式可求出弧的长，根据等边三角形的性质可得，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，即可．
【详解】解：连接，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴是等边三角形，弧的长为，
∴，
，
∴，
∴
故选：D．
4. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】过O作于N，过D作于M，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：过O作于N，过D作于M，如图所示：
则米，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，,，
设该圆的半径长为r米，
根据题意得，
解得：,
即门洞的半径长为米，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
5. 如图，中，于点，点为线段，上两点，满足，则的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作交延长线于点F，可证得，则有，可求得，结合平行线的性质可证得，根据等角对等边得，利用平行线性质得，则有即可求得答案．
【详解】解：过点C作交延长线于点F，如图，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等角对等边以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线和熟练平行线的性质．
6. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的意义，先根据已知条件推出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
．
7. 如图，在矩形ABCD中，点是边BC的三等分点，点是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形性质得到，即可得到，从而得到即可判断①②，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断③④，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是边的三等分点，点是边CD的中点，
，
设，则，
∴，故①正确，②错误；
∵，
∴，
同理可得：，
∵，
设，则，
∴，
∴，故③正确，④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8. 如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质；过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，设，证明，求得的值，即可求得结果．
【详解】解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
则；
设，
则，；
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴或（舍去），
∴；
故选：B．
9. 如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆、解直角三角形，扇形面积的计算，连接，，作于，根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
详解】解：如图，连接，，作于，
，
正六边形是的内接正六边形，
，，
的半径为2，
，
为等边三角形，
，
正六边形的面积是：，
图中阴影部分的面积是：，
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，根据，得到点在以为直径的圆上运动，当与相切时，得到的运动轨迹为，进行求解即可．
【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∴点在以为直径的上运动，
当点在上运动一周时，点的运动路径为以与相切时，与的两个交点所夹的，如图：
当与相切时，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
∴的长度为：；
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，解直角三角形，圆周角定理，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是确定点的运动轨迹．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11. 已知，且，则的值为____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．利用设k法进行计算，即可解答．
【详解】解：设
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：6．
12. 某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示，则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为_________．（结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求解．
【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，
∴任取一粒麦粒，它能发芽的概率约为0.95，
故答案为：0.95．
13. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、不规则图形的面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是解题关键．根据勾股定理求出的长，分别求出三个半圆的面积和的面积，用两小半圆与直角三角形的和减去大半圆的面积，即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：15．
14. 燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图所示，图是在打开状态时的示意图，图是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：），则从打开到闭合，之间的距离增加了_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，证明四边形是矩形，求得，再证明，利用相似三角形的性质求得，进而作差即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】图中，∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
图中，∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴之间的距离增加了，
故答案为：．
15. 如图，为的直径，为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，．若，则______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．
由于点E、F分别为的中点，根据垂径定理可得垂直平分垂直平分，再由直径所对的圆周角是直角得出都是等腰直角三角形，根据，设未知数，表示，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，分别交，于点，．
，分别为，的中点，
垂直平分，垂直平分．
又为的直径，，
，
，
，
，，，都是等腰直角三角形．
，
．
设，则，由勾股定理可得．
又，，，
，，
，．
又，
，
解得，
．
16. 如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ____________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；方法一，，作，，确定的最大值和最小值．方法二，延长交于点，求得，得到，，当与相切时，取得最大和最小，据此求解即可．
【详解】解：方法一，作于，作于，

