河南省信阳市淮滨县2023-2024学年九年级下学期入学学情调研测试数学试题（解析版）

这是一份河南省信阳市淮滨县2023-2024学年九年级下学期入学学情调研测试数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. ﹣1B. 0C. ﹣D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先通过负数、0和正数之间的关系，将比较范围缩小到两个负数之间，再比较两个负数的绝对值，得到绝对值较大的数最小即可．
【详解】解：∵负数小于0，0小于正数；
∴只需判断和的大小即可；
∵，
∴，
∴最小的数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了正数、0和负数之间的大小关系以及如何比较两个负数的大小，解题的关键是要牢记比较法则“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可．
2. 2023年2月16日交通运输部发布信息，为期40天的春运于2月15日收官，全国营业性客运量约亿人次比2022年同期增长50.5%，数据“亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“亿”用科学记数法可表示为．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项、完全平方公式、单项式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】合并同类项、完全平方公式、单项式的乘法是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小立方块数目分别为3，2，2，从而可以确定答案．
【详解】解：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块．
即主视图为：
故选：B．
【点睛】本题考查几何体的三视图，渗透了数学学科空间观念的核心素养．
5. 如图，直线，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质，得出，再根据求出结果即可．
详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
6. 小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表，那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
A. 平均数、方差B. 中位数、方差C. 平均数、中位数D. 众数、中位数
【答案】D
【解析】
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x＋10−x＝10，
则总人数为：2＋15＋10＝27，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
7. 若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．
8. 明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗，现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶?设有好酒瓶，薄酒瓶。依题意，可列方程组为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒”，分别得出等式求出答案．
【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
9. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，CG为的角平分线，在CB上截取CA1=CA，可得是等腰直角三角形，继而得到CG垂直平分AA1，则A1为点A关于CG的对称点，连接A1D，交CG于点E，此时最小，即A1D的值，利用勾股定理求解即可．
【详解】
由题意得，CG为的角平分线，
在CB上截取CA1=CA，
，
是等腰直角三角形，
，即CG垂直平分AA1，
A1为点A关于CG的对称点，
连接A1D，交CG于点E，
，
此时最小，即A1D的值，
，为边的中点，
，
，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，菱形位置如图所示，其中点的坐标为，第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即，第2次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即，第3次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即依次类推，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及规律型等知识．由题意得的坐标为，同理的坐标为，即，的坐标为，即， 的坐标为，即， ，再由，即可得出结论．
【详解】解：点的坐标为，第1次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即，
的坐标为，
同理：的坐标为，即，
的坐标为，即，
坐标为，即，
，
，
点的坐标为，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个当时，随的增大而减小的函数表达式：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】考虑该函数为一次函数的情形，求解即可．
【详解】若该函数为一次函数，设一次函数的表达式为，
∵当时，随的增大而减小，
∴只要保证即可，
∴（答案不唯一）；
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质与图象是解题的关键．
12. 不等式组的最大整数解为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先分别求出每一个不等式的解集，得出不等式组的解集，进一步得出最大整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为，
最大整数解为1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查求不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解决问题的关键．
13. 将标有“中”“华”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】从不透明口袋中随机摸出两个球，共有种等可能的结果：中华，中崛，中起，华崛，华起，崛起，其中摸到的球上的汉字可以组成“中华”的结果有1种，
∴摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是解题的关键．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案．
【详解】解：如图，连接
是的中点，






故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．
15. 如图是一张菱形纸片，，，点在边AD上，且，点在AB边上，把沿直线对折，点的对应点为点，当点落在菱形对角线上时，则_____．
【答案】或．
【解析】
【分析】分情况讨论∶①当点落在菱形对角线BD上时，根据菱形的性质和折叠的性质先证明，根据折叠的性质可得，进一步求解即可；②当点落在菱形对角线BD上时，根据菱形的性质和折叠的性质可知是等边三角形，可得．
【详解】解∶分情况讨论∶①当点'落在菱形对角线BD上时，如图所示∶
在菱形中，，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
根据折叠，可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得（舍去）或．
②当点'落在菱形对角线上时，如图所示∶．
在菱形中，，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为∶或．
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质， 等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
三、解答题（本大题共8题，共75分）
16. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】（1）先开立方、算负整数指数幂和零指数幂、化简特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可求解；
（2）先通分，再进行分式的加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
;
（2）解：原式
．
17. 青春是校园生活的主旋律，某学校为了丰富学生的课余生活，焕发青春活力，激励学生成长，推动校园文化建设，开展了一次“美好青春，和谐校园”的校歌比赛，并在九（1）班和九（2）班各随机抽取了10名同学参加．
比赛成绩收集、整理如下：
九（1）班成绩：9 9.5 9 9 8 10 9 8 4 9.5
九（2）班成绩：
比赛成绩分析：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，_______，________；
（2）如果你是评委，请根据以上数据，判断两个班中哪个班的校歌歌唱水平比较好？并说明理由．
【答案】（1）8.35，8.5，9
（2）九（1）班歌唱水平比较好，因为九（1）班成绩的平均数、中位数和众数均高于九（2）班．
【解析】
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的求解方法，进行求解即可；
（2）比较两组数据即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
由表格可知，第5个数据和第6个数据都是，
∴；
∵数据9出现了4次，出现的次数最多，
∴；
故答案为：8.35，8.5，9
【小问2详解】
九（1）班歌唱水平比较好，因为九（1）班成绩的平均数、中位数和众数均高于九（2）班．
【点睛】本题考查数据分析．熟练掌握平均数，中位数和众数的计算方法，是解题的关键．
18. 如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F．

