2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中市郊联体高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中市郊联体高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，a2+b2=7，a8+b10=11，则a5+b6=( )
A. 9B. 18C. 16D. 27
2.已知函数f(x)=13x3−f′(2)x2+x−3，则f′(2)=( )
A. −1B. 1C. −5D. 5
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7<0，a5+a10>0，则下列选项正确的是( )
A. 数列{an}为递减数列B. a8<0
C. Sn的最大值为S7D. S14>0
4.若a=ln33，b=1e，c=ln22，则( )
A. c5.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图，以下命题正确的是( )
A. −3是函数y=f(x)的极大值点
B. −1是函数y=f(x)的最小值点
C. y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增
D. y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
6.已知数列{an}满足a1=0，a2=1.若数列{an+an+1}是公比为2的等比数列，则a2024=( )
A. 22023+13B. 22024+13C. 21012−1D. 21011−1
7.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切线，则a+b等于( )
A. e+2B. 3C. e+1D. 2
8.设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)>2f(x)(x∈R)，f(12)=e(e为自然对数的底数)，则不等式f(lnx)A. (0,e2)B. (0, e)C. (1e,e2)D. (e2, e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列选项正确的是( )
A. f(x)=1x，则f′(3)=−19
B. y=x3+sin2，则y′=3x2+cs2
C. [ln(2x+1)+f′(1)]′=22x+1
D. 设函数f(x)=xe2x且f′(x0)=0，则x0=−1
10.设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，下列说法正确的是( )
A. 若T8=T12，则a10a11=1
B. 若T8=T12，则T20=1
C. 若a1=1024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，则(12)109D. 若a1>0，且T10>T11>T9，则使得Tn>1成立的n的最大值为20
11.函数f(x)=xlnx，g(x)=f′(x)x，下列命题中正确的是( )
A. 不等式g(x)>0的解集为(1e,+∞)
B. 函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减
C. 若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，则a∈(0,1)
D. 若x1>x2>0时，总有m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)恒成立，则m≥1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个数列中，如果∀n∈N，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列an是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=______.
13.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x>0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)=2x，g(x)=4ln(2x+1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投______千元.
14.已知实数a，b满足a=e2024−a，2021+lnb=e3−lnb，则ab=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=−x3+ax2+bx+1的图象经过点A(1,1)，且在x= 33处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求经过点M(1,1)且与曲线y=f(x)相切的切线方程.
16.(本小题15分)
已知正项等差数列{an}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=2，S3=12，设数列{bn}满足b121+b222+…+bn−12n−1+bn2n=n.
(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R).
(1)若a=2，求f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；
(2)若a=1，当x>1时，证明：xlnx>f(x)恒成立；
(3)若函数f(x)在x=1处的切线与直线l：x=1垂直，且对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=4，且an+1=3an−2n+1.
(1)证明：{an−n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)在数列{bn}中，b1=1，bn+1=bn+1n(n+1)，求{bn}的通项公式；
(3)记数列{cn}满足cn={nbn,n为奇数n(an−n),n为偶数，求数列{cn}的前2n项和T2n.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax(a∈R)(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a=1，F(x)=f(x)−bx2−1的导数F′(x)在[0,+∞)上是增函数，求实数b的最大值；
(Ⅲ)求证：f(12)+f(13)+f(14)+⋯+f(1n+1)>n+n4(n+2)对一切正整数n均成立．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，两式相加可得，a2+b2+a8+b10=2a5+2a6=18，
则a5+b6=9.
故选：A.
分别根据等差数列的下标和性质化简计算．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：f(x)=13x3−f′(2)x2+x−3，
则f′(x)=x2−2f′(2)x+1，
f′(2)=4−4f′(2)+1，
解得f′(2)=1.
故选：B.
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3.【答案】D
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，n∈N*，在等差数列{an}中，a7<0，且a7+a8=a5+a10>0，
∴a8>0，故B错误；
∴d=a8−a7>0，数列{an}为递增数列，A错误；
∴当1≤n≤7时，an<0，当n≥8时，an>0，Sn的最小值为S7，故C错误；
S14=14(a1+a14)2=7(a7+a8)>0，故D正确．
故选：D.
