新高考数学三轮冲刺卷：平面向量的分解（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：平面向量的分解（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知四边形 是菱形，点 在对角线 上（不包括端点 ，），则
A. ，B. ，
C. ，D. ，

2. 如图，在 中，，， 分别是边 ，， 上的中线，它们交于点 ，则下列各等式中不正确的是
A. B.
C. D.

3. 已知矩形 中，，若 ，，则
A. B. C. D.

4. 如图，在 中，已知 ，则
A. B. C. D.

5. 已知 和点 满足 ．若存在实数 使得 成立，则
A. B. C. D.

6. 在 中，，，，则 等于
A. B. C. D.

7. 已知关于 的方程 ，其中 ，， 都是非零向量，且 ， 不共线，则该方程的解的情况是
A. 至少有一个解B. 至多有一个解
C. 至多有两个解D. 可能有无数个解

8. 如图，原点 是 内一点，顶点 在 轴上，，，，，，若 ，则 等于
A. B. C. D.

9. 在 中，点 满足 ．若存在点 ，使得 ，且 ，则 等于
A. B. C. D.

10. 如图，在 中，， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.

11. 如图所示，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交 ， 所在直线于不同的两点 ，，若 ，，则 的值为
A. B. C. D.

12. 如图，在 中，，， 的平分线交 的外接圆于点 ，设 ，，则向量 等于
A. B. C. D.

13. 如图所示，在 中，，点 在 边上，点 在线段 上，若 ，则 等于
A. B. C. D.

14. 设 ，， 是平面内共线的三个不同的点，点 是 ，， 所在直线外任意一点，且满足 ，若点 在线段 的延长线上，则
A. ，B. ，C. D.

15. 已知点 是 的外接圆圆心，，．若存在非零实数 ， 使得 且 ，则 的值为
A. B. C. D.

16. 如图，在等腰梯形 中，，， 于点 ，则
A. B. C. D.

17. 在 中，点 是 上一点，且 ， 为 上一点，向量 （，），则 的最小值为
A. B. C. D.

18. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，设向量 其中 ．若 且 ， 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是
A. B.
C. D.

19. 已知 ，，，点 在 内，且 ，设 ，则 等于
A. B. C. D.

20. 设 ，则 的最小值是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 若向量 的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 ．

22. 如图，已知 的面积为 ，， 分别为边 ， 上的点，且 ， 与 交于点 ，连接 ，则 的面积为 ．

23. 已知 ，，，点 在 上，且 ．设 ，则 ．

24. 已知 ，点 是平面上任意一点，且 ，给出以下命题：
①若 ，，则 为 的内心；
②若 ，则直线 经过 的重心；
③若 ，且 ，则点 在线段 上；
④若 ，则点 在 外；
⑤若 ，则点 在 内．
其中真命题为 ．

25. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若 ，则 ， ．

三、解答题（共5小题；）
26. 如图，，， 是 的三条中线，，．用 ， 表示 ，，，．

27. 已知四边形 是平行四边形，，，试用 ， 表示 ，．

28. 在 内有一点 ，满足 ， 为 边的中点，，设 ，，以 ， 为基底，试求下列向量表达式：
（1）；
（2）．

29. 如图，已知在梯形 中，，，， 分别是 ， 的中点，设 ，．
（1）试用 为基底表示 ，，．
（2）若取 的中点 ，则 ．
（3）若 的中点为 ，试表示出 ．

