江苏省2024届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省2024届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．若复数满足,则( )
A.1B.C.2D.
3．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．下列可能是函数的图象的是( )
A.B.
C.D.
5．已知函数在上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》,恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧,则不同的坐法种数为( )
A.360B.480C.600D.720
7．已知正方体的棱长为2,则以点B为球心,为半径的球面与平面的交线长为( )
A.B.C.D.
8．对,当时,,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图,则( )

A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600
B.这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差
C.这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D.这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030
10．已知事件A与B，且，，则( )
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果A与B相互独立，那么
D.如果A与B相互独立，那么
11．已知函数的定义域为R,且,函数的图像关于点对称,,则( )
A.是偶函数B.的图像关于直线对称
C.D.
12．已知,则下列不等式中一定成立的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．展开式中的常数项为____________.
14．已知同一平面内的单位向量,,满足,则_____________.
15．已知随机变量,,且,,则__________.
16．已知直线l与曲线和都相切,请写出符合条件的两条直线l的方程：_______________,________________.
四、解答题
17．市场监管部门统计了某网红饮品小店在2023年4月至8月的销售收入y（单位：万元）,得到以下数据：
(1)根据表中所给数据,求出关于的线性回归方程,并估计2023年9月份该小店的销售收入;
(2)为调查顾客对该小店的评价情况,随机抽查了200名顾客,得到如下列联表,请填写下面的列联表,并判断能否有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”.
附：线性回归方程：,
其中,,
,
18．设a为实数，函数，.
（1）求的极值；
（2）对于，，都有，试求实数a的取值范围.
19．如图,直三棱柱中,,,平面平面.
（1）求证:;
（2）求二面角的正弦值.
20．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办.中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛.比赛分为预赛、半决赛和决赛,只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为;乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和;丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为p和,其中,甲、乙、丙三人晋级与否互不影响.
(1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小;
(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为,求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.
21．如图,四棱锥的底面为菱形,,,底面,E,F分别是线段,的中点,是线段上的一点.
(1)若G是直线与平面的交点,试确定的值;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求三棱锥体积.
22．已知函数.
(1)求证：;
(2)若函数在上存在最大值,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：一方面把不等式变形为,解得;
另一方面若,则;结合交集以及区间的概念可知.
故选：A.
2．答案：B
解析：由,得,
,
所以,
故选：B.
3．答案：A
解析：由,可得或,即或,
由,可得或,即或,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：C
解析：函数定义域为R,排除选项AB,当时,,排除选项D,
故选：C.
5．答案：D
解析：设,可得的对称轴的方程为,
由函数在上单调递减,
则满足在区间单调递减且,即且,
解得,即实数a的取值范围是.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意,甲、乙、丙等六人的全排列,共有种不同的排法,
其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法,
其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙,丙乙甲,共4种排法,
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧,则不同的坐法种数为种.
故选：B.
7．答案：C
解析：设点B到平面的距离为d,
因为,所以,
因为正方体的棱长为2,
所以等边的边长为,
所以,
所以,解得,
所以点B为球心,为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆,
所以交线长为,
故选：C.
8．答案：D
解析：由,,当时,
则等价于,即等价于,
即等价于,即等价于,
令,,
即等价于对,,当时,,
即函数在上单调递减,
即对,,即,
由,则,所以a≥9,
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
9．答案：AB
解析：对于A：甲的步数：16000,7965,12700,2435,16800,9500,11600.
从小到大排列为：2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800,中位数是11600.故A正确;
对于B：这一星期内甲的日步数的极差,
这一星期内乙的日步数的极差,
这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差,故B正确;
对于C：由图知甲的波动程度越大,故方差大故C错误;
乙的步数从小到大排列为：5340,7030,10060,11600,12300,12970,14200,
,故这一星期内乙的日步数上四分位数是12970,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：对于A，如果，则，故A正确；
对于B，如果，则，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则，故C不正确；
对于D，如果A与B相互独立，则，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析:因为函数的图像关于点对称,所以的图像关于原点对称,即是奇函数,故A错误;
因为,所以令得,
又因为是奇函数,所以,
所以,即,所以的图像关于直线对称,故B正确;
因为,,是奇函数,
所以,故C正确;
因为,所以的周期为8,
又,,
所以,故D正确;
故选:BCD.
