新高考艺术生40天突破数学90分讲义第35讲圆锥曲线基础过关小题(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第35讲圆锥曲线基础过关小题(原卷版+解析)，共75页。

一．椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
三、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
（3）时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
五、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
注 若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）
表10-3
三、抛物线中常用的结论
1. 点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）.
（2）在抛物线上.
（3）在抛物线外.
2. 焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.
3. 的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.
4. 焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）.
（2）.
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与抛物线的准线交于A、B两点，，则的实轴长为（ ）
A．B．C．4D．8
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（ ）
A．渐近线方程为B．
C．D．渐近线方程为
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为4，短轴长为
B．离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁
C．椭圆的焦点在轴上且焦距为2
D．椭圆的离心率为
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆：的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的长轴长为C．的短轴长为D．的离心率为
（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，若两点的横坐标之和为5，则___________.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知为椭圆上一点，若到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．5C．8D．12
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．B．6C．4D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于
A．4B．5C．8D．10
6．（2022·浙江·高三专题练习）若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6B．C．8D．
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全国·高三专题练习）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．，D．
13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则（ ）
A．1B．2C．5D．9
15．（2022·全国·高三专题练习）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．＋y2＝1B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或D．以上答案都不正确
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习）过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A．B．或
C．D．以上都不对
19．（2022·浙江·高三专题练习）已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022·上海·高三专题练习）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为
A．B．C．D．
22．（2022·全国·高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且、、成等差数列，则椭圆方程为
A．B．C．D．
23．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
25．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B，若∠F1AB＝90°，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．20B．16C．12D．8
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
34．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．虚轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．渐近线方程为
36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的离心率，虚轴长为，则其标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
40．（2022·全国·高三专题练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
42．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（ ）
A．B．1C．2D．13
43．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距等于（ ）
A．B．2C．D．4
44．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
45．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
46．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．6D．8
47．（2022·浙江·高三专题练习）若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
48．（2022·全国·高三专题练习）直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．4B．8C．D．
49．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
50．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
51．（2022·全国·高三专题练习）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A．B．1
C．D．2
52．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线C：的一条渐近线与直线平行，则m的值为（ ）
A．4B．C．2D．
53．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
54．（2022·全国·高三专题练习（文））设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
55．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A．B．C． D．
56．（2022·河北张家口·高三期末）已知是拋物线上一点，是的焦点，，则（ ）
A．2B．3C．6D．9
57．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
58．（2022·全国·高三专题练习）抛物线上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A．B．C．D．
59．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线：（）的焦点为，点是上的一点，到直线的距离是到的准线距离的2倍，且，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
60．（2022·全国·高三专题练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．D．
61．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点M（6，y）到焦点F的距离为8，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
62．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
63．（2022·全国·高三专题练习（理））若抛物线（）上一点到其焦点的距离为2，则（ ）
A．B．C．D．
64．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x
65．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交于，两点，则弦的中点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
66．（2022·江苏·高三专题练习）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
67．（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则 ＝（ ）
A．16B．4
C．D．
68．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．2
69．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0
二、多选题
70．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
71．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当时，曲线C是离心率为的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线
72．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当，曲线为椭圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件
D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线
73．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
74．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
75．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为B．
C．的面积为D．
三、填空题
76．（2022·浙江·高三专题练习）已知点，的周长是，则的顶点的轨迹方程为___.
77．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．
78．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则________
79．（2022·全国·高三专题练习）点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为________．
80．（2022·浙江·高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
81．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，且经过点，则该椭圆的标准方程为______．
82．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程为________．
83．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆方程为_____．
84．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有共同的渐近线，且过点M（2,-2）的双曲线方程为________.
85．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的准线为，若M为上的一个动点，设点N的坐标为，则的最小值为___________.
86．（2022·全国·高三专题练习）О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若，则三角形POF的面积为 _________.
87．（2022·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，与交于俩点，则________．
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长 短轴长
长轴长 短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率

点和椭圆
的关系
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，,,
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
标准方程
图形
y
x
B1
B2
F2
A2
A1
F1
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、
虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共渐近线的双曲线方程
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，.
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
标准方程
y
x
O
F
l
y
x
O
F
l
F
y
x
O
l
图形
y
x
O
F
l
对称轴
轴
轴
顶点
原点
焦点坐标
准线方程
第35讲 圆锥曲线基础过关小题
【知识点总结】
一．椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
三、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
（3）时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
五、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
注 若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）
表10-3
三、抛物线中常用的结论
1. 点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）.