（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）7.5
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质可知，即可证，得出，再结合等腰三角形的性质，即可求出，即平分；
（2）连接，由，，可得出，结合勾股定理可求出． 又易证，得出，代入数据求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
∵是的切线，是的半径，D是切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵在中，，，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，角平分线的定义，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识．正确连接辅助线是解题关键．
19. 如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）27cm （2）34.6cm
【解析】
【分析】（1）连接PO，利用垂直平分线的性质得出PA=PO，然后利用勾股定理即可求出PC；
（2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，根据矩形的性质可知DE=FC，DF=EC，分别在Rt△DOE和Rt△PDF中利用勾股定理以及锐角三角函数即可求出DE、EO，进而求出PF，即可得解．
【小问1详解】
连接PO，如图，
∵点D为AO中点，且PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA=PO=45cm，
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36(cm)，
∴在Rt△POC中，(cm)，
即PC长为27cm；
【小问2详解】
过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，如图，
∵PC⊥OC，
∴四边形DECF是矩形，即FC=DE，DF=EC，
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∵DO=AD=AO=12(cm)，
∴DE===(cm)，EO=DO=6(cm)，
∴FC=DE=cm，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42(cm)，
∵∠FDO=∠DOE=60°，∠PDO=90°，
∴∠PDF=90°-60°=30°，
在Rt△PDF中，PF=(cm)，
∴PC=PF+FC=(cm)，
∴PC，
即PC的长度为34.6cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
（2）①②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【解析】
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解.
【小问1详解】
解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
【小问2详解】
解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于第二象限的点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的到轴的距离为．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（3）点，，与（2）中的点，组成四边形．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可以推得直线是线段的垂直平分线，故作图满足，的点即为所求；
（3）连接，，根据点到原点的距离公式可求得，结合题意求得点的坐标为，根据点到原点的距离公式可求得，推得，结合（2）中结论，根据菱形的判定即可证明．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点，
故将点的坐标代入反比例函数得：，
解得：，
∴反比例函数的关系式为．
【小问2详解】
解：点关于直线的对称点，如图：
作法：以点为圆心，的长为半径，画弧；点为圆心，的长为半径，画弧；两弧交于点，即为所求．
理由：连接，，，如图：

∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理点也在线段的垂直平分线上，
∴点与点所在的直线垂直平分线段，
即垂直平分，
故点与点关于直线对称，
即点与点关于直线对称．
【小问3详解】
解：连接，，如图：
∵点的坐标为，
∴，
∵点在第二象限且到轴的距离为，
∴，
将代入反比例函数得，
解得：，
∴；
∴，
∴，
由（2）可得，，
即，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，坐标中的点到原点的距离公式，菱形的判定等，解题的关键是根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理证得直线是线段的垂直平分线．
22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于点和点B，点B为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）点M为二次函数图象上的一个动点，且点M的横坐标为m，将点M向右平移1个单位长度得到点N．若线段与一次函数图象有交点，直接写出点M横坐标m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点代入，可求出b的值，可得到一次函数的解析式，再求出二次函数的对称轴为直线，可得点B的坐标，再把点A，B的坐标代入二次函数的解析式，即可求解；
（2）直接观察图象，即可求解；
（3）根据题意可得点M的坐标为，点N的坐标为，
当点N位于一次函数的图象上时，可得或，当点M位于一次函数的图象上时，由（1）得：或1，再结合图象，即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：
，
∴点B的坐标为，
把点，代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴不等式的解集为；
【小问3详解】
解：∵点M的横坐标为m，
∴点M的坐标为，
∵点M向右平移1个单位长度得到点N，
∴点N的坐标为，
当点N位于一次函数图象上时，有
，
解得：或，
当点M位于一次函数的图象上时，
由（1）得：或1，
结合图象得：若线段与一次函数图象有交点，点M横坐标m的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
23. 已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：
（1）如图1，若和均为等边三角形，①线段与线段的数量关系是________；②直线与直线相交所夹锐角的度数是________；
类比探究：
（2）如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，若，，，，当点B，D，E三点共线时，请直接写出的长．
【答案】（1），
（2）①不成立，；②成立，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）延长交的延长线于点．由等边三角形的性质可得出，，，进而可求出，即可证，从而得出结论．再根据，即得出直线与直线相交所夹锐角的度数是；
（2）由题意易证，得出，，进而可证，得出，，即．由（1）同理可证直线与直线相交所夹锐角的度数是；
（3）分类讨论：当点落在线段上时和当点落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：如图1，延长交的延长线于点．
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，．
∵，
．
综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是．
故答案为：，；
【小问2详解】
①不成立，；②成立．
理由：如图2，延长交的延长线于点．
，，
∴，
，，
，
，，
．
∵，
．
综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是；
【小问3详解】
的长为或．
如图3，当点落在线段上时．
，，，
，，
，．
，
，
；
如图4，当点落在线段上时，同理可得．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键．
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
2
15
成绩
6
8
8.5
9
9.5
10
人数
2
1
3
1
2
1
平均数
中位数
众数
九（1）班
8.5
9
c
九（2）班
a
b
8.5