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：构造函数f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)>0解得0e；
可得f(x)在(0,e)上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，
∵c=ln22=ln44，b=1e=lnee，且e<3<4，
∴f(e)>f(3)>f(4)，即c=ln44故选：C.
结合a，b，c的特征，构造函数f(x)=lnxx，利用其单调性即可比较大小．
本题考查导数的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象可知，
对于A：−3左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，
所以−3是函数y=f(x)的极小值点，故A错误；
对于B，C：−1左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，
−1不是函数y=f(x)的最小值点，故B错误；
当x∈(−3,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故C正确；
对于D：由图象得f′(0)>0，
所以y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，故D错误；
故选：C.
利用函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为数列{an+an+1}是公比为2的等比数列，且a1+a2=1，
所以an+an+1=2n−1，①
所以an+1+an+2=2n，②
由②-①得：an+2−an=2n−1，
分别取n=2，4，6，⋅⋅⋅，2022得，
a4−a2=22−1=2，
a6−a4=24−1=23，
a8−a6=26−1=25，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
a2024−a2022=22022−1=22021，
以上各式左右分别相加得：a2024−a2=2+23+25+⋅⋅⋅+22021=2[1−(22)1011]1−22=22023−23，
所以a2024=22023−23+1=22023+13.
故选：A.
由等比数列的通项公式可得an+an+1=2n−1，从而得到an+2−an=2n−1，由累加法即可求得a2024.
本题考查等比数列的通项公式和累加法求数列的通项，涉及等比数列求和，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设曲线f(x)=ex的切点为(m,em)，而f′(x)=ex，
故切线为y−em=em(x−m)，即y=em⋅x+em(1−m)……①；
设曲线g(x)=lnx+2的切点为(t,lnt+2)g′(x)=1x，
故切线为y−(lnt+2)=1t(x−t)，即y=1t⋅x+lnt+1……②，
由题意①②是同一条直线，故1t=emlnt+1=em(1−m)，解得t=1e，或1，
当t=1e时，切线为y=ex，不符合题意，舍去；
当t=1时，切线为y=x+1，即a=b=1，所以a+b=2.
故选：D.
分别设切点求出各自的切线方程，然后两切线相等求出切点坐标，即可求出a，b的值．
本题考查导数的几何意义以及公切线的求法，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．
构造函数F(x)=f(x)e2x，求出导数，判断F(x)在R上递增．原不等式等价为F(lnx)【解答】
解：可构造函数F(x)=f(x)e2x，
F′(x)=f′(x)e2x−2f(x)e2x(e2x)2=f′(x)−2f(x)e2x，
由f′(x)>2f(x)，可得F′(x)>0，即有F(x)在R上递增．
不等式f(lnx)0)，即f(lnx)e2lnx<1，x>0.
即有F(12)=f(12)e=1，即为F(lnx)由F(x)在R上递增，可得lnx<12，解得0故不等式的解集为(0, e)，
故选：B.
9.【答案】AC
【解析】解：f′(x)=−1x2，∴f′(3)=−19，A正确；
y′=3x2，B错误；
[ln(2x+1)+f′(1)]′=[ln(2x+1)]′=22x+1，C正确；
f′(x)=e2x+2xe2x，∴f′(x0)=e2x0(1+2x0)=0，∴1+2x0=0，x0=−12，D错误．
故选：AC.
根据基本初等函数、积的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数、积的导数和复合函数的求导公式，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，若T8=T12，则有T12T8=a9a10a11a12=1，
结合a9a12=a10a11，可得 10a11=±1，故A不正确；
对于B，若T8=T12，则有T12T8=a9a10a11a12=1，
可知T20=a1a2a3a4……a17a18a19a20=(a9a10a11a12)5=1，B正确；
对于C，若a1=1024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，
则公比q>0，a10>1且a11<1，即1024q9>11024q10<1，解得(12)109对于D，若a1>0，且T10>T11>T9，
则q>0，T11T10<1且T11T9>1，即a11<1，a10a11>1，可知0由此得到T20=(a10a11)10>1，T21=a1121<1，当n≥22时，Tn均小于1.