（2）在抛物线上.
（3）在抛物线外.
2. 焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.
3. 的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.
4. 焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）.
（2）.
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
圆C：(x－1)2＋y2＝16，∴ 2a＝4，即a＝2．由，
而，所以椭圆的标准方程是：，
故选：B
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】B
【详解】
对于A，当m＞n＞0时，有，
方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与抛物线的准线交于A、B两点，，则的实轴长为（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】B
【详解】
解：设等轴双曲线的方程为．，①
抛物线，，，．
抛物线的准线方程为．
设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点，，，
则，．
将，代入①，得，
等轴双曲线的方程为，即
，的实轴长为．
故选：．
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（ ）
A．渐近线方程为B．
C．D．渐近线方程为
【答案】AC
【详解】
双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcs30°，
可得：，即，故e．
且，故渐近线方程为渐近线方程为
故选：AC．
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为4，短轴长为
B．离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁
C．椭圆的焦点在轴上且焦距为2
D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【详解】
对于A：椭圆中，，
故长轴长为4，短轴长为，故A正确；
对于B：因为椭圆的离心率越大，该椭圆越扁，
所以离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁，故B正确；
对于C：椭圆的焦点在轴上，故C错误；
对于D：椭圆中，，
故离心率为；
故选：ABD
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆：的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的长轴长为C．的短轴长为D．的离心率为
【答案】AD
【详解】
由已知可得，解得或(舍去)，
椭圆的方程为
∴， ，即，，
长轴长为，短轴长，离心率.
故选：AD.
（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
【答案】ACD
【详解】
等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知F1F2＝，
所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确．
故选：ACD.
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】
解：椭圆中，，
焦距，
双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，
设双曲线的方程为，即，
当时，，解得，
双曲线的方程为；
当时，，解得，
双曲线的方程为；
综上，双曲线的方程可能为或．
故选：AD.
例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，若两点的横坐标之和为5，则___________.
【答案】7
【详解】
由抛物线方程可得，
则由抛物线定义可得.
故答案为：7.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________．
【答案】
【详解】
设，则.
由椭圆的定义可知：，所以.
所以
因为轴，所以为直角三角形，
由勾股定理得：，
即，即，
所以离心率.
故答案为：
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知为椭圆上一点，若到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．5C．8D．12
【答案】B
【分析】
利用椭圆的定义求解.
【详解】
椭圆的长轴长为，
由椭圆的定义得：，
又因为到一个焦点的距离为1，即，
所以到另一个焦点的距离为，
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件结合椭圆定义求出a，设出点F2坐标，由给定弦长求出b即可得解.
【详解】
依题意，由椭圆定义得，即，
令椭圆：的半焦距为c，则F2(c，0)，直线AB：x=c，
由得，于是得，则，
所以椭圆的方程为.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】D
【分析】
先由椭圆方程求出，再利用椭圆的定义进行求解.
【详解】
由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
结合椭圆定义求出焦半径，利用可得离心率的不等关系，求得其范围．
【详解】
所以，又，所以，
，
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于
A．4B．5C．8D．10
【答案】D
【详解】
试题分析：因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知 ，
故选D．
考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义．
6．（2022·浙江·高三专题练习）若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】
因动点满足关系式，
则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，
即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，
所以动点M的轨迹方程为.
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由垂直平分线的性质可知，从而得到，可知轨迹满足椭圆定义，可得，进而求得，从而得到所求轨迹方程.
【详解】
为垂直平分线上的一点
点的轨迹是以为焦点的椭圆 ，
的轨迹方程为
故选：
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用椭圆的定义，可求解a，由椭圆的离心率求得c，即可得到b，得到结果.
【详解】
如图：
由椭圆的定义可知，的周长为4a，
∴4a=8,a=2,又离心率为，
∴c=1，
b2，
所以椭圆方程为,
故选A．
【点睛】
本题考查椭圆的定义及简单性质的应用，属于基础题．
9．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】B
【分析】
利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出
【详解】
解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据的面积以及该三角形为直角三角形可得，，然后结合，简单计算即可.
【详解】
依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.
【详解】
在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.
12．（2022·全国·高三专题练习）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．，D．
【答案】D
【分析】
化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得，求解此不等式可得的取值范围.
