江苏省海安高级中学2024届高三下学期期初学业质量监测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海安高级中学2024届高三下学期期初学业质量监测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知样本数据1,2,2,3,7,9,则2.5是该组数据的( )
A.极差B.众数C.平均数D.中位数
2．3名男生和2名女生站成一排.若男生不相邻,则不同排法种数为( )
A.6B.12C.24D.72
3．设.若函数为指数函数,且,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.且
4．若a,b为两条异面直线,,为两个平面,,,,则( )
A.l至少与a,b中的一条平行B.l至少与a,b中的一条相交
C.l至多与a,b中的一条相交D.l必与a,b中的一条相交,与另一条平行
5．设各项均不相等的等比数列的前n项和为,若,则公比( )
A.B.C.D.
6．记的内角A,B的对边分别为a,b,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7．已知双曲线的左,右焦点分别为,,点P在C的左支上,,的周长为6a,则C的离心率为( )
A.2B.C.D.
8．已知正五边形的边长为a,内切圆的半径为,外接圆的半径为R,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最小正周期为B.关于直线对称
C.关于点中心对称D.的最小值为
10．在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴的交点为A,点M,N在C上,且,则( )
A.B.直线MN的斜率为
C.D.
11．已知函数及其导函数的定义域均为R,与均为偶函数,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．设i为虚数单位.若集合,,且,则______.
13．一个三棱锥形木料,其中是边长为2dm的等边三角形,底面,二面角的大小为,则点A到平面PBC的距离为______dm.若将木料削成以A为顶点的圆锥,且圆锥的底面在侧面PBC内,则圆锥体积的最大值为______.
14．已知为某三角形的三边长,其中,且a,b为函数的两个零点,若恒成立,则M的最小值为_______.
四、解答题
15．假定某同学每次投篮命中的概率为.
（1）若该同学投篮4次,求恰好投中2次的概率;
（2）该同学现有4次投篮机会,若连续投中2次,即停止投篮,否则投篮4次,求投篮次数X的概率分布及数学期望.
16．已知函数,其中.
（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a;
（2）求函数的单调区间.
17．如图,已知三棱台的高为1,,,O为BC的中点,,,平面平面ABC.
（1）求证:平面ABC;
（2）求与平面所成角的大小.
18．已知椭圆的右焦点为,直线与C相交于A,B两点.
（1）求直线l被圆所截的弦长;
（2）当时,.
(i)求C的方程;
(ii)证明:对任意的,的周长为定值.
19．设集合,其中.若对任意的向量,存在向量,使得,则称A是“T集”.
（1）设,,判断M,N是否为“T集”.若不是,请说明理由;
（2）已知A是“T集”.
(i)若A中的元素由小到大排列成等差数列,求A;
(ii)若,(c为常数),求有穷数列,,,…,的通项公式.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意,样本数据1,2,2,3,7,9,其极差为,众数为2,平均数,中位数为.
故选:D.
2．答案：B
解析：3名男生和2名女生站成一排.若男生不相邻,则不同排法种数为.故选:B.
3．答案：A
解析：函数为指数函数,,
则函数在R上单调递减,故,解得.
故选:A.
4．答案：B
解析：若a,b为两条异面直线,,为两个平面,,,,则l至少与a,b中一条相交,故选B.
5．答案：C
解析：各项均不相等的等比数列中,
因为①,
又恒成立,
所以,,,
所以②,
①②联立得,或(舍),
故.故选:C.
6．答案：A
解析：若,则,
故“”是“”的充分条件,
若,则,所以,
当时,不成立,
故“”是“”的不必要条件,
综上:“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
7．答案：C
解析：设,则,
的周长为6a,
,解得,
,则,
,由余弦定理可得,
化简整理可得,解得.故选:C.
8．答案：B
解析：如图所示,则,,
,
,
中,,即,,
即,
所以,
故.
9．答案：ABD
解析：对A选项,,
的最小正周期为,选项正确;
对B选项,,
关于直线对称,B选项正确;
对C选项,由B选项分析可知,
不关于点中心对称,C选项错误;
对D选项,,
当时,取得最小值,D选项正确.故选:ABD.