综上所述，使得Tn>1成立的n的最大值为20，故D正确．
故选：BCD.
根据题意利用等比数列的通项与性质，对各项中的结论依次进行验证，即可得到本题的答案．
本题考查等比数列的通项公式与等比数列的性质，考查了计算能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：f(x)=xlnx，g(x)=f′(x)x=lnx+1x，
g′(x)=−lnxx2，
令g′(x)>0，得0令g′(x)<0，得x>1，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
又当x>1时，g(x)>0，且g(1e)=0，g(1)=1，
所以g(x)的图形如图所示：
对于A：数形结合可知g(x)>0的解集为(1e,+∞)，故A正确；
对于B：由f′(x)=lnx+1知在(0,1e)上单调递增，在(1e,+∞)上单调递减，故B错误；
对于C：若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，
即F(x)=xlnx−ax2有两个极值点，
又F′(x)=lnx−2ax+1，
所以需要lnx−2ax+1=0在(0,+∞)有两个根，
即2a=lnx+1x在(0,+∞)上有两个根，
即直线y=2a与y=g(x)的图像有两个交点，
所以0<2a<1，即0对于D：若x1>x2>0时，总有m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)，
所以m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2恒成立，
构造函数k(x)=m2x2−xlnx，
则k(x1)>k(x2)对任意x1>x2>0恒成立，
所以k(x)在(0,+∞)单调递增，
则k′(x)=mx−lnx−1≥0在(0,+∞)恒成立，
即lnx+1x≤m在区间(0,+∞)恒成立，
而g(x)=lnx+1x的最大值为1.
故1≤m.
故选：AD.
对于A：利用函数的单调性和导数，求出不等式的解，即可判断A是否正确；
对于B：求导得f′(x)=lnx+1，分析f′(x)的符号，即可判断B是否正确；
对于C：根据题意可得F(x)=xlnx−ax2有两个极值点，又F′(x)=lnx−2ax+1，即2a=lnx+1x在(0,+∞)上有两个根，即可判断C是否正确；
对于D：根据题可得x1>x2>0时，总有m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2恒成立，构造函数k(x)=m2x2−xlnx，只需k(x1)>k(x2)对任意x1>x2>0恒成立，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】28
【解析】解：依题意，数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，
∴a1⋅a2⋅a3=8，即1×2a3=8，
∴a3=4.
同理可求a4=1，a5=2，a6=4，…
∴{an}是以3为周期的数列，
∴a1=a4=a7=a10=1，
a2=a5=a8=a11=2，
a3=a6=a9=a12=4.
∴a1+a2+a3+…+a12=(1+2+4)×4=28.
故答案为：28.
根据“等积数列”的概念，a1=1，a2=2，公积为8，可求得a3，a4，…a12，利用数列的求和公式即可求得答案．
本题考查数列的求和，求得{an}是以3为周期的数列是关键，考查分析观察与运算能力．
13.【答案】1.5
【解析】解：设B商品需投x千元(0≤x≤5)，则A商品为(5−x)千元，
则：F(x)=4ln(2x+1)+2(5−x)=4ln(2x+1)−2x+10，x∈[0,5]，
所以F′(x)=82x+1−2，
当0≤x<1.5时，F′(x)>0，函数F(x)在[0,1.5)上单调递增，
当1.5所以F(x)max=F(1.5)=4ln4+7，
所以当B商品投入1.5千元时，总收益最大．
故答案为：1.5.
设总收益为F(x)=f(x)+g(x)，利用导数即可求解．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
14.【答案】e3
【解析】解：∵a=e2024−a，2021+lnb=e3−lnb，
∴a=e2024−a2021+lnb=e2024−(2021+lnb)，则a=2021+lnb，
由2024−a=lna，a=2021+lnb，得ln(ab)=lna+lnb=2024−a+a−2021=3，
即ab=e3.