【详解】
由方程，可得，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D.
13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得的关系，即可求解.
【详解】
由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．
故选：A.
14．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则（ ）
A．1B．2C．5D．9
【答案】A
【分析】
由焦点坐标及椭圆方程中参数关系有，即可求参数m.
【详解】
由题设知：，可得.
故选：A.
15．（2022·全国·高三专题练习）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．＋y2＝1B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或D．以上答案都不正确
【答案】C
【分析】
由直线方程得直线与坐标轴的交点，分焦点在x轴上、焦点在y轴上讨论可得答案.
【详解】
由直线方程x－2y＋2＝0 得直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为.
故选：C.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设，可得，，将两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出===，进而可求出的值.
【详解】
设，则，，
则，
两式相减得：，
∴===，
又==，∴，
联立，得.
∴椭圆方程为.
故选：D．
17．（2022·全国·高三专题练习）过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先得焦点坐标，设方程为，将点代入解出的值，进而可得结果.
【详解】
因为焦点坐标为，设方程为，
将代入方程可得，解得，故方程为，
故选：A.
18．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A．B．或
C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】
设经过两点和点的椭圆标准方程为，利用待定系数法能求出椭圆方程．
【详解】
设经过两点和点的椭圆标准方程为
，
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为．
故选：A．
19．（2022·浙江·高三专题练习）已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由长轴长是焦距的得，再把已知点的坐标代入，结合可解得得椭圆方程．
【详解】
由题意，解得，所以椭圆方程为．
故选：D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.
【详解】
依题意可得，解得，
故的方程是.
故选：A.
【点睛】
本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.
21．（2022·上海·高三专题练习）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先由题意得到，求出，再由椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为： ，将代入方程，即可求出结果.
【详解】
因为焦距为，所以，即；
又椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆方程为： ，
又椭圆过点，所以，解得，
因此所求椭圆的方程为：.
故选D
【点睛】
本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.
22．（2022·全国·高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且、、成等差数列，则椭圆方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由于，，成等差数列，及是椭圆上的一点，可得，即可得到，又是椭圆上一点，利用待定系数法即可．
【详解】
解：，，成等差数列，是椭圆上的一点，
，
．
设椭圆方程为，则
解得，，．
故椭圆的方程为．
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与性质，考查待定系数法的运用，正确设出椭圆的方程是关键．
23．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而设双曲线的方程，根据点在双曲线上，代入解方程最终求出双曲线的方程．
【详解】
椭圆的焦点坐标是．
设双曲线的标准方程为，
因为双曲线过点，
所以，又，
解得，
所以所求双曲线的标准方程是．
故选：B.
24．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
【答案】D
【分析】
分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】
由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，
对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
25．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作出图形，设，可得，，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.
【详解】
设该椭圆的焦距为，如下图所示：
设，轴，，
，，
由椭圆定义可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B，若∠F1AB＝90°，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由∠F1AB＝90°，得△F1AF2为等腰直角三角形，从而得，易得离心率．
【详解】
若∠F1AB＝90°，则△F1AF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．
所以，．
故选：C．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
如图，椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，化为，即可得出椭圆的离心率的范围.
【详解】
若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，
则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又e<1，所以e∈．
故选：B
28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的离心率为，得，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出．
【详解】
由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得．
故选：B．
29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据椭圆定义和余弦定理，即可求解.
【详解】
设，由椭圆定义知：.由余弦定理得：，即，所以.故选D.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
31．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．20B．16C．12D．8
【答案】A
【分析】
直接根据双曲线的定义得到答案.
【详解】
设P到另一个焦点的距离为d，，则＝2×8＝16，∴d＝20，
故选：A.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
结合双曲线的定义列式求得双曲线的离心率.
【详解】
.
故选：B
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设根据，且，结合双曲线的定义求得 ，再 在中，利用勾股定理求解.
【详解】
设因为，且，
所以，
由双曲线的定义得：，，
因为，
所以，
解得，
所以在中，，
即，
解得，
故选：D
34．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由题知,双曲线的焦点在轴上,进而计算,再求渐近线方程即可得答案.
【详解】
解:由题知,双曲线的焦点在轴上,
所以,
所以双曲线的渐近线为
故选:B
35．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．虚轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．渐近线方程为
【答案】D
【分析】
根据双曲线方程求得的值，由此求得虚轴、焦距、离心率和渐近线方程，由此判断出正确选项.
