北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期开学考试数学试题（Word原卷版+解析版）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，B，由此能求出.
【详解】因为集合，，所以
.
故选：B.
2. 复数对应的点在复平面内的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限.
故选：B.
3. 已知，则函数在处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，即得斜率，然后表示出直线方程即可.
【详解】因为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，
即.
故选：C
4. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：当时，满足，，不成立，故B错误；
C：，
因为，所以，得，即，故C正确；
D：当时，满足，，不成立，故D错误.
故选：C
5. 的展开式中的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80
【答案】C
【解析】
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
6. 已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
充分性：当，时，，无法判断其正负，显然数列为不一定是递增数列，充分性不成立；
必要性：当数列为递增数列时，，可得，必要性成立.
故“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法.
7. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把第2球投进的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解.
【详解】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，
，，则，
所以第2球投进的概率为.
故选：A
8. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.
【详解】由，可得当时函数单调递增，
即，
当时，，
又函数在，
所以，
即的最大值为，
故选：C.
9. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.
【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.
故选：C
10. 已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：
①对任意的，都有
②数列可能为常数列
③若，则当时，
④若，则数列为递减数列．
其中正确结论有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.
【详解】解：对于①，在数列an中，，则，
又对于任意的都有，则，即，
即对于任意的，都有，
所以的值不确定大小，故①项错误；
对于②，不妨设数列an可能为常数列，则，
又，则，则，
即时，数列an为常数列，故②项正确；
对于③，，则，因为数列an中各项均为正数，
即，同理，当，都有，
又，即数列an为递增数列，
即当时，，故③项正确.
对于④，
又，则，即，
同理，当，都有，即，
同理，当，都有，
即，
即，即数列an为递减数列，故④项正确；
故选：C.
【点睛】关键点睛：数列与不等式以及数列与单调性等问题，常利用作差法，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
二、填空题
11. 若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，从而可求出的值.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，解得，
故答案为：2.
12. 数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______.
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】
【分析】
由等比数列的性质得，解出的值，再结合等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】因为数列是公差为的等差数列，成等比数列，
所以，即，解得；
所以，
故答案为：8，.
13. 在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是_____，的最大值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据投影向量的概念，可求得向量在向量上的投影向量的长度；
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出，利用二次函数的性质求得答案.
【详解】由题意可得 ，
即向量在向量上的投影向量的长度是 ；
如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则
故 ，
则，
当时，取最大值为 ，
故答案为：；
14. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】 ①. -1; ②. .
【解析】
【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
15. 设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以，
令，可得
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；.
三、解答题
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点．
（1）求证：；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明平面ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点，
所以，
因为平面平面ABCD，
平面平面，
平面PAD，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，平面ABCD．
取BC中点F，连结EF,
因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，
所以,
所以EA，EF，EP两两垂直．
分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，
则，，，，
所以，．
设平面PAC的法向量，
由，得，
令，得，，
所以，
平面ABCD的法向量可取．
设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角，
则，
所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为．
17. 在中，.
（1）求的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；
条件②；
条件③AB边上的高为.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系求出，即可得答案；
（2）若选①②，根据求出A，由正弦定理求出a，再利用两角和的正弦公式求出，由三角形面积公式，即可求得答案；若选①③，根据求出A，再根据AB边上的高h求出b，下面解法同选①②；若选②③，根据条件可求出A的值不唯一，即可判断不合题意.
【小问1详解】
在中，，由正弦定理得，
由于，则，
由于，故；
【小问2详解】
若选①②，存在且唯一，解答如下：
由于，，
又，故，则；
又，故，
故；
若选①③，存在且唯一，解答如下：
由于，，
AB边上的高h为，故
则，则；
又，故，
故；
若选②③，不唯一，解答如下：
，AB边上的高h为，故，
或，此时有两解，不唯一，不合题意.
18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；
(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；
(3)由方差的意义可得.