10．答案：ABC
解析：A中,由抛物线的方程可得焦点,准线方程为,所以,
因为,可得N为AM的中点,
因为O为AF的中点,所以,所以A正确;
B中,设,则,
因为M,N都在抛物线上,所以,
可得,解得,,
所以,,或者,,
直线MN的斜率,所以B正确;
C中,由B选项可知,所以C正确;
D中,由B选项可知,设,
则,
,
所以,所以D不正确.
故选:ABC.
11．答案：BD
解析：由与均为偶函数,
故,,
即有,,
故关于对称,关于对称,
又,故,
即,故关于对称,
由,可得,
即有,c为常数,
即关于对称,故,故A错误;
即对有,,
则,即,
故,即,
即,故B正确;
对有,,
关于对称且关于对称,
,
有,
即,
故,即,
故为周期为8的周期函数,
有,即,
故关于对称,不能得到,故C错误;
由关于对称,故,,
由为周期为8的周期函数,且关于对称,
故关于对称,故,,
由关于对称,关于对称,故关于对称,
故,,
故,故D正确.
故选:BD.
12．答案：1
解析：,i为虚数单位,
集合,,且,
,
解得.
故答案为:1.
13．答案：;
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）记事件A表示“该同学投篮4次,恰好投中2次”,
则
.
答:恰好投中2次的概率为.
（2）依题意,X的可能取值为2,3,4,.
则;
;
.
(或.)
所以X的数学期望.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）依题意,函数的导函数.
则,又,
故曲线在处的切线方程为:.
因为切线在两坐标轴上的截距相等,所以.
解得.
另解：因为曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,所以,即,所以.
（2）函数的定义域为.
当时,,所以函数的减区间为;
当时,令,得,所以函数的增区间为;
令,得,所以函数的减区间为.
综上,当时,函数的减区间为;
当时,函数的增区间为,减区间为.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:因为,,,所以,所以.
又因为O为BC的中点,所以.
又因为平面平面ABC,平面平面平面,
所以平面ABC.
（2）连接OA,,O为BC的中点,所以.
分别以OB,OA,为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,.
所以,
.
因为,
所以,所以.
设平面的法向量,则
令,则,,所以.
于是,
又因为,所以.
所以与平面所成角的大小为.
另解1:过O作,,建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,,
,所以,
.
设平面的法向量,
则
令,则,,所以.
所以,
设直线与平面所成角为,则.因为,所以.
所以与平面所成角的大小为.
另解2:取AC的中点D,连接OA,,OD,BD.
设D到平面的距离为h,为D在平面的射影,则.
由（1）知,,所以.
同理可得,,.
由得,,
即,解得.
所以,
故.
又,故与平面所成角的大小为.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）依题意,圆心到直线的距离为:
.
则直线l被圆所截的弦长为:.
（2）(i)当时,直线l的方程为:.
将代入椭圆,得,所以.
因为,右焦点为,所以,且.
解得,,所以C的方程为.
(ii)证明:当时,由(i)知,的周长为;
当时,设,.
联立与并消去,得,
整理得.
所以,
.
所以.
又时,,所以.
又,
因为,所以,同理.
所以.
所以的周长为(定值).
另解：(ii)设,,,因为,所以.
由（1）知,,即.
由消去y并整理得,,
所以,
.
所以
.
又,
因为,所以,同理.
所以.
所以
,
即的周长为10(定值).
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）M是“T集”;N不是“T集”.
理由:对于向量,若存在,使得.
则,故中必有一个为,此时另一个为或,显然不符合.
（2）(i)因为A中的元素由小到大排列成等差数列,则该等差数列的首项为,
公差为2,故,.
对于向量,若存在向量,使得,
则向量的坐标中必含,设另一坐标为,
则或.
所以或,
故或,
所以或,所以或,
所以或,即.
此时,,不满足;
或,满足;
所以A只可能为.
经检验是“T集”,所以.
(ii)设,.
由,得,由条件可变形为.
设集合,
则A是“T集”当且仅当C关于原点对称.
因为是A中唯一负数,共个数,
所以也只有个数.
由于,所以,已有个数.
对以下三角数阵:
……
注意到,所以.
又(c为常数),故有穷数列,,,…,为等比数列,
且通项公式,,1,2,…,n.