【详解】
双曲线的方程为，，可得虚轴长为6，实轴长为4，离心率，渐近线方程为：，即．所以ABC选项错误，D选项正确.
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查根据双曲线方程求，考查双曲线虚轴、焦距、离心率和渐近线方程的求法，属于基础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.
【详解】
解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，即，
又因焦距为2，即，即，
因为，所以，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：B.
37．（2022·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.
【详解】
解：由得，
所以椭圆的焦点为.
设双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以.
所以双曲线的方程为.
故选：D
38．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分别根据所给双曲线方程求出，，根据解出即可.
【详解】
设，
代入双曲线方程可得，
所以，
不妨取一条渐近线，则到直线的距离，
因为，
所以，
解得,
所以双曲线的方程为，
故选：A
39．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的离心率，虚轴长为，则其标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】
根据给定条件结合求出，再按焦点位置即可写出标准方程.
【详解】
设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则，即，
于是得，而，解得，
所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为，当焦点在y轴上时，双曲线方程为.
故选：D
40．（2022·全国·高三专题练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据离心率可得，再由可得曲线的方程为，然后将点代入即可求解.
【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
41．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】
求出焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出距离.
【详解】
设双曲线的一个焦点，其中，渐近线方程：，则F到渐近线的距离d为：.
故选：C
42．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（ ）
A．B．1C．2D．13
【答案】B
【分析】
计算抛物线焦点为，计算得到答案.
【详解】
抛物线的焦点，故，.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.
43．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距等于（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】
根据渐近线方程可求，从而可求双曲线的焦距.
【详解】
由双曲线：可得其渐近线方程为，
故，故半焦距，故焦距为，
故选：C.
44．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据两个双曲线有相同的焦点，由，得到双曲线的方程求解.
【详解】
由，得，
由题得，
解得，
所以，
所以的渐近线方程为.
故选：C.
45．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在轴上，且，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于及双曲线中即可求解.
【详解】
解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为，
由题意，双曲线C的焦点在轴上，且，
设双曲线C的方程为，则有，
其渐近线方程为，即，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以，
所以双曲线C的方程为，
故选：A.
46．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．6D．8
【答案】B
【分析】
先求出m，再求出焦点坐标和短轴顶点坐标，直接求面积即可.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，
所以，解得：m=9.
双曲线的两个焦点为，虚轴的一个端点.
所以三角形的面积为.
故选：B
47．（2022·浙江·高三专题练习）若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径即可求得.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，即，∵a>0，则，解得，则该双曲线的实轴长为.
故选：B.
48．（2022·全国·高三专题练习）直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】
由双曲线的一个顶点到渐近线的距离求得，再由渐近线方程的斜率求得答案.
【详解】
双曲线的顶点不妨设为，到渐近线的距离为，
得，又渐近线方程为，得，解得，∴.
故选：A.
49．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】
由条件求出双曲线的方程，然后可得答案.
【详解】
因为双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为
所以，所以，所以双曲线的方程为
所以其渐近线方程为和
故选：A
50．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由求出即可
【详解】
因为，所以
所以其渐近线方程为
故选：A
【点睛】
在椭圆中有，在双曲线中有.
51．（2022·全国·高三专题练习）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A．B．1
C．D．2
【答案】C
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c
则该双曲线的离心率为 e，
故选C．
【点睛】
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
52．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线C：的一条渐近线与直线平行，则m的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】
首先判断，即可表示出双曲线的渐近线方程，再根据两直线平行斜率相等得到方程，即可求出；
【详解】
解：双曲线C：，所以，则双曲线的渐近线为，又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，所以，
故选：B
53．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意，可知该双曲线焦点在轴上，则它的渐近线方程为，再根据双曲线离心率，求出的值，从而可求出该双曲线的一条渐近线方程.
【详解】
解：根据题意，双曲线的离心率，
可知该双曲线焦点在轴上，则它的渐近线方程为，
而，则，所以，
故其中一条渐近线方程为，
故选：D.
54．（2022·全国·高三专题练习（文））设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由双曲线的两个顶点恰好将线段三等分得到求解.
