2023郴州高三上学期第一次教学质量监测数学试卷含答案

郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

4.考试时间为120分钟，满分为150分。

5.本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，则（    ）

A.（，） B.（，1） C.（，1） D.（，6）

2.已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轮复数，则（    ）

A.5 B. C. D.

3.△ABC中，D为BC中点，设向量，，，则（    ）

A. B. C. D.

4.某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（    ）

A.0.46 B.0.046 C.0.68 D.0.068

5.设正项等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A.4 B.3 C.2 D.1

6.设函数（），已知在区间上有且仅有3个零点，下列结论正确的是（    ）

A.直线是函数的图象的一条对称轴

B.的取值范围是

C.的图象向右平移个单位后所得图象的函数是奇函数

D.在区间上有且仅有2个极值点

7.F1、F2是双曲线C：（）的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=12：5：13，则双曲线的离心率为（    ）

A. B.2 C. D.

8.某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为（），则当该水渠的修建成本最低时的值为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.如图1，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（    ）

A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB

B.异面直线PA与DC所成的角的余弦值为

C.直线PB与平面PAD所成的角为45°

D.BD⊥平面PAC

10.已知无穷等差数列的首项为1，它的前n项和为，且，，则（    ）

A.数列是单调递减数列

B.

C.数列的公差的取值范围是

D.当时，

11.已知抛物线的焦点为F，M（4，）在抛物线上，延长MF交抛物线于点N，抛物线准线与y轴交于点Q，则下列叙述正确的是（    ）

A.  B.点N的坐标为（，）

C.  D.在x轴上存在点R，使得∠MRF为钝角

12.已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若，则________.

14.已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.

15.如图2，已知△ABC的外接圆为圆O，AB为直径，PA垂直圆O所在的平面，且PA=AB=1，过点A作平面，分别交PB、PC于点M、N，则三棱锥P−AMN的外接球的体积为________.

16.已知函数，，对任意，存在，使，则的最小值为________.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知数列中，，其前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若数列的前n项和为，求证：.

18.（本小题满分12分）

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

（1）求a；

（2）若AD⊥BC于D，且AD=，求角A的最大值.

19.（本小题满分12分）

在图3（1）五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠CDE=150°，将△ADE沿AD折起到△SAD的位置，得到如下图3（2）所示的四棱锥S−ABCD，F为线段SC的中点，且BF⊥平面SCD.

（1）求证：CD⊥平面SAD；

（2）若CD=2SD，求直线BF与平面SBD所成角的正弦值.

20.2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕。本次冬奥会极大地鼓舞了中国人民参与冰雪运动的热情，某校短道速滑社团的队员们纷纷加练，训练场内热火朝天，为了给刻苦训练的运动员们以激励，社团决定开展“训练赢吉祥物”活动，游戏规则如下：有一张共10格的长方形格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，队员每次完成训练后抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格）（k为正整数），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束.“跳子”落在第9格，则每位队员可以得到一只“雪容融”玩偶，“跳子”落在第10格，则每位队员可以得到一只“冰墩墩”玩偶.记“跳子”前进到第n格（）的概率为.

（1）求；

（2）（i）证明数列（）是等比数列；

（ii）求该社团参加一次这样的游戏获得“冰墩墩”玩偶的概率.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆E：（）的离心率为，过坐标原点O的直线交椭圆E于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC.当C为椭圆的右焦点时，△PAC的面积为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：∠APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求在上的最小值.

（2）设，若有两个零点，，证明：.

郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷

数学参考答案及评分细则

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1-5 CAADA   6-8 BDC

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. ABC   10. ACD   11. BC   12. ABD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.   14.   15.   16.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

（Ⅰ）由题意得，（），

两式相减得（），

又，，，，

（），

是首项为1，公比为3的等比数列，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则

所以，

又，.

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）已知等式化为

（Ⅱ）由已知得的面积，

得到，

又由余弦定理得

，即角的最大值为.

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：设中点为，连接，则，

又，，且，为平行四边形，

平面，平面，，；

又为中点.，又，为等边三角形，

，又，，即

又，，平面，

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，平面平面；

设为中点，则，平面

以原点建立空间直角坐标系，设，则，，

，，，，；

，

设为平面得法向量，直线与平面所成的角为，则

，令得，且，

.

20.解：（Ⅰ）“跳子”开始在第1格为必然事件，.第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为，即.第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面，其概率为，即.

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知：，

“跳子”前进到第（）格的情况是下面两种，而且只有两种：

①“跳子”先到第格，又掷出正面，其概率为，

②“跳子”先到第格，又掷出反面，其概率为，

，

，

，（），

当时，数列是等比数列，首项为，公比为.

（），

（ⅱ）由（ⅰ）得

（）

，

则获得“冰墩墩”玩偶的概率为.

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由离心率

当为椭圆的右焦点时，由轴易得（其中为椭圆半焦距）

此时

依题意得，

椭圆的方程为

（Ⅱ）设直线得方程为（），，，

则，得直线的斜率，

直线的方程为

由

由韦达定理得，

由此得到

又

，

即

22.（Ⅰ）

令（），，

在上单调递增，，即

，在上单调递增，故

（Ⅱ）（），

令，令.

在上单调递减，在上单调递增.

有两个零点，，则，

要证，只要证.

而，，在上单调递减，所以只证，

而，即证.

即证：

由（Ⅰ）知.

设（），.

在上单调递增，，

综上，（*）式成立，即.