故答案为：e3.
由已知两等式可得a=2021+lnb，再由a=e2024−a，得到2024−a=lna，求出ln(ab)，则答案可求．
本题考查对数的运算性质，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=−3x2+2ax+b，
因为函数f(x)=−x3+ax2+bx+1的图象经过点A(1,1)，且在x= 33处取得极值，
所以f(1)=−1+a+b+1=1f′( 33)=−3×( 33)2+2a×( 33)+b=0，则a=0b=1.
(2)由(1)a=0和b=1，可得f′(x)=−3x2+1，f′(1)=−3+1=−2，
又因为经过点M(1,1)，
所以切线方程为：y−1=−2(x−1)，即2x+y−3=0.
【解析】(1)求导数得f(1)=1和f′( 33)=0，可求得a，b的值．
(2)求导数求出切线的斜率，又经过(1,1)可得切线方程．
本题主要考查利用导数求切线方程和极值，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为正项等差数列{an}满足a1=2，S3=6+3d=12，
所以d=2，an=2+2(n−1)=2n；
因为b121+b222+…+bn−12n−1+bn2n=n，
所以b121+b222+…+bn−12n−1=n−1，n≥2，
当n≥2时，两式相减得，bn2n=1，即bn=2n，
当n=1时，b1=2适合上式，
故bn=2n；
(2)由(1)得，数列{bn}的前8项分别为2，4，8，16，32，64，128，256，对应数列{an}的第1，2，4，8，16，32，64，128项，
结合一次函数及指数函数的增长速度可知，前100项中共有7项重复，
故数列{cn}的前100项为{an}的前100项，剔除数列{bn}的前7项，
则T100=2(1+107)×1072−2(27−1)2−1=11302.
【解析】(1)结合等差数列的求和公式及通项公式先求出an，结合数列和与项的递推关系及等比数列的通项公式可求bn；
(2)先分析两数列相同项的特点，然后结合等差与等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式及求和公式的应用，还考查了数列递推关系在数列通项公式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2x−1−lnx，
则f′(x)=2x−1x，
令f′(x)=0可得x=12，
故当x∈(0,12)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)递减区间为[1e,12]，递增区间为[12,e]，
函数f(x)的极小值f(12)=ln2，是唯一的极小值，无极大值，
又f(1e)=2e，f(e)=2e−2>f(1e)，
所以f(x)在[1e,1]上的最大值是2e−2，最小值是ln2；
(2)证明：因为a=1，所以h(x)=xlnx−f(x)=xlnx−x+lnx+1，
则h′(x)=lnx+1x，
当x>1时，f′(x)>0，则h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x>1时，h(x)>h(1)=0，
所以xlnx>f(x)恒成立；
(3)因为函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线l：x=1垂直，
所以f′(1)=0，即a−1=0，解得a=1，
所以f(x)=x−1−lnx，
因为对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，
所以对∀x∈(0,+∞)，b−1≤1−lnxx恒成立，
令g(x)=1−lnxx，则g′(x)=lnx−2x2，
令g′(x)>0，解得x>e2；令g′(x)<0，解得0所以函数g(x)=1−lnxx在区间(0,e2)上单调递减，在区间(e2,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(e2)=−1e2，则b−1≤−1e2，
解得b≤1−1e2，
所以实数b的取值范围为(−∞,1−1e2].