【详解】
因为双曲线的两个顶点恰好将线段三等分点，
所以，则，
所以，
所以，
所以双曲线的渐近线的方程为，
故选：A．
55．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】
由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
【点睛】
忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
56．（2022·河北张家口·高三期末）已知是拋物线上一点，是的焦点，，则（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】
结合抛物线的定义以及抛物线的标准方程列方程，化简求得的值.
【详解】
由定义，又，
所以，解得.
故选：C
57．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
根据点在抛物线上，可求出参数m的值，方法一，可根据两点间的距离公式求出的值；方法二，可由抛物线的定义，根据到焦点的距离与到准线的距离相等，得出结论.
【详解】
抛物线的焦半径求解
法一：由题意可知，点在抛物线上，
则，解得，即，且，
所以.
故选：D．
法二：由题意可知，抛物线的渐近线为，
点在抛物线上，则，解得，即，
则由抛物线的定义可得，.
故选：D．
58．（2022·全国·高三专题练习）抛物线上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设，由抛物线的定义，列出方程求得，代入抛物线的方程，即可求解.
【详解】
设，由抛物线的定义，可得，解得，
代入抛物线的方程，可得，解得，
所以点P点坐标为．
故选：D.
59．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线：（）的焦点为，点是上的一点，到直线的距离是到的准线距离的2倍，且，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】
利用抛物线的定义求解.
【详解】
设，
由题意得，
解得，
故选：A
60．（2022·全国·高三专题练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．D．
【答案】B
【分析】
设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出．
【详解】
如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
61．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点M（6，y）到焦点F的距离为8，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
解方程即得解.
【详解】
因为到焦点F的距离为8，
所以，得.
故选：D
62．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【详解】
由抛物线可得，
准线方程，
，是上一点，，．
，
解得．
故选：B．
63．（2022·全国·高三专题练习（理））若抛物线（）上一点到其焦点的距离为2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
用焦半径公式解方程算出即可获解.
【详解】
∵抛物线上的点到焦点的距离为2，
∴，即，则，
∴，则.
故选：D.
64．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x
【答案】A
【分析】
由直线求出抛物线焦点坐标，根据焦点坐标求出抛物线方程.
【详解】
对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x．
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．
故选：A
65．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交于，两点，则弦的中点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求得的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，进而求得弦的中点到准线的距离，得到答案.
【详解】
由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，
设，，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则，所以弦的中点的横坐标为，
则弦的中点到准线的距离为.
故选：C.
66．（2022·江苏·高三专题练习）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A，B坐标，即可由抛物线定义求得，得出所求.
【详解】
由题可得，设，（），
直线的倾斜角为，直线斜率为，
则直线l的方程为，
联立可得，解得，
由抛物线的定义可得，
则.
故选：B.
67．（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则 ＝（ ）
A．16B．4
C．D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线的定义以及圆的知识将转化为，再联立直线与抛物线，解得，即可得到答案.
【详解】
如图：
因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，
故|BF|＝|CF|＝，所以＝，
由抛物线的定义得|AF|－＝ ，|DF|－ ＝，
由，整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，
可得，，
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的性质，考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的交点，属于中档题.
68．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．2
【答案】B
【分析】
设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入双曲线方程并作差整理得：，再结合直线的斜率为1和弦的中点，可得，从而可求出离心率
【详解】
设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
，，
两式作差整理得：．
∵斜率为1，弦的中点为（4，2），
∴，，，
∴，即，
∴. 故.
故选：B
69．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0
【答案】C
【分析】
运用代入法、点差法求出直线l的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】
解：设P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，
∵，
∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
整理得，即直线l的斜率为，
故直线l的方程为y﹣2=(x﹣1)，
即x﹣8y+15=0，
故选：C.
二、多选题
70．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
【答案】AB
【分析】
由椭圆的方程可得，由的周长为可判断A，当点位于短轴端点时，的面积最大，可判断B，利用余弦定理可椭圆的定义求出，可判断C，设，则，由可得，解出方程可判断D.
【详解】
由椭圆的方程可得
的周长为，故A正确
当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确
当时，由余弦定理可得
所以，所以，可得
所以的面积为，故C错误
设，则
由可得，从而可得解得，不成立，故D错误
故选：AB
71．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当时，曲线C是离心率为的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线
【答案】AD
【分析】
根据给定方程，逐一利用各个选项中的条件，再列式计算并判断作答.
