2025年高考数学一轮复习-直线、平面垂直的判定定理-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-直线、平面垂直的判定定理-专项训练【含答案】，共6页。
基 础 巩固练
1.已知直线l,m与平面α,β,γ,且l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,则必有( )

A.l⊥mB.m∥βC.m⊥βD.l∥m
2.如图,将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上,则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于( )
A.150°B.135°C.90°D.60°
3.(2023盐城月考)如图,在圆柱OO'中,AA'是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆上一点,则( )
A.BC⊥平面A'AC
B.BC⊥平面A'AB
C.AC⊥平面A'BC
D.AC⊥平面A'AB
4.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为( )
A.1B.2C.3D.4
5.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下四个选项正确的是( )
A.D1C∥平面A1ABB1
B.A1D1与平面BCD1相交
C.AD⊥平面D1DB
D.平面BCD1⊥平面A1ABB1
第5题图
第6题图
6.(多选题)(2023苏州月考)如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论错误的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
7.已知a,b,c是三条直线,α是平面,若c⊥a,c⊥b,a⊂α,b⊂α,且 (填上一个条件即可),则有c⊥α.
8.在四面体A-BCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED= .
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AC与BD交于点O,PA⊥平面ABCD,且PA=2.
(1)求证:BD⊥平面PAC.
(2)求PD与平面PAC所成角的大小.
综 合 提升练
10.(多选题)已知m,n是两条不相同的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题为真命题的是( )
A.若m,n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β
B.若m⊥n,m⊥β,则n∥β
C.若n∥α,n⊥β,则α⊥β
D.若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n
11.在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是边AB上的一动点,则PM的最小值为( )
A.23B.27
C.43D.47
12.在三棱锥P-ABC中,PC=8,AC=3,BC=8,∠ACB=60°,点P到三角形ABC三边的距离相等,且点P在平面ABC上的射影落在三角形ABC内,则CP与平面ABC所成角的正切值为( )
A.344B.33
C.11D.33
13.(2023兴化质检)如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,该做法的原理是 .
第13题图
第14题图
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中,垂直于平面ABC1D1的平面有 .
15.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=22,AB=2,F是BC的中点.
(1)在AD上是否存在点E,使得平面SEF⊥平面ABCD?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.
(2)△SBC为等边三角形,在(1)的条件下,求直线SE与平面SBC所成角的正弦值.
创 新 应用练
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,∠BAP=∠CDP=90°,△PAD是正三角形,且PA=AB.
(1)当点M在线段PA上什么位置时,有DM⊥平面PAB?
(2)在(1)的条件下,点N在线段PB上什么位置时,有平面DMN⊥平面PBC?
参考答案
1.A 2.C 3.A 4.C 5.AD 6.ABD 7.a∩b=A(答案不唯一) 8.90°
9.(1)证明 因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,
因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
(2)解 如图,连接PO,因为BD⊥平面PAO,所以∠DPO为PD与平面PAC所成的角,
因为AB=PA=2,所以AO=DO=2,
所以PO=6,
在Rt△DPO中,tan∠DPO=DOPO=26=33,
所以∠DPO=30°,即PD与平面PAC所成的角为30°.
10.ACD 11.B 12.C
13.面面垂直的判定定理
14.平面A1B1CD,平面BCC1B1,平面ADD1A1
15.解 (1)在线段AD上存在点E满足题意,且E为AD的中点.
如图,取AD的中点E,连接EF,SE,SF,因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD.又E,F分别是AD,BC的中点,所以EF∥AB,所以AD⊥EF.
因为△SAD为等腰直角三角形,SA=SD,E为AD的中点,所以SE⊥AD.
因为SE∩EF=E,SE⊂平面SEF,EF⊂平面SEF,所以AD⊥平面SEF.
又AD⊂平面ABCD,所以平面SEF⊥平面ABCD.
故在AD上存在中点E,使得平面SEF⊥平面ABCD.
(2)如图,过点E作EG⊥SF于点G,由(1)知AD⊥平面SEF,又BC∥AD,
则BC⊥平面SEF,又EG⊂平面SEF,
所以BC⊥EG,又SF∩BC=F,所以EG⊥平面SBC,
所以直线SE与平面SBC所成的角为∠ESG.
由△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=22,得AD=16=4,SE=22×224=2.又EF=AB=2,
△SBC为等边三角形,BC=AD=4,所以SF=23,
在△SEF中,SE=EF=2,SF=23,
所以EG=22-(3)2=1.
则sin∠ESG=EGSE=12,
即直线SE与平面SBC所成角的正弦值为12.
16.解 (1)如图①,当点M为线段PA的中点时,有DM⊥平面PAB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
又∠BAP=∠CDP=90°,即AB⊥AP,CD⊥DP,
∴AB⊥DP,又DP⊂平面PAD,AP⊂平面PAD,PD∩AP=P,
∴AB⊥平面PAD.又DM⊂平面PAD,∴AB⊥DM.
∵△PAD是正三角形,PM=MA,
∴DM⊥AP,
又AP∩AB=A,AP⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,∴DM⊥平面PAB.
图①
(2)在(1)的条件下,当DN⊥PB于点N时,有平面DMN⊥平面PBC,即当点N为线段PB上的靠近点P的四等分点时,有平面DMN⊥平面PBC,如图②.
下面给出证明:在(1)的条件下,DM⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,∴DM⊥PB,又DN⊥PB,DN∩DM=D,DN⊂平面DMN,DM⊂平面DMN,
∴PB⊥平面DMN.∵PB⊂平面PBC,
∴平面DMN⊥平面PBC.
不妨设AB=2,则PB=22=DB,PD=2.
在△PDB中,由余弦定理得PD2=PB2+BD2-2PB·BD·cs∠DBP,即22=(22)2+(22)2-2×22×22cs∠DBP,解得cs∠DBP=34,
∴BN=DBcs∠DBP=22×34=322,
∴BNPB=32222=34,
∴当点N为线段PB上的靠近点P的四等分点时,有平面DMN⊥平面PBC.
图②