30. 如图，在 中，，， 与 相交于点 ， 的延长线与边 交于点 ．
（1）用 和 分别表示 和 ；
（2）如果 ，求实数 和 的值；
（3）确定点 在边 上的位置．
答案
1. A【解析】根据平行四边形法则，， ．
2. C【解析】因为 ，， 分别是边 ，， 上的中线，它们交于点 ，
所以点 是 的重心．
选项A：因为点 是 的重心，所以 ，因此 ，所以本选项正确；
选项B：因为 是边 上的中线，所以 ，又因为点 是 的重心，所以有 ，因此 ，所以本选项正确；
选项C：因为点 是 的重心，所以 ，因此 ，所以本选项不正确；
选项D：因为 是边 上的中线，点 是 的重心，所以有 ，因此本选项正确．
故选：C．
3. B【解析】因为 ，，，
所以 ．
4. C【解析】
5. B
【解析】由 知，点 为 的重心，设 为边 的中点，则 ，所以有 ，故 ．
6. A【解析】因为 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，，
所以 ．
7. B【解析】由平面向量基本定理可得，，
则方程 可变为 ，
即 ，
因为 ， 不共线，所以
可知方程组可能无解，也可能有一个解．
所以方程 至多有一个解．
8. D【解析】由题意知 ，，，
因为 ，由向量相等的坐标表示可得，
得 即 ．
9. D【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ，，．
10. B
【解析】注意到 ，， 三点共线，
因此 ，从而 ，
所以 ．
11. B【解析】方法一：连接 ，
则 ，
因为 ，， 三点共线，
所以 ，
所以 ．
方法二：连接 （图略）．
由于 为 的中点，故 ，
，
同理，．
由于向量 ， 共线，故存在实数 使得 ，
即 ．
由于 ， 不共线，
故得 且 ，
消掉 ，得 ，
化简即得 ．
12. C【解析】设圆的半径为 ，在 中，，，
所以 ，， 的平分线交 的外接圆于点 ，
所以 ，则根据圆的性质得 ，
又因为在 中，，所以四边形 为菱形，
所以 ．
13. B
14. A
15. D
16. A【解析】由题意得，．
17. A【解析】由题意可知：，
其中 ，， 三点共线，
由三点必要条件可得：，则：
，
当且仅当 ， 时等号成立，即 的最小值为 ．
故选A．
18. A
19. B
20. B
【解析】因为 ，所以

当且仅当 ，， 时取等号，
即当 ，， 时，所求代数式的最小值为 ．
21.
22.
【解析】设 ， 为一组基底，
则 ，．
因为点 ，， 与 ，， 分别共线，
所以存在 和 ，使 ，．
又因为 ，
所以
解得
所以 ．
所以 ．
故 ．
23.
【解析】提示：
因为 ，，，
所以 ．又 ．
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ．
24. ②④
【解析】① ，
其中 ，，
如图①所示，
令 ，，
其中 ，
则四边形 为菱形，
则 是 的角平分线，
但 不一定为 的内心（内心应为三个角角平分线的交点），
因此①不正确；
②若 ，
则如图②所示，四边形 为平行四边形，
则 ，
即 为边 中线，
因此直线 经过 的重心（重心为三个中线交点），
因此②正确；
③若 ，，
则满足条件 ，，
如图③所示，此时点 没有在线段 上，
因此③是假命题；
④若 与 中有一个小于 ，
则 一定在 外，
若 ， 且 ，
所以 ，
根据三点在同一条直线上的判定原理可得 位于线段 上，
因此若 ，
则 位于 处，
因此④是真命题；
⑤若 ，，
则 在 处，
⑤为假命题；
综上：②④是真命题．
25. ，
【解析】设斜边长为 ．由已知，得 ，
即 ，
在 的两端点乘 ，化简得 ，
在 的两端点乘 ，化简得 ，
联立 ，解得 ．
26. ，，，．
27. ，．
28. （1） 因为 为 边的中点，
由平行四边形法则，，
由已知： 得：，
所以 ，故 为 的三等分点，
所以 ；
（2）
29. （1） 因为 ，，， 分别是 ， 的中点，
所以 ，
，

（2）
【解析】，
所以 ．
（3） ，
因为 ，
所以 ．
30. （1） 由 ，可得 ；
又 ，所以 ．
（2） 将 ， 代入 ，则有
即

所以
解得
（3） 设 ，．
由（2）知 ，所以
所以
解得
所以 ，即 ．