【小问1详解】
由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．
【小问2详解】
由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，
，
，
．
所以的分布列为
．
【小问3详解】
易知五种毕业去向人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，求导，从而得到，，写出切线方程；
（2）求导，令，，易得函数在区间（0，e]上的最小值为，方法1：分，，讨论求解；方法2：根据在区间（0，e]上存在极小值，由求解.
【小问1详解】
当时，，
则，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为；
【小问2详解】
，
令，，
则，
解，得，
与的变化情况如下：
所以函数在区间（0，e]上的最小值为，
方法1：
①当时，.所以恒成立，即恒成立，
所以函数在区间（0，e]上是增函数，无极值，不符合要求，
②当时，因为，，
所以存在，使得
所以函数在区间（1，e）上存在极小值，符合要求，
③当时，因
所以函数在区间（1，e）上无极值.
取，则
所以存在，使得
易知，为函数在区间（0，1）上的极大值点.
所以函数在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求
综上，实数a的取值范围是.
方法2：
“在区间（0，e]上存在极小值”，当且仅当，解得.
证明如下：
当时，
因为，所以存在，使得
所以函数在区间（1，e）上存在极小值.
所以实数a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题第二问在区间（0，e]是否存在极小值，转化为有不等零点且左负右正求解.
20. 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）设，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得.由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程.
（Ⅱ）设直线l的方程为，，.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k的取值范围.
（Ⅲ）因为，，，，写出直线的方程，令，解得.点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.用坐标表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化简再求取值范围.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆C：经过点，
所以解得.
由的面积为可知，，
解得，
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线l的方程为，，.
联立，消y整理可得：.
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，解得.
因为，所以k的取值范围是.
（Ⅲ）因为，，，.
所以直线的方程是：.
令，解得.
所以点S的坐标为.
同理可得：点T的坐标为.
所以，，.
由，，
可得：，，
所以.
同理.
由（Ⅱ）得，，
所以
所以的范围是.
【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.
21. 已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.
（1）当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由；
（2）当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由；
（3）当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
【答案】（1）集合B不具有性质P，集合具有性质P，理由见解析
（2）具有，理由见解析
（3）1333
【解析】
【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义去判断已知集合是否满足定义，即可判断；
（2）根据集合，任取，因为，说明，可得，即可说明，继而结合定义即可得结论；
（3）设集合S有k个元素，可推出集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t（）个元素不超过1000，从而可得不等式，结合k为正整数，可得，再结合定义，即可确定答案.
【小问1详解】
当时，集合，B=x∈Ax>9=10,11,⋯,20，
则集合B不具有性质P，理由如下：
因为对于任意不大于n的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素，
使得成立；
集合具有性质P，理由如下：
因为可取，对于该集合中的任意一对元素，
都有；
【小问2详解】
当时，集合，
若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，理由如下：
首先因为集合，任取，其中，
因为，所以，
从而，即，故,
由于S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
使得对于S中的任意一对元素，都有，
对于上述正整数m，从集合中任取一对元素，
其中，则有，
故集合具有性质P.
【小问3详解】
设集合S有k个元素，由第（2）问可知，若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，
任给，则x与中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设S中有t（）个元素不超过1000，
由集合S具有性质P可知存在正整数，
使得对于S中的任意一对元素，都有，
所以一定有，
又，故，
因此集合A中至少有t个元素不在子集S中，
故，即，结合k为正整数，可得，
当时，取，
则可知集合S中任意两个元素，都有，
即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素，
因此集合S中元素个数的最大值为1333.
【点睛】难点点睛：本题是关于集合新定义类题目，解答的难点在于要理解新定义，明确其内涵，并能根据其含义去解决问题.毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
0
1
2
3
x
（0，1）
1
（1，e）
－
0
+
↘
极小值
↗
x
（1，）
（，e）
－
0
+
↘
极小值
↗
x
（1，）
（，e）
－
0
+
↘
极小值
↗