12．答案：ABD
解析：因为,所以,,
因为,所以,即,故A正确;
因为,,
所以,故B正确;
因为,
因为,故,
故,故,故不正确.
故C错误;
因为,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：二项式展开式的通项,
（且）,
令,解得, 所以展开式中常数项为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,所以,
两边平方得,
因为,,均是单位向量,所以,所以,
所以,
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意,,,
,
又,故,
即,
解得：.
故答案为：
16．答案：;
解析：因为,,所以,,
设直线与曲线和分别切于点,,
所以切线方程分别为,,
即,,
因此,则,
又,
所以,
化简得,
解得或,
当时,切线方程为,
当时,切线方程为.
故答案为：,.
17．答案：(1),估计为19万元
(2)列联表见解析,有
解析：(1)由已知得：,,
,
,
,,
则y关于x的线性回归方程为,
当时,,
估计2023年9月份该小店的销售收入19万元.
(2)因为200名顾客中男顾客有100名,则女顾客有100名,
女顾客中不喜欢该网红饮品小店的有30名,则喜欢的有70名,
200名顾客中喜欢该网红饮品小店的有110名,则男顾客中喜欢的有40名,不喜欢的有60名,
则2×2列联表如下所示：
根据列联表中数据,
,
所以有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”.
18．答案：（1）极大值为a，极小值为
（2）
解析：（1）函数的定义域为R，，
令，可得或2，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
（2）对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且时，，
当时，，
故函数在上单调递减，再上单调递增，，，
故，
由题意可得，故.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:过点A作于点D,
平面平面,平面平面,平面,
平面,,
直三棱柱中,平面ABC,平面ABC,
,
,
平面,
平面,
;
（2）如图,以B为坐标原点,BC,BA,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
,,
,,,,
则,,,,
设平面的法向量为,则,取,得,
设平面的法向量为,则,取,得,3,,
,
二面角的正弦值为.
20．答案：(1),即进入决赛的可能性甲 丙乙.
(2)分布列见解析;
解析：(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为,
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为,
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为,
因为,所以,所以,
(2)设甲、乙、丙都进入决赛的概率为p,
则,且,解得,
所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为和,
两轮中均获胜的概率为,
进入决赛的人数的可能取值为0,1,2,3,
则,
,
,
.
所以的分布列为
所以.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)取的中点M,连接,则,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,,,
,,设,
则
设平面的法向量,
则,所以,取,
易知,所以,
解得,此时;
(2)设,
则
则,
整理得,解得或（舍去）,
,,设平面的法向量为,
则,所以,
取,又,
则点到平面的距离即点E到平面的距离为,
由已知条件,在中,,,可得
所以,
.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由函数,可得,则,
令,可得,
当时,可得,单调递增;
当时,可得,单调递减,
所以,所以,
即,即.
(2)由函数
可得
令,可得
①当时,,在上单调递增,所以,
所以在上单调递增,无最大值;
②当时,,可得在上单调递减,
所以,所以在上单调递减,无最大值;
③当时,由,可得,
所以当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减,
由(1)知,,
所以当时,,
取,则且,
又由,
所以由零点的存在性定理,存在,使得,
所以当时,,即;
当时,,即,
所以在单调递增,在单调递减,
此时在上存在最大值,符合题意,
综上所述,实数a的取值范围是.
月份x
4
5
6
7
8
销售收入y
10
12
11
12
20
喜欢
不喜欢
总计
男
100
女
30
总计
110
0.010
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
喜欢
不喜欢
总计
男
40
60
100
女
70
30
100
总计
110
90
200
x
0
2
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
0
1
2
3
p