【解析】(1)先求出f′(x)，根据f′(x)的符号得到f(x)的单调性，进而求出f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；
(2)设h(x)=xlnx−f(x)=xlnx−x+lnx+1，求导可知h(x)在(1,+∞)上单调递增，进而得到h(x)>h(1)=0；
(3)由导数的几何意义可知a=1，所以f(x)=x−1−lnx，及对∀x∈(0,+∞)，b−1≤1−lnxx恒成立，令g(x)=1−lnxx，求导可知g(x)在区间(0,e2)上单调递减，在区间(e2,+∞)上单调递增，所以b−1≤g(x)min=g(e2)，从而求出b的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)因为an+1=3an−2n+1，
变形得：an+1−(n+1)=3an−3n=3(an−n)，
又a1−1=3≠0，
故an+1−(n+1)an−n=3，
所以{an−n}是首项为3，公比为3的等比数列，从而an−n=3n，即an=3n+n；
解：(2)由题意可得bn+1−bn=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以当n≥2时，b2−b1=1−12，b3−b2=12−13，…，bn−bn−1=1n−1−1n，
上式累加可得，bn−b1=(b2−b1)+(b3−b2)+...+(bn−bn−1)=1−12+12−13+...+1n−1−1n=1−1n，
又b1=1，所以bn=2、1n=2n−1n，当n=1时，b1=1满足上式，
所以bn=2n−1n；
(3)由(1)(2)得，cn={2n−1,n为奇数n⋅3n,n为偶数，
则在前2n项中，T奇=c1+c3+c5+⋯+c2n−1=n+n(n−1)2×4=2n2−n，
T偶=2×32+4×34+…+2n×32n=2⋅9+4⋅92+6⋅93+⋯+2n⋅9n，
9T偶=2⋅92+4⋅93+6⋅94+⋯+2n⋅9n+1，
作差得−8T偶=2⋅9+2⋅92+2⋅93+2⋅94+⋯+2⋅9n−2n⋅9n+1=18[1−9n]1−9−2n⋅9n+1，
T偶=(8n−1)9n+1+932，
从而T2n=2n2−n+(8n−1)9n+1+932.
【解析】(1)由已知递推关系变形得：an+1−(n+1)=3an−3n=3(an−n)，结合等比数列的通项公式即可求解；
(2)由题意可得bn+1−bn=1n(n+1)=1n−1n+1，然后结合累加法即可求解；
(3)由(1)(2)得cn={2n−1,n为奇数,n⋅3n,n为偶数，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和即可求解．
本题主要考查了数列的递推关系及等比数列的通项公式在数列通项公式求解中的应用，还考查了累加法的应用，错位相减求和方法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=ex−ax的导数为f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，可得f(x)在R上递增；
当a>0时，由f′(x)=0，解得x=lna，
当x>lna时，f′(x)>0，f(x)递增；当x所以，a≤0时，f(x)的增区间(−∞,+∞)；a>0时，f(x)的减区间为(−∞,lna)，增区间为(lna,+∞)；
(Ⅱ)若a=1，F(x)=f(x)−bx2−1=ex−x−bx2−1，
F′(x)=ex−1−2bx，由F′(x)在[0,+∞)上是增函数，
可得F′′(x)=ex−2b≥0在[0,+∞)上恒成立，
所以2b≤ex在[0,+∞)上恒成立，而ex≥1，所以2b≤1，
即b≤12，可得b的最大值为12；
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可得，当b=12时，F(x)=f(x)−12x2−1，
F′(x)在[0,+∞)上是增函数，即有F′(x)≥F′(0)=0，
则F(x)在[0,+∞)递增，则F(x)≥F(0)=0，即f(x)≥12x2+1，
所以f(12)≥12×122+1，f(13)≥12×132+1，...，f(1n+1)≥12×1(n+1)2+1，
相加可得f(12)+f(13)+...+f(1n+1)≥12[122+132+...+1(n+1)2]+n
>12[12×3+13×4+14×5+...+1(n+1)(n+2)]+n=12(12−13+13−14+14−15+...+1n+1−1n+2)+n
=12(12−1n+2)+n=n4(n+2)+n.
【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，对a讨论，分a≤0，a>0，解不等式可得所求单调区间；
(Ⅱ)求得F(x)的解析式和导数，由题意可得ex−2b≥0在[0,+∞)上恒成立，由参数分离和不等式恒成立思想可得所求最大值；
(Ⅲ)由(Ⅱ)结合函数的单调性推得f(x)≥12x2+1，再由累加法和裂项相消求和、不等式的性质可得证明．
本题考查导数的运用：求单调性，以及不等式恒成立问题解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．