新高考数学三轮冲刺卷：均值不等式的应用（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：均值不等式的应用（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 设正实数 ， 满足 （其中 为正常数）．若 的最大值为 ，则
A. B. C. D.

2. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.

3. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.

4. 已知 ， 是正实数，且 ，则 的最小值是
A. B. C. D.

5. 若 且 ，则下列四个数中最大的是
A. B. C. D.

6. 若 ，且 ，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.

7. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.

8. 在下列各函数中，最小值等于 的函数是
A. B.
C. D.

9. 设正数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.

10. 已知 ，其中 且 ，，，则 的取值范围为
A. B. C. D.

11. 已知实数 ，，，则 的最小值是
A. B. C. D.

12. 若两个正实数 ， 满足 ，且存在这样的 ， 使不等式 有解，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.

13. 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，， 边上的中线长为 ，则 面积的最大值为
A. B. C. D.

14. 已知 ，，且满足 ，则 的最大值是
A. B. C. D.

15. 设 ，，且 恒成立，则 的最大值是
A. B. C. D.

16. 当 时，若 恒成立，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.

17. 圆 关于直线 对称的圆的方程是
A. B.
C. D.

18. 若动点 ， 分别在直线 和 上移动，则 的中点 到原点的距离的最小值为
A. B. C. D.

19. 若正数 ， 满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.

20. 一矩形的一边在 轴上，另两个顶点在函数 的图象上，如图所示，则此矩形绕 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 已知 ，，且 ，则 的最小值为 ．

22. 已知 ，，若不等式 总能成立，则 的最大值是 ．

23. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 ．

24. 已知 ，，且 ，则 的最小值为 ．

25. 已知函数 ，若函数 有三个不同的零点 ，，，且 ，则 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知 ，，，证明：．

27. 已知 ，求证：．

28. 已知 ，，，证明：．

29. 已知 ，求证：．

30. 请回答：
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值；
（3）求 的最大值．
答案
1. D【解析】由题意得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ．
2. B
3. B
4. B【解析】
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选B．
5. B
6. D
7. C
8. D【解析】对于选项A：当 时，A显然不满足条件；
选项B：，当 时取等号，
当 时，，B显然不满足条件；
对于C：不能保证 ，故错；
对于D：因为 ，所以 ，
故只有D满足条件．
9. B
10. A
【解析】，
因为 ，
所以 ，
而 ，当且仅当 时取等号，
所以

因为 ，，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，而 ，
所以 ，故 ．
11. B
12. C【解析】因为不等式 有解，
所以 ．
因为 ，，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取“”，
所以 ，故 ，即 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选C．
13. D【解析】如图，
根据题意可知 ，而 ，
同理 ，而 ，于是 ，即 ，又因为 ，代入解得 ．过 作 垂直于 于点 ，因此 为 的中点，故 ，而 ，当且仅当 时等号成立．故面积最大值为 ．
14. B【解析】 ，，且满足 ，
，化为：，当且仅当 ， 时取等号，则 的最大值为 ．
15. B
16. D
17. B【解析】圆 可化为 ，
所以圆心 的坐标为 ，半径为 ．
设点 关于直线 对称的点的坐标为 ，
所以
解得
故所求的圆的方程为 ．
故选B．
18. A【解析】依题意知动线段 的中点 的轨迹为与直线 和 等距的直线，
则 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 的轨迹方程为 ，根据平行线间的距离公式得 ，
即点 的轨迹方程为 ，
根据点到直线的距离公式，得 到原点的距离的最小值为 ．
19. D【解析】设 ，则 ，则 ，
即 ，解得 ．
又注意到 ，得 ，解得 或 ，故得 ．
20. A
【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．
设矩形的一条边所在直线为 ，，．
联立 与 得，，
由此可得 ，．
所以 ，
即圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为 ，
所以其体积为 ，
当且仅当 ，即 时，其体积有最大值 ．
21.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
22.
【解析】原式变形为 ，即 ．
而 ，当且仅当 时取等号，故 ， 的最大值是 ．
23.
【解析】函数恒过 ，代入直线方程得 ，又 ，所以 ，，故 ．
24.
25.
【解析】函数 ，图象如图，
函数 有三个不同的零点 ，，，且 ，
即方程 有三个不同的实数根 ，，，且 ，
当 时，，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取得最大值．
当 时，，，
此时 ，
由函数的图象可知 ；，
可得：；；，
则 的取值范围是 ．
26. 因为

所以 ，因此 .
27. （当且仅当 时，等号成立）．
28. 因为

所以 ，
因此 ．
29. 因为 ，
所以利用基本不等式可得 ，，，
所以 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立．
30. （1） 当 时，

当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 ．
（2）
当 时，，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，即函数 的最小值为 ．
（3） 当 时，

当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ．