新高考数学一轮复习考点过关练习 等差数列的单调性与最值（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 等差数列的单调性与最值（含解析），共28页。
求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值. 无论用哪种方法，都要注意an＝0的情形.
【题型归纳】
题型一：等差数列的单调性
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A．数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递增数列 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列
3．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数n=（ ）
A．2021B．2022C．4041D．4042
题型二：求等差数列中的最大（小）项
4．等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项B．第6项C．第7项D．无法确定
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．5
C．4或5D．5或6
6．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，下列条件中，① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 都成立的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【双基达标】
7．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差d＞0，则下列四个命题：
①数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列； ②数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列；
③数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列； ④数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 取最大值的 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．9B．10C．19D．20
9．设数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最大值
10．等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，且公差为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，下列选项错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最小D． SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
11．设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，各项均不相等的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 .①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）
A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对
15．对于无穷数列 SKIPIF 1 < 0 ，下列命题不正确的是（ ）
A．若数列 SKIPIF 1 < 0 既是等差数列，又是等比数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 是常数数列
B．若等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是常数数列
C．若等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是常数数列
D．若各项为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 则数列 SKIPIF 1 < 0 是常数数列
16．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
18．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．36B．117C． SKIPIF 1 < 0 D．13
19．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 图象上的两点，则数列 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定
20．设 SKIPIF 1 < 0 为平面内异于P､A､B三点的任一点,且 SKIPIF 1 < 0 当P､A､B三点共线时,数列 SKIPIF 1 < 0 为( )
A．递增数列B．递减数列C．常数数列D．摆动数列
21．给出下列四个命题：
①如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②命题“ SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”；
③在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知公差 SKIPIF 1 < 0 ，那么数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列；
④ SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的充分必要条件.
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
22．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．7B．8C．9D．8或9
23．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．满足 SKIPIF 1 < 0 的最大自然数n的值为23
24．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
25．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则无法判断正负的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【高分突破】
单选题
26．设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
27．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最小值
29．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3B．d SKIPIF 1 < 0 C．3≤d SKIPIF 1 < 0 D．30， ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中最大的是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选C．
【点睛】
本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.
31．AD
【解析】
【分析】
对于A，数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故A正确；
对于B，不能判断数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，故B错误；
对于C，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是常数列，故C错误；
对于D，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故D正确．
【详解】
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故A正确．
对于B，因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因此可以把 SKIPIF 1 < 0 看成关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数， SKIPIF 1 < 0 能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，故B错误．
对于C，因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因此数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是常数列，故C错误．
对于D，因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因此数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故D正确．
故选：AD．
32．ABC
【解析】
【分析】
根据题意，可得2a1+29d＝0，根据a1＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a15＞a16，可判断B、C的正误；分别求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，
∴10a1+45d＝20a1+190d，
∴2a1+29d＝0，
∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；
∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，
∵d＜0，∴a15＞a16，
∴a15＞0，a16＜0，故B正确；
∴Sn≤S15，故C正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.
故选：ABC．
33．ABD
【解析】
【分析】
由已知递推式可得数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由二次函数的性质得数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
34．ABD
【解析】
转化条件为 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 最大，故B正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
35．1
【解析】
【分析】
由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前 SKIPIF 1 < 0 和公式，可判定数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】
由题，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，得到数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1
36．10
【解析】
【分析】
根据题意判断等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可判断数列 SKIPIF 1 < 0 的项的增减情况，进而确定答案.
【详解】
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递减数列，即公差为负数，
因此 SKIPIF 1 < 0 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，∴{| SKIPIF 1 < 0 |}最小的项是第10项，
故答案为：10
37． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
首先根据题意求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】
解：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，故 SKIPIF 1 < 0
故答案为：20.
38．-1
【解析】
【分析】
根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.
【详解】
数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an