【详解】
对于A，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，且，即焦距为4，A正确；
对于B，当时，曲线C的方程为，表示椭圆，离心率，B错误；
对于C，令，得，，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；
对于D，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，渐近线方程为，即，D正确.
故选：AD
72．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当，曲线为椭圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件
D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线
【答案】BCD
【分析】
根据椭圆双曲线方程的特点分别判断每个选项即可.
【详解】
对A，若，则曲线方程表示圆，故A错误；
对B，当时，曲线方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B正确；
对C，要使曲线为双曲线，需满足，解得或，故“或”是“曲线为双曲线”的充要条件，故C正确；
对D，若离心率为，则，则可得，则或，两个方程均无解，故D正确.
故选：BCD.
73．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
【答案】AC
【分析】
根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】
由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
74．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【答案】BCD
【分析】
根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.
【详解】
易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，
为，即，选项C正确，
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，
所以，．
所以，
所以线段，
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．
故选：BCD
75．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为B．
C．的面积为D．
【答案】AD
【分析】
根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．
【详解】
解：点在抛物线上，
，
，焦点为，准线为，对，
因为，
故，
故直线为：，
联立或，
，，
，，
，错，
，对，
的面积为．故错，
故选：．
三、填空题
76．（2022·浙江·高三专题练习）已知点，的周长是，则的顶点的轨迹方程为___.
【答案】
【分析】
由于点P满足，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故），再利用待定系数法求解.
【详解】
由于点P满足，
知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故），
∴，
又，∴，
故的顶点P的轨迹方程为，
故答案为：.
77．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．
【答案】9
【分析】
根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】
∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故答案为：9.
78．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则________
【答案】
【分析】
根据椭圆定义，得到，再由题中条件，即可得出结果.
【详解】
由题意，在椭圆中，，
又，所以，因此.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.
79．（2022·全国·高三专题练习）点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为________．
【答案】
【分析】
由椭圆的定义可知，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．
【详解】
解：根据椭圆的定义可知，
令内切圆圆心为O
则
又∵．
所以，．
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆的定义以及焦点三角形的内切圆问题，属于中档题.
80．（2022·浙江·高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
【答案】
【分析】
由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.
【详解】
所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为.
故答案为：
81．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，且经过点，则该椭圆的标准方程为______．
【答案】
【分析】
根据焦距和与轴交点得到，由求得，进而得到标准方程.
【详解】
椭圆焦距为
又焦点在轴上，经过点
椭圆的标准方程为
故答案为
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.
82．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程为________．
【答案】或
【分析】
分焦点在轴上两种情况，结合基本量间的关系计算求解即可
【详解】
方法一 ∵，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为，则，从而，
又，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为，
则，且，解得
故所求椭圆的标准方程为
故答案为： 或
83．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆方程为_____．
【答案】
【分析】
设椭圆方程为（,,且）,将两点坐标代入椭圆方程，求出即可.
【详解】
设椭圆方程为（,,且）.
椭圆经过两点，则,解得,
所以所求椭圆方程为.
故答案为：
84．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有共同的渐近线，且过点M（2,-2）的双曲线方程为________.
【答案】
【详解】
设双曲线方程为
所以双曲线方程为
85．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的准线为，若M为上的一个动点，设点N的坐标为，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
先求得抛物线的方程，设，结合两点间的距离公式，求得的最小值，由此求得的最小值.
【详解】
由题意知，，
∴抛物线：.
设，由题意知，
则，
当时，取得最小值8，
∴的最小值为.
故答案为：.
86．（2022·全国·高三专题练习）О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若，则三角形POF的面积为 _________.
【答案】
【分析】
由抛物线的焦半径公式（或定义）求得点坐标，然后可计算三角形面积.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由，
设，则,,所以，即点的坐标为，
则的面积为．
故答案为：.
87．（2022·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，与交于俩点，则________．
【答案】10
【分析】
先求出，再利用公式可求.
【详解】
因为直线过抛物线的焦点，故即，
故抛物线，
设，
由可得，
故，
故答案为：10.
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长 短轴长
长轴长 短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率

点和椭圆
的关系
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，,,
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
标准方程
图形
y
x
B1
B2
F2
A2
A1
F1
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、
虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共渐近线的双曲线方程
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，.
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
标准方程
y
x
O
F
l
y
x
O
F
l
F
y
x
O
l
图形
y
x
O
F
l
对称轴
轴
轴
顶点
原点
焦点坐标
准线方程