，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
如图，

连接，，，
可得：四边形是正方形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
如图，

由上知：，，
，
，
，
．
故答案为：．
方法二：延长交于点，

∵，，、分别垂直于的两边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当与相切时，取得最大和最小，
连接，作，
可得：四边形是正方形，
，
在中，，，
，
∴的最大值为，
同理，的最小值为．
．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：
（1）；
（2）已知线段，，线段c是线段，的比例中项，求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，以及成比例线段，熟记相关结论是解题关键．
（1）根据各特殊角的三角函数值，据此即可求解；
（2）由题意得，据此即可求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：∵线段c是线段，的比例中项，
∴
即：
∴
解得：或（舍）．
18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，画出旋转后的．并求出、的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】此题考查了画原点对称的图形，旋转图形，
（1）根据原点对称的性质得到点，顺次连线即可得到；
（2）根据旋转的性质确定点，顺次连线得到，以及点、的坐标；
正确掌握中心对称的性质及旋转的性质是解题的关键．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求，．
19. 年杭州亚运会球类比赛中，有排球，篮球，足球，羽毛球，乒乓球五种比赛很受我校同学们喜爱．小熙同学随机对我校同学在亚运会期间最想观看的一种球类比赛做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）请补全条形统计图；
（2）若我校学生约有人，试估计想观看种比赛的学生约有________人．
（3）小熙同学在月号到杭州观看亚运会比赛，发现当天有比赛的是四种比赛，若从中任选两种比赛观看，求选到两种比赛的概率．（要求画树状图或列表求概率）
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用想观看比赛的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再减去其他比赛的人数，可补全统计图；
（2）用乘想观看种比赛的人数所占比值可估计人数；
（3）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出选到两种比赛的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：本次随机调查的总人数是（人），
想观看比赛的人数为（人），
补全条形图如下：
【小问2详解】
解：估计想观看种比赛的学生约有（人）；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中选到两种比赛的有种结果，
所以选到两种比赛的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，用样本估计总体，列表法与或树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率是解题的关键．
20. 如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、扇形的面积．
（1）根据垂直平分线的性质可得，，然后根据圆的半径相等证出，然后根据菱形的判定定理即可证出结论；
（2）易求得是等边三角形，即可求得，得到，根据扇形面积公式，从而得出半径，然后求得等边三角形的高，就是与间的距离．
【小问1详解】
证明：弦垂直平分半径，
，，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：作于，
，
等边三角形，
，
，
扇形（图中阴影部分）的面积为，
，
，
，，
∴，
，
与间的距离为．
21. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．

（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响?
（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
【答案】（1）不会，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键．
（1）设该抛物线的解析式为，将点代入即可求出解析式；求出当时的函数值，即可判断；
（2）由题意得直线的解析式为：，确定水流的高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为：，
将点代入得：，
解得：
∴
当时，
∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响
【小问2详解】
解：由题意得，
∴直线的解析式为：
水流的高度与斜坡铅垂高度差，
∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为
22. 仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度
【答案】任务一：组1，阁楼高度约为；组2，阁楼高度约为
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．任务一：组1，根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论；组2，设阁楼高度为，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；任务二：根据题意写出产生误差的原因即可．
【详解】解：任务一：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得，
答：阁楼高度约；
任务一：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
答：阁楼高度约为；
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）．
23. 【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒．怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图1，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为．
任务1 请你写出关于的函数表达式．
【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．
任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．
任务3 利用函数图象回答：当为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？

【答案】任务1：；任务2：①2000，1000；②见解析；③见解析；任务3：当时，容积取得最大值，最大值为．
【解析】
【分析】本题考查了函数的性质，画函数图象的步骤列表、描点、连线，以及数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想．
任务1 根据长方体的体积公式可以列出关于的函数表达式，根据的实际意义可直接分析出其取值范围；
任务2 ①分别将和10代入函数关系式可求出的值；②根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；③可直接用平滑曲线连接；
任务3 根据数形结合的思想可直接从图象中估出的为5时，容积最大．
【详解】解：任务1
；
任务2 ①在中，
当时，；当时，，
故答案为：2000，1000；
②如图1所示，

③如图2所示：

任务3 由图可知，当为5时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为．
24. 在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化．
（1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）若，当点在线段的延长线上时，
①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由；
②如图，连接，若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）①，，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）连接，延长交于，证明，即可得出，，得出即可；
（2）①如图，连接交于点，延长交于点，过点作于点，证明，继而得到，，再根据菱形的性质可推出即可；
②如图，连接，，由①知，得到，，继而得到，根据勾股定理可得，可得，最后由可得出答案．
【小问1详解】
如图，连接，延长交于，
∵菱形中，，
∴，，平分，
∴、是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
故答案为：；；
【小问2详解】
①与的数量关系：，与的位置关系：．
理由如下：
如图，连接交于点，延长交于点，过点作于点，
∵菱形中，，，
∴，，，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
，
∵平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，，
∵四边形是菱形，，，，
∴，平分，平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
课题
估算仁皇阁高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别
测量方案示意图
测量方案说明
组1
图1
如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为，然后从C处向阁楼底部前进到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为．
组2
图2
如图2，身高的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度为，量得仁皇阁图上高度为．
任务一
问题解决
请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
任务二
分析表达
后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
0
1562.5
1687.5
312.5
0